1、要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 小结与复习第一章 三角形的证明北师大版八年级下册单元复习课件(4)_、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.顶角平分线(3)两个_相等，简称“等边对等角”;底角(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;一、等腰三角形的性质及判定1.性质(1)两腰相等;要点梳理要点梳理2.判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“_”）.等角对等边二、等边三角形的性质及判定1.性质等边三角形的三边都相等;等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于_;是轴对称图形，对称
2、轴是三条高所在的直线;任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.602.判定三条边都相等的三角形是等边三角形.三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60的_是等边三角形.等腰三角形(5)在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半.u直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角_.互余u直角三角形的判定定理1 有两个角_的三角形是直角三角形.互余三、直角三角形 勾股定理表达式的常见变形：a2c2b2, b2c2a2， . 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a,b(且ab)，那么，当第三边c是斜边时，c_；当a是斜边时，第三边c_.四、勾股定理 勾
3、股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c ，那么一定有 .平方 注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边222222,cabacbbcaa2b2c222ab22ab五、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2b2 ，那么这个三角形是直角三角形利用此定理判定直角三角形的一般步骤：(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的 ；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是 三角形到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是
4、；(2)说明三角形中有两边互相 ；(3)用勾股定理的逆定理平方和直角直角垂直 注意 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2b2c2之类的错误c21互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题2逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 ，并将结论改成 ，便可以得到原命题的逆命题结论条件结论条件六、逆命题和互逆命题3逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 定理注意 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理如“对顶角相等”就没
5、有逆定理逆1.线段垂直平分线的性质定理： 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.七、线段的垂直平分线3常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的 ；(2)作已知线段的垂直 线垂线平分4.三角形的三边的垂直平分线的性质：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.1.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线.3.三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.八、角平分线的性质与判定考点一 等腰（等边）三角形的性质与判
6、定 例1 如图所示，在ABC中，AB=AC,BDAC于D.求证： BAC = 2DBC.ABCD)1 2E【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角BAC的平分线，来获取角的数量关系.考点讲练考点讲练ABCD)1 2E 证明：作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示， 则11=2=.2BACAB=AC, AEBC. 2+ ACB=90 . BDAC, DBC+ ACB=90 . 2= DBC. BAC= 2DBC. 等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30的直角三角形的性质是
7、证明线段之间的倍份关系的重要手段.方法总结1. 如图，在ABC中，AB=AC时，(1)ADBC， _= _;_=_.(2) AD是中线，_; _= _.(3) AD是角平分线，_ _;_=_.BACDBADCADBDCDADBCBADCADADBCBDCD针对训练例2 在ABC中，已知BD是高，B90，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a3，b4，求BD的长解：B90，b是斜边，则在RtABC中，由勾股定理，得又SABC bBD ac，2222437,cba673 7.84acBDb1212考点二 勾股定理 在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边
8、上的高较为简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰方法总结2已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7或25针对训练D例3 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，an21，b2n，cn21(n1)，判断ABC是否为直角三角形考点三 勾股定理的逆定理解：由于a2b2(n21)2(2n)2n42n21， c2(n21)2 n42n21， 从而a2b2c2， 故可以判定ABC是直角三角形 运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大；分别用代数方法计算
9、出a2b2和c2的值(c边最大)；判断a2b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形方法总结3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有_针对训练 (2)(4)例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假(1)如果a0，那么ab0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上解：(1)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果ab0，那么a0.逆命题为假(2)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P到线段AB两端点的距离相等其逆命题也是真命题考点四 命题与
10、逆命题针对训练4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|是真命题.解： AD 是BC 的垂直平分线， AB =AC，BD=CD. 点C 在AE 的垂直平分线上， AC =CE,AB=AC=CE, AB+BD=DE.例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？A B C D E 考点五 线段的垂直平分线5.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，A
11、BD的周长等于13厘米，则ABC的周长是 .ABDEC18厘米 常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.方法总结针对训练6.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）. 例6 如图，在ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DEAB, DFAC.垂足分别为E ,
12、F.求证：EB=FC.ABCDEF【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明RtBDE RtCDF.考点六 角平分线的性质与判定ABCDEF证明： AD是BAC的角平分线， DEAB, DFAC， DE=DF, DEB=DFC=90 .在RtBDE 和 RtCDF中，DE=DF，BD=CD， RtBDE RtCDF(HL). EB=FC.8.ABC中, C=90, AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .ABCD3E7. 如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= .60BFEBDFACG
13、针对训练9. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BACABCEFD(3412P 考点七 本章的数学思想与解题方法例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据题意得 2x+x-8=20, 解得 x= ,
14、 x-8= ;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, y+8=12,但4+4=8b，那么 a + c ，且 a-c .b + cb-c 2.性质2：如果a b，c 0，那么 ac bc ， .acbc 3.性质3：如果a b，c 0，那么 ac bc ， .acbc b，b c，那么a c.不等号一元一次不等式一元一次不等式组不等式的解集不等式组的解集不等式 解一元一次不等式和解一元一次方程类似,有 等步骤.三、解一元一次不等式去分母去括号移项合并同类项系数化为一 求ax+b0（或0（或bxaaxb无解六、用数轴表示一元一次不等式（组
15、）的解集( b,bc B.若ab,则acbcC.若ab,则ac2bc2 D.若ac2bc2,则abD考点一 运用不等式的基本性质求解【解析】选项A，由ab,bc ；选项B，ab,当c=0时，ac=bc，不能根据不等式的性质确定acbc ；选项C，ab,当c=0时，ac2=bc2，不能根据不等式的性质确定ac2bc2；选项D，ac2bc2,隐含c0 ，可以根据不等式的性质在不等式的两边同时除以正数c2，从而确定ab. 1.已知ab，则下列各式不成立的是 （ ） A.3a3b B.-3a-3b C.a-3b-3 D.3+a2的解集为 则a的取值范围是（ ） A.a0 B.a1 C.a0 D.a12
16、,1xaB例2 解不等式： .并把解集表示在数轴上.2192136xx解：去分母，得 2(2x-1)-(9x+2)6， 去括号，得 4x-2-9x-26， 移项，得 4x-9x6+2+2， 合并同类项，得 -5x10， 系数化1，得 x-2. 不等式的解集在数轴上表示如图所示.01-2 -1-3-4-523考点二 解一元一次不等式3.不等式2x-16的正整数解是 . 1,2,34.已知关于x的方程2x+4=m- x的解为负数，则m的取值范围是 . m4针对训练方法总结 先求出不等式的解集，然后根据“大于向右画，小于向左画，含等号用实心圆点，不含等号用空心圆圈”的原则在数轴上表示解集.例3 如图
17、是一次函数y=kx+b的图象，当y2时，x的取值范围是 （ ）考点三 一元一次不等式与一次函数关系Ax1 Bx1 Cx3 Dx3 【解析】一次函数y=kx+b经过点（3，2），且函数值y随x的增大而增大，当y2时，x的取值范围是x3C针对训练15006. 已知直线y=2xb经过点(2,2),求关于x的不等式2xb0的解集.解：把点(2,2)代入直线y=2xb， 得2=4b， 解得 b=6. 故直线表达式为y=2x6， 解得x3.例4 解不等式组 把解集在数轴上表示出来，并将解集中的整数解写出来.236,254,3xxxx解：解不等式，得 x3, 解不等式，得7,5x 所以这个不等式组的解集是
18、解集在数轴上表示如下： 73,5x考点四 解一元一次不等式组 通过观察数轴可知该不等式组的整数解为2,3.23104757.使不等式x-12与3x-7 B.m C.m D.m202xmxm23232323C考点五 不等式、不等式组的实际应用例4 某小区计划购进甲、乙两种树苗，已知甲、乙两种树苗每株分别为8元、6元.若购买甲、乙两种树苗共360株，并且甲树苗的数量不少于乙树苗的一半，请你设计一种费用最少的购买方案.解：设购买甲树苗的数量为x株，依题意得解得 x120. 购买甲树苗120株，乙树苗240株，此时费用最省.1(360),2xx甲树苗比乙树苗每株多2元，要节省费用，则要尽量少买甲树苗.
19、 又x最小为120， 方法总结 解不等式的应用问题的步骤包括审、设、列、解、找、答这几个环节，而在这些步骤中，最重要的是利用题中的已知条件，列出不等式（组），然后通过解出不等式（组）确定未知数的范围，利用未知数的特征（如整数问题），依据条件，找出对应的未知数的确定数值，以实现确定方案的解答.一元一次不等式(组)不 等 式不等式的解集一元一次不 等 式一元一次不等式组解 集数轴表示不等式的基本性质解 集数轴表示课堂小结课堂小结解法解法实际应用与一次函数关系要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 小结与复习第三章 图形的平移与旋转一、平移的特征1对应线段 ；对应角 ； 图形的形状和大小都不发生改变2对应
20、点所连的线段平行且相等平行且相等相等要点梳理要点梳理(1)原图形向左（右）平移a个单位长度：(a0)向右平移a个单位(2)原图形向上（下）平移b个单位长度：(b0)原图形上的点P(x,y) 向左平移a个单位原图形上的点P (x,y) P1(x+a,y)P2(x-a,y)向上平移b个单位原图形上的点P(x,y) 向下平移b个单位原图形上的点(x,y) P3(x,y+b)P4(x,y-b)二、图形在坐标系中的平移在平面直角坐标系中内，一个图形怎么移动，那么这个图形上各个点就怎么移动.三、旋转的特征1旋转过程中，图形上_ 按 旋转 2任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是_，对应点到旋转中心的距
21、离都_3旋转前后对应线段、对应角分别_，图形的大小、形状_每一点都绕旋转中心同一旋转方向同样大小的角度旋转角相等相等不变1中心对称把一个图形绕着某一个点旋转_，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点180四、中心对称2中心对称的特征中心对称的特征：在成中心对称的两个图形中，对应点所连线段都经过 ，并且被对称中心_3.中心对称图形把一个图形绕某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心对称中心平分考点一 平移例1 如图所示，下列四组图形中，有一组中的两个图形
22、经过平移其中一个能得到另一个，这组图形是 （ ）DA B C D 【解析】紧扣平移的概念解题.考点讲练考点讲练 平移前后的图形形状和大小完全相同，任何一对对应点连线段平行（或共线）且相等.方法总结针对训练1.如图所示，DEF经过平移得到ABC,那么C的对应角和ED的对应边分别是 （ ）A.F,ACB.BOD,BAC.F,BAD.BOD,ACC考点二 坐标系中的图形平移例2 如图，直角坐标系中，ABC的顶点都在网格点上，其 中，C点坐标为（1，2）（1）写出点A、B的坐标：A（ ， ）、B（ ， ）；（2）将ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位 长度，得到ABC，请画出相应图形，则
23、ABC的三个顶点 坐标分别是 A（ ， ）、 B（ ， ）、C（ ， ）；（3）求ABC的面积2-1430024-13【分析】（1）根据图形写出相应点的坐标即可；（2）画出平移后图形，根据图形解题即可，或是让三个点的横坐标减去2，纵坐标加1即可得到平移后相应点的坐标；（3）ABC的面积等于边长为3,4的长方形的面积减去2个边长为1,3和一个边长为2,4的直角三角形的面积.解：（2）平移后图形如图所示；（3）ABC的面积S=342 13 24=5 1212ABC方法总结 直角坐标系中的图形左右移动改变点的横坐标，即左减右加；上下平移改变点的纵坐标，即上加下减.求格点中图形的面积通常用割补法，常用
24、长方形的面积减去若干直角三角形的面积表示，或是转化为用几个比较容易求的三角形或四边形的面积和来表示.针对训练2.如图，在平面直角坐标系中，P（a，b）是ABC的边AC上一点，ABC经平移后点P的对应点为P1（a+6，b+2），（1）请画出上述平移后的A1B1C1，并写出点A、C、A1、C1的坐标；（2）求出以A、C、A1、C1为顶点的四边形的面积解：(1)A1B1C1如图所示；各点的坐标为：A （3，2）、C（2，0）、A1（3，4）、C1（4，2）；(2)如图，连接AA1、CC1；AC1C的面积 AC1A1的面积 四边形ACC1A1的面积为7+7=14.答：四边形ACC1A1的面积为1411
25、7 27,2S 217 272S ；考点三 旋转的概念及性质的应用例3 （1）如图a，将AOB绕点O按逆时针方向旋转60 后得到COD，若AOB=15 ,则AOD的度数是（ ） A. 15 B. 60 C. 45 D. 75 (2) 如图b ,4 4的正方形网格中， MNP绕某点旋转一定的角度，得到M1N1P1，其旋转中心是（ ）A. 点A B. 点B C. 点C D. 点DABODC图图aCN1M1NMP1DPAB图图bCB 【解析】（1）关键找出旋转角BOD=60 ;(2)作线段MM1与PP1 的垂直平分线，交点便是旋转中心.针对训练3.如图，在等腰RtABC中，点O是AB的中点，AC=4
26、, 将一块边长足够大的三角板的直角顶点放在O点处，将三角板绕点O旋转，始终保持三角板的直角边与AC相交，交点为D,另一条直角边与BC相交，交点为E,则等腰直角三角形ABC的边被三角板覆盖部分的两条线段CD与CE长度之和等于 .ABCDEO4考点四 中心对称例4 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A B CDD【解析】 图A.图B都是轴对称图形，图C是中心对称图形，图D既是中心对称图形也是轴对称图形. 中心对称图形和轴对称图形的主要区别在于一个是绕一点旋转，另一个是沿一条直线对折.这是易错点，也是辨别它们不同的关键.方法总结课堂小结课堂小结平移平移的 概 念平移的 性 质前后图
27、形全等，对应角边相等坐标系中的 平 移左加右减上加下减平面上的平行移动；由移动方向和距离所决定.旋转旋 转 的概念在解题时如果没有指明旋转方向通常要分顺时针和逆时针两种情况讨论.旋 转 的性质要熟练地找出可以作为旋转角的角； 要明确旋转中心的确定方法.中心对称中心对称是一种特殊的旋转. 第四章 因式分解要点梳理考点讲练课堂小结课后作业 小结与复习一、因式分解要点梳理要点梳理1.把一个多项式化成几个整式的_的形式，叫 做多项式的_，也叫将多项式_.2.因式分解的过程和 的过程正好_3.前者是把一个多项式化为几个整式的_，后者 是把几个整式的_化为一个_. 因式分解乘积 分解因式 整式乘法相反多项
28、式 乘积 乘积 二、提公因式法1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个 多项式各项的_，简称多项式的_.2. 公因式的确定：(1)系数：多项式各项整数系数的 _； (2)字母：多项式各项 的字母；(3)各字母指数：取次数最_的 公因式公因式最大公约数 相同 最低 3.定义：逆用乘法对加法的_律，可以把 _写在括号外边，作为积的一个_，这 种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.分配公因式因式三、公式法 平方差公式1.因式分解中的平方差公式 a2b2 ；2.多项式的特征：(1)可化为个_整式； (2)两项负号_； (3)每一项都是整式的_.3.注意事项：(1)有公因式时，先提出公因式;
29、 (2)进行到每一个多项式都不能再 分解为止. (ab)(ab)两相反平方四、公式法 完全平方公式1.完全平方公式：a2+2ab+b2=( )2 a2 -2ab+b2=( )22.多项式的特征：(1)三项式； (2)有两项符号_,能写成两个 整式的_的形式； (3)另一项是这两整式的_的 _倍.3.注意事项：有公因式时，应先提出_. a+ba-b相同 平方和 乘积 2 公因式 考点一 因式分解与整式乘法的关系 例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由： (1)a2-4+3a=(a+2)(a-2)+3a; (2)(a+2)(a-5)=a2-3a-10; (3)x2-6x+9=(x-3)2
30、; (4)3x2-2xy+x=x(3x-2y)2.【解析】（1）多项式的因式分解的定义包含两个方面的条件，第一，等式的左边是一个多项式；其二，等式的右边要化成几个整式的乘积的形式，这里指等式的整个右边化成积的形式；（2）判断过程要从左到右保持恒等变形.考点讲练考点讲练不是不是是不是考点二 提公因式法分解因式例2 因式分解：(1)8a3b212ab3c；(2)2a(bc)3(bc)；(3)(ab)(ab)ab.解：(1)原式 4ab2(2a23bc)； (2)原式 (2a3)(bc)； (3)原式 (ab)(ab1)方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.1. 把下列
31、多项式分解因式. 3211xxx 211xxx211xx 2axbxayby axbxaybyx aby ababxy针对训练例3 计算：(1)39371391；(2)2920.167220.161320.1620.1614.考点三 利用提公因式法求值解：(1) 39371391313371391 13(33791)1320260； (2) 2920.167220.161320.1620.1614 20.16(29721314)2016.2. 已知ab7，ab4，求a2bab2的值解：因为ab7，ab4， 所以原式ab(ab) 4728.针对训练方法归纳 原式提取公因式变形后，将ab与ab作为
32、一个整体代入计算即可得出答案考点四 平方差公式分解因式例4 分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.解：(1)原式(ab2a)(ab2a) (ba)(3ab)； (2)原式(3m3nmn)(3m3nmn) (2m4n)(4m2n) 4(m2n)(2mn)3. 已知x2y21，xy ，求xy的值解： x2y2 (xy)(xy)1， xy ， xy2.针对训练12124. 如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm，向里依次为99cm，98cm，1cm，那么在这个图形中，所有画
33、阴影部分的面积和是多少？解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面 积的差， 而正方形的面积是其边长的平方， 则S阴影(1002992)(982972)(2212) 100999897215050答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.考点五 完全平方公式分解因式例5 因式分解：(1)3a2x224a2x48a2；(2)(a24)216a2.解：(1)原式3a2(x28x16) 3a2(x4)2； (2)原式(a24)2(4a)2 (a244a)(a244a) (a2)2(a2)2.5. 已知ab5，ab10，求 a3ba2b2 ab3的值解： a3ba2b2 ab3 ab(a22abb2
34、) ab(ab)2. 当ab5，ab10时， 原式 1052125.12121212121212因式分解定义提公因式法公 式 法平方差公式完全平方公式课堂小结课堂小结小结与复习第五章 分式与分式方程要点梳理考点讲练课堂小结课后作业要点梳理要点梳理一、分式1.分式的概念： 一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子，B为分式的分母.2.分式有意义的条件：对于分式 ： 当_时分式有意义；当_时无意义.B0B=03.分式值为零的条件：当_时，分式 的值为零.A=0且且 B04.分式的基本性质：0bbmbbmmaamaam（）,.,.分式的符号法则:.ffffg
35、ggg ，5.分式的约分：约分的定义根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分最简分式的定义分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.约分的基本步骤(1)若分子分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；(2)若分子分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子分母所有的公因式6.分式的通分：分式的通分的定义根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.最简公分母为通分先要确定各分式
36、的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.二、分式的运算bcadbcadbdbdaabcaccd1.分式的乘除法则：(.)nnnaabb2.分式的乘方法则：3.分式的加减法则：(1)同分母分式的加减法则：(2)异分母分式的加减法则：.ababccc.acadbcadbcbdbdbdbd4.分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.计算结果要化为最简分式或整式三、分式方程1.分式方程的定义分母中含未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法(1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.(2)解这个整式方程.(3)把整式方
37、程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则须舍去. 3.分式方程的应用u列分式方程解应用题的一般步骤(1)审:清题意，并设未知数； (2)找:相等关系；(3)列:出方程；(4)解:这个分式方程；(5)验:根（包括两方面 :是否是分式方程的根； 是否符合题意）；(6)写:答案.考点一 分式的有关概念例1 如果分式 的值为0，那么x的值为 .211xx【解析】根据分式值为0的条件：分子为0而分母不为0，列出关于x的方程，求出x的值，并检验当x的取值时分式的分母的对应值是否为零.由题意可得：x2-1=0, 解得x=1.当x=-1时，x+1=0;当x=1时，x
38、+1 0.【答案】1考点讲练考点讲练1分式有意义的条件是分母不为0，分式无意义的条件是分母的值为0；分式的值为0的条件是：分子为0而分母不为0.归纳总结针对训练2.如果分式 的值为零，则a的值为 .22aa21.若分式 无意义，则 的值 .13x -3x考点二 分式的性质及有关计算B例2 如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（）xxy1316A.扩大为原来的3倍 B.不变C.缩小为原来的 D.缩小为原来的针对训练C3.下列变形正确的是( )22.aaAbb22.ababBaa22.11xxCxxyxxyyxD9296.22例3 已知x= ,y= ，求 值.121222112(
39、)2xx yx yxxyy【解析】本题中给出字母的具体取值，因此要先化简分式再代入求值.把x= ,y= 代入得1212解：原式=22(),(x y)(x y)2xxyxyxxy 原式=12(12)2 22.212 12 对于一个分式，如果给出其中字母的取值，我们可以先将分式进行化简，再把字母取值代入，即可求出分式的值.但对于某些分式的求值问题，却没有直接给出字母的取值，而只是给出字母满足的条件，这样的问题较复杂，需要根据具体情况选择适当的方法.归纳总结4.有一道题：“先化简，再求值: ,其中 ”.小玲做题时把 错抄成 ,但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?41)4422(22xxx
40、xx3x3x222222222241(2)4()(4)2444444(4)44xxxxxxxxxxxxxxx针对训练3x解:结果与x的符号无关22( 3)(3)3, 例4解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的值，如果将 的分子、分母颠倒过来，即求 的值，再利用公式变形求值就简单多了利用x和1/x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁归纳总结5.已知x2-5x+1=0,求出 的值.441xx解：x2-5x+1=0, 得 即150,xx 15.xx 4224222211()21()22(252)2527.xxxxx
41、x针对训练考点三 分式方程的解法例5 解下列分式方程： 【解析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解解：（1）去分母得x+1+x1=0，解得x=0， 经检验x=0是分式方程的解； （2）去分母得x4=2x+23，解得x=3， 经检验x=3是分式方程的解1143(1)0;(2)2.1111xxxxx解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根归纳总结22161.24xxx 6.解方程：解：最简公分母为（x+2）（x2），去分母得（x2）2（x+2）（x2）=16，整理得4x+8=16，解得x=2，经检
42、验x=2是增根，故原分式方程无解针对训练考点四 分式方程的应用例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍(1)求普通列车的行驶路程；解析：(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍，两数相乘即可；解：(1)根据题意得4001.3520(千米)答：普通列车的行驶路程是520千米；(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根据高铁所需时间比乘坐
43、普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可解：设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得解得x120，经检验x120是原方程的解，则高铁的平均速度是1202.5300(千米/时)答：高铁的平均速度是300千米/时针对训练7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则依题意列出正确的方程为（ ）319090 xx390190 xx319090 xx390190 xxA.B.C.D.C8. 某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但
44、这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是多少元？54解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意列方程，得60060030.54xx解得 x=4.经检验，故x=4原分式方程的解.答：第一次每支铅笔的进价为4元.考点五 本章数学思想和解题方法u主元法例7.已知： ，求 的值.23214abab2222abab【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可得 ，代入约分即可求值.45ab解： ， .23214abab45ab 22224()415.49()5bbbb 已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一个字母，然后把这
45、个关系式代入到分式中即可求出分式的值.这种方法即是主元法，此方法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元.那么这些辅元可以用含有主元的代数式表示，这样起到了减元之目的，或者将题中的几个未知数中，正确选择某一字母为主元，剩余的字母视为辅元，达到了化繁入简之目的，甚至将某些数字视为主元，字母变为辅元，起到化难为易的作用.归纳总结解：由 ，得 ， 23xy23xy2222222222()() 2 ()()()2.xyxyyxxyyxxyxy xyx xyxyy xyxy 把 代入可得原式=23xy443.3yy9.已知 ，求 的值.23xy222222222xyxyyxxyyxxy本题还可以
46、由已知条件设x=2m,y=3m.针对训练分式分式分式的定义及有意义的条件等分式方程分式方程的 应 用步 骤一审二设三列四解五检六写，尤其不要忘了验根类 型行程问题、工程问题、销售问题等分式的运算及化简求值分式方程的定义分式方程的解法课堂小结课堂小结小结与复习第六章 平行四边形要点梳理考点讲练课堂小结课后作业几 何 语 言文字叙述对边平行对边相等对角相等 AD=BC ，AB=DC. 四边形ABCD是平行四边形， A=C， B=D. 四边形ABCD是平行四边形， ABCD一、平行四边形的性质要点梳理要点梳理对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形， OA=OC，OB=OD. 四边形ABCD是平行
47、四边形， ADBC ，ABDC.平行四边形是中心对称图形.几 何 语 言文字叙述两组对边相等一组对边平行且相等 四边形ABCD是平行四边形. AD=BC ，AB=DC, 四边形ABCD是平行四边形. AB=DC，ABDC,ABCD二、平行四边形的判定对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形. OA=OC，OB=OD,两组对边分别平行（定义） 四边形ABCD是平行四边形. ADBC ，ABDC,平行线之间的距离处处相等1.三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2.三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.三、三角形的中位线用符号语言表示DE
48、是ABC的中位线DEBC,四、多边形的内角和与外角和多边形的内角和等于（n-2) 180 多边形的外角和等于 360 正多边形每个内角的度数是正多边形每个外角的度数是(2) 180,nn360.n考点一 平行四边形的性质考点讲练考点讲练例1 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）A1=2 BBAD=BCD CAB=CD DAC=BC 【解析】A.四边形ABCD是平行四边形，ABCD，1=2，故A正确；B.四边形ABCD是平行四边形，BAD=BCD，故B正确；C.四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，故C正确；D方法总结 主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形对边相等且
49、平行，对角相等.针对训练1.如图，已知 ABCD中，AE平分BAD，CF平分BCD，分别交BC、AD于E、F求证：AF=EC证明：四边形ABCD是平行四边形，B=D，AD=BC，AB=CD，BAD=BCD，（平行四边形的对角相等，对边相等）AE平分BAD，CF平分BCD，EAB= BAD，FCD= BCD，EAB= FCD，在ABE和CDF中 BD ABCD EABFCD ABECDF，BE=DFAD=BC AF=EC1212例2 如图，在 ABCD中，ODA=90，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）A4cm B5cm C6cm D8cm 【解析】四边形ABCD是平行四边形，AC=
50、10cm，BD=6cmOA=OC= AC=5cm，OB=OD= BD=3cm，ODA=90，AD= =4cm121222OA -OD A方法总结 主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，解题时还要注意勾股定理的应用.【解析】在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，AO=CO=12cm，BO=19cm，AD=BC=28cm，BOC的周长是：BO+CO+BC=12+19+28=51(cm)针对训练2.如图，在 ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则BOC的周长是（）A45cm B59
