1、第二课时数列的性质与递推公式第二课时数列的性质与递推公式 目标导航目标导航 课标要求课标要求1.1.了解数列递推公式的概念了解数列递推公式的概念; ;知道递推公式是给出数列知道递推公式是给出数列的一种方法的一种方法. .2.2.能根据数列的递推公式写出数列能根据数列的递推公式写出数列. .3.3.能根据数列的通项公式研究数列的单调性能根据数列的通项公式研究数列的单调性, ,会求数列会求数列中的最大中的最大( (小小) )项项. .4.4.了解数列的周期性了解数列的周期性, ,能解决相关的简单问题能解决相关的简单问题. .素养达成素养达成通过对数列的性质与递推公式的学习通过对数列的性质与递推公式
2、的学习, ,培养学生的函数培养学生的函数思想与逻辑推理能力思想与逻辑推理能力. .新知导学新知导学课堂探究课堂探究1.1.数列的函数性质数列的函数性质(1)(1)数列可以看成以数列可以看成以 ( (或它的有限子集或它的有限子集 ) )为为定义域的函数定义域的函数a an n=f(n),=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时当自变量按照从小到大的顺序依次取值时, ,所对所对应的一列函数值应的一列函数值. .(2)(2)在数列在数列aan n 中中, ,若若a an+1n+1 a an n, ,则则aan n 是递增数列是递增数列; ;若若a an+1n+1 a an n, ,则则aan
3、 n 为递减数列为递减数列; ;若若a an+1n+1=a=an n, ,则则aan n 为常数列为常数列. .新知导学新知导学素养养成素养养成正整数集正整数集N N* * 1,2,n 1,2,n aan n恒成立恒成立, ,则则aan n 是递增数列是递增数列; ;若若a an+1n+1a0,0,所以所以a an+1n+1aan n, ,所以数列所以数列aan n 是递增数列是递增数列. .方法技巧方法技巧(1)(1)由于数列是特殊函数由于数列是特殊函数, ,因此可以用研究函数的思想方法来研究数因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质列的相关性质, ,如单调性、最大值、最小值等如单调
4、性、最大值、最小值等; ;此时要注意数列的定此时要注意数列的定义域为正整数集义域为正整数集( (或其子集或其子集) ) 这一条件这一条件. .解解: :(1)(1)由由n n2 2-5n+40,-5n+40,解得解得1n4.1n4.因为因为nnN N* *, ,所以所以n=2,3.n=2,3.所以数列中有两项是负数所以数列中有两项是负数. .即时训练即时训练2 2- -1:1:已知数列已知数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=n=n2 2-5n+4.-5n+4.(1)(1)数列中有多少项是负数数列中有多少项是负数? ?(2)n(2)n为何值时为何值时,a,an n有最小值有最小
5、值? ?并求出最小值并求出最小值. .方法技巧方法技巧由数列的递推公式求通项公式时由数列的递推公式求通项公式时, ,若递推关系为若递推关系为a an+1n+1=a=an n+f(n)+f(n)或或a an+1n+1=g(n)=g(n)a an n, ,则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式则可以分别通过累加法或累乘法求得通项公式, ,即即(1)(1)累加法累加法: :当当a an n=a=an-1n-1+f(n)+f(n)时时, ,常用常用a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+(a)+(an-1n-1-a-an-2n-2)+(a)+(a2 2- -a a1 1)+a)+a1
6、1求通项公式求通项公式. .即时训即时训练练3 3- -1:1:已知数列已知数列aan n,a,a1 1=2,a=2,an n=2a=2an-1n-1(n2),(n2),求数列的通项公式求数列的通项公式a an n. . 备用例备用例33(1)(1)已知数列已知数列aan n 中中,a,a1 1=1,a=1,an n=n(a=n(an+1n+1-a-an n)(n)(nN N* *).).求数列的通项求数列的通项a an n; ;题型四易错辨析题型四易错辨析忽略递推公式中忽略递推公式中n n的取值范围致误的取值范围致误 例例44已知数列已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,a=1,an
7、 n=a=a1 1+2a+2a2 2+3a+3a3 3+ +(n-1)a+(n-1)an-1n-1(n2),(n2),求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式.(.(提示提示: :如果如果nnN N* *, ,那么那么n!=nn!=n(n-1)(n-1)(n-2)(n-2)3 32 21)1)纠错纠错: :本题产生错误的原因是忽略了本题产生错误的原因是忽略了a an-1n-1=a=a1 1+2a+2a2 2+3a+3a3 3+ +(n-2)a+(n-2)an-2n-2中中隐含的隐含的n3n3这一条件这一条件, ,使累乘过程中出现了错误使累乘过程中出现了错误. .学霸经验分享区学霸经验分享区
8、(1)(1)数列的递推公式是除通项公式外的另一种表达数列的方法数列的递推公式是除通项公式外的另一种表达数列的方法, ,要注要注意它与通项公式的区别意它与通项公式的区别. .(2)(2)用递推公式求通项公式是常见的题型用递推公式求通项公式是常见的题型, ,本节所介绍的累加法与累本节所介绍的累加法与累乘法是常用方法乘法是常用方法. .(3)(3)求数列的最值是数列单调性的具体应用求数列的最值是数列单调性的具体应用, ,要结合函数求最值的方要结合函数求最值的方法加以理解法加以理解, ,同时注意数列本身的性质同时注意数列本身的性质. .课堂达标课堂达标1.1.数列数列aan n 满足满足a an n=
9、4a=4an-1n-1+3,+3,且且a a1 1=0,=0,则此数列的第则此数列的第5 5项是项是( ( ) )(A)15(A)15(B)255(B)255(C)20(C)20(D)8(D)8B B解析解析: :因为因为a an n=4a=4an-1n-1+3,+3,所以所以a a2 2=4=40+3=3,0+3=3,a a3 3=4=43+3=15,a3+3=15,a4 4=4=415+3=63,a15+3=63,a5 5=4=463+3=255.63+3=255.故选故选B.B.C C3.3.数列数列1,3,6,10,15,1,3,6,10,15,的递推公式是的递推公式是( ( ) )(
10、A)a(A)an+1n+1=a=an n+n,n+n,nN N* *(B)a(B)an n=a=an-1n-1+n,n+n,nN N* *,n2,n2(C)a(C)an+1n+1=a=an n+(n+1),n+(n+1),nN N* *,n2,n2(D)a(D)an n=a=an-1n-1+(n-1),n+(n-1),nN N* *,n2,n2B B解析解析: :a a2 2=a=a1 1+2,a+2,a3 3=a=a2 2+3,a+3,a4 4=a=a3 3+4,a+4,a5 5=a=a4 4+5,+5,.所以所以a an n=a=an-1n-1+n(n+n(nN N* *,n2).,n2).故选故选B.B.4.4.数列数列aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=n=n2 2-6n,-6n,则它的最小项的值是则它的最小项的值是. . 解析解析: :因为因为a an n=n=n2 2-6n=(n-3)-6n=(n-3)2 2-9,-9,所以当所以当n=3n=3时时,a,an n有最小值有最小值-9.-9.答案答案: :-9-9点击进入点击进入 课时作业课时作业
