1、小结与复习第一章 有理数要点梳理要点梳理二、有理数1.有理数的概念2.用正、负数表示具有相反意义的量1.小学学过的除0以外的数都是正数. 在正数前面加上符号“-”（负）的数叫做负数.一、正数和负数整数和分数统称有理数3.数轴有理数正整数负整数负分数正有理数负有理数正分数零有理数正整数正分数整数分数零负整数自然数2.有理数的分类负分数(1)按定义分类(2)按符号分类(1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.(2)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 4.相反数（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等5.绝对值 （1）一个数在数轴上对应的点到
2、原点的距离叫做这个数的绝对值 （2）一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数. 0的绝对值是0.三、有理数的运算6.有理数大小的比较(1)数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大(2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小1.有理数的加法(1)加法法则(2)加法的运算律加法的交换律加法的结合律2.有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.3.有理数的乘法(1)乘法法则(2)乘法的运算律乘法的交换律乘法的结合律4.有理数的除法乘法的分配律除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数.(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进
3、行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行.5.有理数的乘方 求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.指数底数6.有理数的混合运算na幂四、科学记数法五、近似数1按照要求取近似数2由近似数判断精确度四舍五入到某一位，就说这个数近似数精确到那一位 1.1a10 2.n为原数的整数位减去1把大于10的数记成a10n的形式，其中考点讲练考点讲练考点一 正、负数的意义例1 如果-4米表示向东走4米，那么向西走2米记作_.+2米【解析】根据题意，可知向东记为负，向西记为正， 故向西走2米记做+2米.方法总结 根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东
4、)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负注意带单位针对训练 1.下列语句中，含有相反意义的两个量是（ ） A.盈利1千元和收入2千元 B.上升8米和后退8米 C.存入1千元和取出2千元 D.超过2厘米和上涨2厘米C-82.上升9记作+9，那么下降8记作_.考点二 正、负数的概念例2 判断:不带“”号的数都是正数 （ ）一个有理数不是正数就是负数 （ ） 0表示没有温度 （ ） 如果a是正数，那么a一定是负（ ）不存在既不是正数，也不是负数的数（ ） 【解析】0不带“”号，但0不是正数，故错误；正数的相反数是负数，故正确；同，故错误；同，故错误；0并不是表示没有温度，它是介于正温
5、度与负温度之间，故错误.方法总结 0既不是正数也不是负数，0的相反数是它本身. 0不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值.考点三 有理数的分类例3 将下列各数分别填入下列相应的圈内：3.5|-2|0-3.5-2 -135-130.5， ， ， ， ， ， ，正数负数整数分数3.5，|-2|， 0.5-3.5,-2,-135,-130，|-2|，-23.5，,0.5-3.5,-135,-13针对训练+3.5 0-2 -23-0.73.在 ， ， ， ， 中，负分数有 个.112【解析】负分数不仅是负数而且是分数，注意小数也属于分数.故只有2个.考点四 相反数、倒数、绝对值例4 填表3.5|-
6、2|0-3.5-2-135-130.5数相反数倒数绝对值-3.5-203.52-0.5135133.5203.520.513513-3没有-0.520.5-2727-584. 的倒数是 ； 的相反数是 ；-13-113113-35的绝对值是 .5针对训练3.5|-2|0-3.5-20.5， ， ， ， ， ， ，考点五 数轴例5 请你将下面的数在数轴上表示出来-135-13解：表示如下-4-2-101234-33.5-3.50|-2|-20.5-135-13针对训练5.在数轴上，点A所表示的数为2，那么到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数是_.-1或3考点六 有理数比较大小3.5|-2|
7、0-3.5-20.5， ， ， ， ， ， ，例6 请你将下面的数用“”连接起来-135-13解法一：将各数在数轴上表示出来，右边的大于左边的，然后从大到小排列-4-2-101234-33.5-3.50|-2|-20.5-135-13 3.5|-2|0-3.5-20.5-135-13解法二：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小 3.5|-2|0-3.5-20.5-135-136.某日零点，北京、上海、宁夏的气温分别是4、5、6、8，当时这四个城市中，气温最低的是 （ ） A北京 B上海 C重庆 D宁夏针对训练D考点七 科学记数法例7 将数13 445 000 000
8、 000km用科学记数法表示_ _m.1.34451016注意统一单位7.2016年末上海市常住人口总数为24197万人，用科学记数法表示为 人.2.4197107针对训练考点八 近似数例8 2016年我国全年出境旅游人数达1.22亿人次.这里的1.22亿精确到 位.百万针对训练8.由四舍五入法得到的近似数2.349105精确到 位，如果精确到万位可写成 .2.3105百考点九 有理数的运算例9 计算7355()( 36)124618 11( 2)()()1212 421122( 2 )(2 )5()( 0.5)326 （1）（2）（3）（4）1120.12533110.25483 1.把减法
9、转化为加法时，要注意符号2.对几个有理数相加减的题目，要注意观察，将哪些数放在一起会使计算简便解:(1)(2)注意符号问题(3)先确定商的符号，再把绝对值相除注意：1.底数是带分数时，要先将带分数化成假分数.2.区分-24与(-2)4.(4)针对训练9.计算(1)(2)(3)(4)答案：(1)-17(2)33(3)-3.315783)4(2) 3(62375. 04 . 34353. 075. 053. 151)2(42316(4)5课堂小结课堂小结整数整数分数分数数轴数轴比较大小比较大小相反数相反数绝对值绝对值点与数的对应点与数的对应负分数负分数正分数正分数正有理数正有理数负有理数负有理数0
10、有理数有理数0正整数正整数负整数负整数有有理理数数减法减法运算运算加法加法乘法乘法乘方乘方除法除法交换律交换律结合律结合律小结与复习第二章 整式的加减要点梳理要点梳理一、整式的有关概念1.单项式：都是数或字母的_，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数积 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数4.多项式：几个单项式的_叫做多项式5.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数6.整式：_统称整式和单项式与多项式二、同类项、合并同类项1.同类项：所含字母_，并且相同字母的指数也
11、_的项叫做同类项几个常数项也是同类项2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变相同相同注意 (1)同类项不考虑字母的排列顺序，如7xy与yx是同类项；(2)只有同类项才能合并，如x2x3不能合并三、整式的加减一般地，几个整式相加减，如果有括号就先_，然后再_ 去括号合并同类项考点讲练考点讲练考点一 整式的有关概念 A 针对训练 33考点二 同类项例2若3xm5y2与x3yn的和是单项式，求mn的值【解析】由题意可知 3xm5y2与x3yn是同类项， 所以x的指数和y的指数分别相等针对训练2.若5x2 y与x m yn是同类项，则
12、m=( ) ,n=( ) 若单项式a2b与3am+n bn能合并，则m=( ) , n=( ) 1 1 1只有同类项才能合并成一项考点三 去括号例3已知Ax32y3xy2，By3x32xy2，求：(1)AB；(2)2B2A.【解析】 把A，B所指的式子分别代入计算解：(1)AB(x32y3xy2)(y3x32xy2) x32y3xy2y3x32xy2 2x3y3xy2.(2)2B2A2(y3x32xy2)2(x32y3xy2) 2y32x34xy22x34y32xy2 6xy26y3.针对训练3下列各项中，去括号正确的是()Ax2(2xy2)x22xy2B(mn)mnmnmnCx(5x3y)(
13、2xy)2x2yDab(ab3)3C例4若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则AB一定是()A三次多项式 B四次多项式或单项式C七次多项式 D四次七项式【解析】AB的最高次项一定是四次项，至于是否含有其它低次项不得而知，所以AB只可能是四次多项式或单项式.故选B. B你能举出对应的例子吗？针对训练4若A是一个四次多项式，B是一个二次多项式，则AB ()A可能是六次多项式 B可能是二次多项式C一定是四次多项式或单项式 D可能是0 C考点四 整式的加减运算与求值【解析】 如果把x的值直接代入，分别求出A，B，C的值，然后再求3A2B36C的值显然很麻烦，不如先把原式化简，再把x值代入计算5.
14、化简后再求值：5x2-2y-8(x2-2y)+3(2x2-3y)，其中|x+12|+(y-13)2=0分析：原式去括号合并得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可求出值针对训练解：原式=5x2-2y-8x2+16y+6x2-9y=3x2-5y.因为|x+2|+(y-3)2=0，所以x+2=0，y-3=0，即x=-2，y=3，则原式=12-15=-3设n表示自然数，用关于n的整式表示出来.例6：从2开始连续的偶数相加,它们和的情况如下表:加数的个数n和s12=1222+4=6=2332+4+6=12=3442+4+6+8=20=45考点五 与整式的加减有关的探索性问题s与n之间
15、有什么关系？能否用一个关系式来表示？分析:观察上表,当n=1时,s=12,即第一个数字是1,第二个数字是2;当n=2时,s=2+4=6=23,第一个数字是2,第二个数字是3,依此类推,发现第一个数字是n,第二个数字比n大1.解:s与n的关系为s=n(n+1).解：当n= =1002时,s=1002(1002+1)=1005006.即2+4+6+8+2004=1005006.22004小结:观察是解题的前提条件,当已知数据有很多组时,需要仔细观察,反复比较,才能发现其中的规律.计算2+4+6+8+2004.针对训练6. 观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2017个图形中共有_个
16、五角星 6052【解析】可以发现每个图形的五角星个数都比前面一个图形的五角星个数多3个.由于第1个图形的五角星个数是31+1，所以第n个图形的五角星个数是3n+1,故第2017个图形五角星个数是32017+1=6052.课堂小结课堂小结整 式 的 加 减 用字母表示数单项式：多项式：去括号：同类项：合并同类项：整式的加减：系数、次数项、次数、常数项定义、“两相同、两无关”定义、法则、步骤法 则步 骤整 式小结与复习第三章 一元一次方程要点梳理要点梳理一、方程的有关概念 1. 方程：含有未知数的等式叫做方程2. 一元一次方程的概念：只含有_个未知数，未 知数的次数都是_，等号两边都是_，这 样的
17、方程叫做一元一次方程3. 方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的 值叫做方程的解4. 解方程：求方程解的过程叫做解方程一1整式1. 等式的性质1：等式两边加 (或减) 同一个数 (或 式子)，结果仍相等如果 ab，那么 a bc.2. 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等如果 ab，那么 ac _；如果 a = b (c0)，那么 _二、等式的性质 bccacbc解一元一次方程的一般步骤： (1) 去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数， 别漏乘 (2) 去括号：注意括号前的系数与符号 (3) 移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常 数项移到方程右边，
18、移项注意要改变符号 (4) 合并同类项：把方程化成 ax b (a0)的形式 (5) 系数化为1：方程两边同除以 x 的系数，得 xm 的形式.三、一元一次方程的解法 1. 列方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，分清题中的已知量、未知量 设：设未知数，设其中某个未知量为x. 列：根据题意寻找等量关系列方程 解：解方程 验：检验方程的解是否符合题意 答：写出答案 (包括单位)四、实际问题与一元一次方程审题是基础，找等量关系是关键.2. 常见的几种方程类型及等量关系： (1) 行程问题中基本量之间关系： 路程速度时间 相遇问题： 全路程甲走的路程乙走的路程； 追及问题： 甲为快者，被追路程
19、甲走路程乙走路程； 流水行船问题： v顺v静v水，v逆v静v水(2) 工程问题中基本量之间的关系： 工作量 = 工作效率工作时间； 合作的工作效率 = 工作效率之和； 工作总量 = 各部分工作量之和 = 合作的工作效 率工作时间； 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看 做1.(3) 销售问题中基本量之间的关系： 商品利润 = 商品售价商品进价； 利润率 = ；商品进价商品利润100 商品售价 = 标价 ；10折扣数 商品售价 = 商品进价+商品利润 = 商品进价+商品进价利润率 = 商品进价(1+利润率).例1 如果 x = 2是方程 的解，那么 a 的值是 ( ) A. 0 B. 2 C
20、. 2 D. 6考点讲练考点讲练考点一 方程的有关概念解析：将 x2 代入方程得1a1，解得a2. C121ax方法总结：已知方程的解求字母参数的值，将方程的解代入方程中，得到关于字母参数的方程，解方程即可得字母参数的值.1. 若 (m3) x| m|221 是关于 x 的一元一次方程， 则 m的值为_3针对训练注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为0. 考点二 等式的基本性质例2 下列说法正确的是 ( ) A. x +1 = 2+2x 变形得到 1= x B. 2x = 3x 变形得到 2 = 3 C. 将方程 系数化为1，得 D. 将方程 3x = 4x4 变形
21、得到 x = 4232 x34xD方法总结：已利用等式的性质变形，需注意符号问题，同时一定要谨记，利用等式性质2变形，等式两边同时除以一个数时，该数不能为0.2. 下列运用等式的性质，变形正确的是 ( ) A. 若 x = y，则 x5 = y+5 B. 若 a = b，则 ac = bc C. 若 ，则 2a = 3b D. 若 x = y，则 cbcaayaxBa可能为0针对训练考点三 一元一次方程的解法例3 解下列方程： (1) ；121101412xxx解：去分母，得 3(2x+1)12 = 12x(10 x+1).去括号，得 6x312 = 12x10 x1. 移项，得 6x12x1
22、0 x = 1312. 合并同类项，得 4x = 8. 系数化为1，得 x = 2. 提示：先用分配律、去括号简化方程，再求解较容易(2) .23841213443xx解：去括号，得 1136.242xx移项，得 1316.224xx合并同类项，得 16.4x 系数化为1，得 16.4x 3. 解方程：.23252xx解：去分母，得 2(x2) = 205(x3). 去括号，得 2x4 = 205x15. 移项，得 2x5x = 20154. 合并同类项，得 7x = 9. 系数化为1，得 9.7x 针对训练考点四 实际问题与一元一次方程例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度
23、为7 km/h，水流速度为2 km/h，往返一次共用28 h，求甲、乙两码头之间的距离解：设甲、乙两码头之间的距离是 x km.由顺水航行时间逆水航行时间往返一次共用时间，得28.727 2xx解得 x = 90. 答：甲、乙两码头之间的距离是 90 km.4. 小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米， 可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟到5分钟， 则他家到学校的路程是多少千米？解：设他家到学校的路程是 x 千米，依题意得105.15601260 xx解得 x =15. 答：他家到学校的路程是15 千米.针对训练例5 抗洪救灾小组在甲地有28人，乙地有15人，现在又调来17人，分配在
24、甲、乙两地，要求调配后甲地人数与乙地人数之比为3:2，求应调至甲地和乙地各多少人？解：设应调至甲地 x 人，则调至乙地的人数为 (17x) 人，根据调配后甲乙两地人数的数 量关系得22815(17).3xx解得 x = 8. 则17-x=9.答：应调至甲地 8 人，乙地 9 人. 5. 春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该服装50件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌服装的数量解：设甲商城原来有该品牌服装x件，则乙商城原来有该品牌服装（450-x）件，根据题意,得x+50=2（450-x）-50，解得x=250，
25、则450-x=200答：甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该品牌服装200件.针对训练例6 一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成现甲、乙合作3天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？解：设乙、丙还要 x 天才能完成这项工作，由甲、 乙合作 3 天的工作量+乙、丙合作的工作量=1， 得111131.8121224x 解得 x = 3. 答：乙、丙还要3天才能完成这项工作6. 一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ， 第二天耕了剩余部分的 ，还剩下42公顷，则这 片地共有 公顷.2313解析：设这片地共有 x 公顷. 由题意，得
26、 21242.333xxxx解得 x =189. 189针对训练例7 某个商品的进价是 500 元，把它提价 40% 后作为标价. 如果商家要想保住 12% 的利润率搞促销活动，请你计算一下广告上可写出最多打几折?提示：提价 40 后，商品标价为 500(1+40)，要保住 12 的利润率，商品的售价应为500(1+12)，根据 可列方程.商品售价 = 标价 10折扣数解：设最多可以打 x 折，根据题意得5001 405001 12.10 x解得 x = 8.答：广告上可写出最多打 8 折.7. 一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假 日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件 仍可获
27、利24元，问这件商品的进价是多少元？解：设这件商品的进价是 x 元，根据题意得81 4024.10 xx解得 x = 200.答：这件商品的进价是 200 元.针对训练(1) 当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市 实付款分别是多少？例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：甲超市促销信息栏乙超市促销信息栏全场8.8折不超过200元，不予优惠；满200元而不超过500元，打九折；满500元，其中500元的部分优惠10，超过500元的部分打八折假设两家超市相同商品的标价都一样.解：当一次性购物标价总额是300元时， 甲超市实付款：3000.88=264 (元)， 乙超市实付款：3000.
28、9=270 (元).(2) 当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？解：设当标价总额是 x 元时，甲、乙超市实付款一样由题意知，当 x 500 时，甲超市的促销力度大于乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终小于乙超市实付款，所以 x500 根据题意得 0.88x = 500(110) + 0.8(x500)， 解得 x = 625答：当标价总额是 625 元时，甲、乙超市实付款一样.(3) 小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若 他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省多 少元？分析：由题目信息可知，在乙超市购物： 不超过200元，不予优惠；大于等于200元小于5
29、00元，实付款大于等于180元， 小于450元；大于等于500元，实付款大于等于450元.解：由题意知： 购物标价总额不超过200元，不予优惠； 大于等于200元小于 500 元，实付款大于等于 2000.9 =180 (元)，小于 5000.9 = 450 (元)； 大于等于500元，实付款大于等于450元. 小王第一次购物付款 198 元200元，购物标价可 能是 198 元，也可能是1980.9=220 (元)， 第二次购物付款 466 元450 元，所以购物标价 大于500元，为 (466450)0.8+500 = 520 (元)， 所以，小王两次购物标价之和为 198+520 = 7
30、18 (元)， 或 220+520 = 740 (元) 若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为 5000.9 + 0.8(718500) = 624.4 (元)，或 5000.9 + 0.8(740-500) = 642 (元)， 可以节省 198+466624.4 = 39.6 (元)，或 198+466642 = 22 (元) 答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以 节省 39.6 元或 22 元8. 甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为 了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市 累计购买商品超出 300 元之后，超出部分按原价 8 折优惠；在乙超市累计购买商品超出
31、 200 元之后， 超出部分按原价 8.5 折优惠设顾客累计购物 x 元 (x300) (1) 请用含 x 的代数式分别表示顾客在两家超市购物 所付的费用；针对训练解：顾客在甲超市购物所付的费用为： 300+0.8(x300) = (0.8x+60) 元 (x300)； 顾客在乙超市购物所付的费用为： 200+0.85(x200) = (0.85x+30) 元 (x300)(2) 李明准备购买 500 元的商品，你认为他应该去哪 家超市？请说明理由答：他应该去乙超市，理由如下： 当 x =500 时，在甲超市购物所付的费用为： 0.8500+60 = 460 (元)； 在乙超市购物所付的费用为
32、： 0.85500+30 = 455 (元). 460455， 他去乙超市划算(3) 计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超 市购物所付的费用一样？解：由题意得 0.8x+60 = 0.85x+30. 解得 x = 600.答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物 所付的费用一样9. 为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标 准作如下规定：每户每月用电如果不超过 100 度， 那么每度按 0.50 元收费；如果超过 100 度不超过 200 度，那么超过的部分每度按 0.65 元收费；如果 超过200度，那么超过的部分每度按 0.75 元收费 (1) 若居民甲在 6 月份用电 10
33、0 度，则他这个月应缴 纳电费 元； 若居民乙在 7 月份用电 200 度，则他这个月应缴 纳电费 元； 若居民丙在 8 月份用电 300 度，则他这个月应缴 纳电费 元；50115190(2) 若某户居民在9月份缴纳电费310元，那么他这个 月用电多少度？解：设他这个月用电 x 度，根据题意得： 0.50100+0.65(200100)+0.75(x200) = 310， 解得 x = 460答：他这个月用电 460 度课堂小结课堂小结去括号等 式 的 性 质移项合并同类项概念实际问题去分母系 数 化 为 1解法步骤一元一次方程方程等式的性质1等式的性质2设列解检答小结与复习第四章 图形初步
34、认识要点梳理要点梳理一、几何图形1. 立体图形与平面图形 (1) 立体图形的各部分不都在同一平面内，如： (2) 平面图形的各部分都在同一平面内，如：2. 从不同方向看立体图形3. 立体图形的展开图正方体圆柱三棱柱圆锥4. 点、线、面、体之间的联系(1) 体是由面围成，面与面相交成线，线与线 相交成点；(2) 点动成线、线动成面、面动成体.二、直线、射线、线段1. 有关直线的基本事实经过两点有一条直线，并且只有一条直线.2. 直线、射线、线段的区别类型线段射线直线端点个数2个不能延伸延伸性能否度量可度量1个向一个方向无限延伸不可度量无端点向两个方向无限延伸不可度量3. 基本作图 (1) 作一线
35、段等于已知线段； (2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.5. 有关线段的基本事实 两点之间，线段最短.4. 线段的中点应用格式：12ACB6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.三、角1. 角的定义(1) 有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；(2) 角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转 而形成的图形.2. 角的度量度、分、秒的互化160，1603. 角的平分线OBAC应用格式：124. 余角和补角(1) 定义 如果两个角的和等于90( 直角 )，就说这 两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ). 如果两个角的和等于180(平角)，就说这 两个角互为补角 ( 简称为两个角
36、互补 ).(2) 性质 同角 (等角) 的补角相等. 同角 (等角) 的余角相等.(3) 方位角 定义 物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹 角称为方位角，一般以正北、正南为基准， 用向东或向西旋转的角度表示方向. 书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西考点一 从不同方向看立体图形考点讲练考点讲练例1 如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数,画出从正面和左面方向看到的平面图形.1122考点讲练考点讲练1122从正面看从左面看解：解析：根据图中的数字，可知从前面看有3列，从左到右的个数分别是1，2，1；从左面看有2列，个数都是2 .
37、A B C Da b c d针对训练1. 如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别 得到 a，b，c，d 四个平面图形，把上下两行相对 应立体图形与平面图形用线连接起来 考点二 立体图形的展开图例2 根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称 (1)_，(2)_，(3)_.长方体三棱柱三棱锥(1) (2) (3)2. 在下列图形中 (每个小四边形皆为相同的正方形)， 可以是一个正方体展开图的是 ( ) B C DC针对训练考点三 线段长度的计算例3 如图，已知点 C 为 AB 上一点，AC =15 cm，CB= AC，D，E 分别为 AC，AB 的中点，求DE 的长53E CAD B解
38、：AC =15cm，CB = AC， CB = 15=9 cm，AB =15+9= 24 cm D，E 分别为 AC，AB 的中点， AE = AB =12 cm，DC = AC = 7.5 cm， DE = AEAD =127.5 = 4.5 (cm)35351212例4 如图，B，C 两点把线段 AD 分成 2:5:3 三部分，M 为 AD 的中点，MC = 6 cm，求线段 BM 和 AD 的长DAB CM 提示：题目中线段间有明显的倍分关系，且和差关系较为复杂，可以尝试列方程解答. 由 MC + CD= M D得，3x + 6 = 5x. 解得 x = 3. 故 BM = AM AB
39、=5x2x = 3x = 33 = 9 (cm)， AD =10 x =103 = 30 (cm)DAB CM 解：设 AB = 2x cm， BC = 5x cm，CD = 3x cm， 则 AD = AB+BC+CD =10 x cm. M 是 AD 的中点，12 AM = MD = AD = 5x cm.例5 点 C 在线段 AB所在的直线上，点M，N分别是 AC，BC的中点. (1) 如图，AC = 8 cm，CB = 6 cm，求线段MN的长；A M C N B CM AC4 (cm)，CN BC3 (cm)， 1212解：点M，N分别是AC，BC的中点， MNCMCN437 (cm
40、).(2) 若 C 为线段 AB 上任一点，满足 AC + CB = a cm， 其它条件不变，你能猜想 MN 的长度吗？并说明 理由；A M C N B证明：同(1)可得 CM AC ，CN BC， MN CMCN AC BC (ACBC) a (cm).121212121212猜想：MN = a cm.12(3) 若C 在线段 AB的延长线上，且满足 ACBC = b cm， M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想 MN 的长度 吗？请画出图形，并说明理由.A M B N C MN = MCNC = AC BC = (ACBC) = b (cm) 12121212猜想：MN= b cm.1
41、2证明：根据题意画出图形，由图可得针对训练BAM CD BACD 45cm 72cm 3. 如图：线段 AB = 100 cm，点 C，D 在线段 AB 上. 点 M 是线段 AD 的中点，MD = 21 cm，BC = 34 cm . 则线段 MC 的长度为_. 5. 已知：点 A，B，C 在一直线上，AB =12 cm，BC = 4 cm. 点 M，N 分别是线段 AB，BC 的中点. 求线 段 MN 的长度. A M C N B图 BM = AB = 12 = 6 (cm)， BN = BC = 4 = 2 (cm)， 12121212解：如图，当 C 在 AB 间时， M，N 分别是
42、AB，BC 的中点， MN = BMBN = 62 = 4 (cm).方法总结：无图条件下，注意多解情况要分类讨论，培养分类意识.CAM NB 图 BM = AB = 12 = 6 (cm)， BN = BC = 4 = 2 (cm)12121212如图，当C在线段AB外时， M，N 分别是 AB，BC 的中点， MN = BM + BN = 6 + 2 = 8 (cm).考点四 关于线段的基本事实例6 如图，是一个三级台阶，A 和 B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B 点去吃可口的食物. 若这只蚂蚁从 A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？AB
43、解：如图，将台阶面展开成平 面图形. 连接 AB 两点，因为两点 之间线段最短，所以线段 AB 为蚂蚁爬行的最短路线.ABBB6. 如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面 爬到B点去吃蚊子. 请画出壁虎在圆柱体表面爬行 的最短路线.A针对训练考点五 角的度量及角度的计算例7 如图，BD平分ABC，BE 把ABC 分成 25 两部分，DBE=21，求ABC的度数.EBACD ABD= ABC =3.5x. 12解：设ABE = 2x，则CBE = 5x, ABC =ABE+CBE= 7x. BD 平分ABC，ABE+DBE =ABD ，即2x + 21= 3.5x. 解得 x = 14. A
44、BC = 7x= 714= 98 .例8 如图，AOB是直角， ON是AOC的平分线，OM是BOC的平分线.(1) 当AOC=50时，求MON的大小； OBMANC提示：先求出BOC的度数，再根据角平分线的定义求出COM，CON，然后根据MON=COMCON代入数据进行计算即可得解. MON=COMCON=7025=45.OBMANC解：AOB是直角，AOC=50， BOC =AOB+AOC = 90+50=140，ON是AOC的平分线， OM是BOC的平分线，1212COM = BOC = 140=70，1212CON= AOC = 50= 25，(2) 当AOC 时， MON等于多少度？O
45、BMANCMON=COMCON= (90+)=45. 12解：BOC=AOB+AOC =90+，ON是AOC的平分线， OM是BOC的平分线，1212 CON= AOC = ，1212COM= BOC = (90+)，(3) 当锐角AOC的大小发生改变时，MON的大小 也会发生改变吗？为什么？解：不会发生变化. 由(2)可知MON的大小与AOC 无关，总是等于AOB的一半. OBMANC针对训练7. 若A = 2018，B = 201530，C = 20.25， 则 ( ) A. ABC B. BAC C. ACB D. CABA 8. 19点整时，时钟上时针与分钟 之间的夹角是 ( ) A.
46、 210 B. 30 C. 150 D. 60C9 已知一条射线 OA，若从点 O 再引两条射线 OB 和 OC，使AOB=50，BOC=10，求AOC的 度数解：有两种情况：如图所示： AOC =AOB+BOC =50+10=60； O A C B 图 如图所示： AOC =AOBBOC =5010=40. 综上所述，AOC的度数 为60或40O A C B 图考点六 余角和补角例9 已知和互为补角，并且的一半比小30，求， 解：设x，则180 x根据题意 2(30)，得 180 x2(x 30)，解得 x80所以 ，80，100提示：此题和差倍分关系较复杂，可列方程解答. 例10 如图，直
47、线AB，CD相交于点O，OF平分AOE，FOD=90(1) 写出图中所有与AOD互补的角；解：直线AB，CD相交于点O， AOC和BOD与AOD 互补， OF平分AOE，AOF=EOF， FOD=90， COF=180FOD=90. 又AOC=COFAOF=90EOF， DOE=FODEOF=90EOF， AOC=DOE. 与AOD互补的角有AOC，BOD，DOE.O A C B D E F (2) 若AOE=120，求BOD的度数O A C B D E F AOF = AOE = 120=60. 1212解：OF平分AOE，由(1)知，COF=90， AOC=COFAOF=9060=30.
48、由(1)知，AOC和BOD与AOD 互补，BOD=AOC=30(同角的补角相等).例9 已知AOB=90，COD=90，画出示意图并探究AOC与BOD的关系解：如图，AOB = 90， COD = 90， AOC = 90BOC， BOD = 90BOC， AOC =BOD； 如图，AOC=90+BOC， BOD=90BOC， AOC+BOD=180；D O A C B 图D O A C B 图如图，AOB=90,COD=90，AOC=90+BOC，BOD=90+BOC，AOC=BOD；如图，AOC+BOD=360902=180，AOC+BOD=180综上所述，AOC =BOD 或AOC+BO
49、D=180O A C B D 图O A C B D 图10. 如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分EOC (1) 若EOC=70，求BOD的度数；O A C B D E AOC = EOC = 70=35.1212针对训练解：直线AB，CD相交于点O，AOC=BOD=180AOD.OA平分EOC，BOD =AOC =35.(2) 若EOC : EOD=2:3，求BOD的度数解：设EOC=2xEOD=3x， 由EOC+EOD=180得 2x+3x =180， 解得x = 36. EOC = 2x=72， AOC= EOC= 72=36， BOD=AOC=36O A C B D E 121211. 一只蚂蚁从 O 点出发，沿东北方向爬行 2.5 cm， 碰到障碍物 B 后，折向北偏西60方向爬行3 cm 到 C点. (1) 画出蚂蚁的爬行路线； (2) 求出OBC的度数.北OB2.5 cmC3 cm6045解：(1) 如图所示； (2) OBC =75.几何图形立体图形平面图形展开或从不同方向看面动成体平面图形直线、射线、线段角表示方法线段长短的比较与计算两个基本事实中点表示方法角的度量、比较与计算余角和补角角平分线概念、性质课堂小结课堂小结播放后动态显示答案.七年级上册期末检测试卷（二）
