1、6 常微分方程数值解法常微分方程数值解法常微分方程常微分方程欧拉方法欧拉方法龙格龙格-库塔方法库塔方法一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 数值方法的基本思想数值方法的基本思想 在解的存在区间上取在解的存在区间上取n + 1个节点个节点 012naxxxxb利用数值计算方法寻求利用数值计算方法寻求y(x)在节点上的近似值：在节点上的近似值：y0, y1, . yn连续连续 离散离散 一阶线性常微分方程初值问题一阶线性常微分方程初值问题 012,nbaaxxxxbhnx0 x1x2xixi+1xn6.1 欧拉方法与欧拉方法与Runge-Kutta法法一、欧拉一、欧拉(Euler)
2、方法方法xn=x0+nh，h为步长1. 差分方法差分方法几何意义：几何意义：用折线近似曲线y=y(x), 欧拉法又称为折线法折线法已知初值y0,依据递推公式逐步算出y1,y2, , yn,yn+1 , 递推公式又称为差分格式或差分方程，它与常微方程的误差称为截断误差2. 数值积分方法（也可导出欧拉公式）数值积分方法（也可导出欧拉公式）（1）显式差分格式）显式差分格式（单步）显式格式（单步）显式格式左矩形公式左矩形公式111( , ( )(, ()nnxnnxf x y x dxhf xy x由右矩形公式由右矩形公式想求（近似的）想求（近似的）y，但等式的等号左右都有：隐式，但等式的等号左右都有
3、：隐式如如还有一种隐式：积分用梯形公式还有一种隐式：积分用梯形公式也是隐式也是隐式预测预测-校正公式校正公式也叫预报也叫预报-校正公式校正公式改进的欧拉公式改进的欧拉公式21(2)nnnnnxyyhfyy二、欧拉方法的局部截断误差与精度二、欧拉方法的局部截断误差与精度前提：一个假前提：一个假设（重要！即设（重要！即所谓的局部）所谓的局部）一阶精度，看书上一阶精度，看书上泰勒公式：泰勒公式：1()pO h类似地，梯形公式类似地，梯形公式/改进的欧拉公式改进的欧拉公式-局部局部截断误差截断误差有二阶精度有二阶精度参考第参考第5章章5.1节节P66页页例例 用欧拉法求初值问题 补例子：欧拉补例子：欧
4、拉(Euler)方法方法当当h = 0.02时在区间时在区间0, 0.10上的数值解上的数值解 欧拉欧拉(Euler)方法方法nxnyny(xn)n = y(xn) - yn001.00001.0000010.020.98200.98250.000520.040.96500.96600.000530.060.94890.95030.001440.080.93360.93540.001850.100.91920.9230.0021再补例子：再补例子：例例 在区间在区间0, 1.5上，取上，取h = 0.1。 （1）用欧拉法计算公式如下：）用欧拉法计算公式如下： （2）用改进欧拉法计算公式如下：）用改进欧拉法计算公式如下：
