1、123空间中的垂直关系直线与平面垂直直线与平面垂直复习回顾：复习回顾：3 3直线与平面有几种位置关系？直线与平面有几种位置关系？ aABb1平面内过一点与一条直线垂直的直线有几条？平面内过一点与一条直线垂直的直线有几条？2空间中有几种平行关系？我们是按什么顺序空间中有几种平行关系？我们是按什么顺序研究的？研究的？在平面内，如果两条直线互相垂直，则他们一在平面内，如果两条直线互相垂直，则他们一定相交。定相交。abc在空间中在空间中 ，bc，如果固定，如果固定c，让，让b平移到空平移到空间中间中a的位置，此时的位置，此时a与与c为异面直线，我们同样为异面直线，我们同样称它们互相垂直。称它们互相垂直
2、。1 1直线与直线垂直的定义直线与直线垂直的定义如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直。空间中的垂直包括相交垂直和异面垂直；空间中的垂直包括相交垂直和异面垂直；C1D1DCBAB1A1指出图中与指出图中与AB垂直的直线垂直的直线桥柱与水面是给我们以怎样的位置关系？桥柱与水面是给我们以怎样的位置关系？桥柱与水面垂直桥柱与水面垂直大漠孤烟直大漠孤烟直思考思考直线与平面垂直如何定义？直线与平面垂直如何定义？提示：我们在研究线面平行的位置关系时是通提示：我们在研究线面平行
3、的位置关系时是通过线线平行来研究的。过线线平行来研究的。即：线线平行即：线线平行线面平行线面平行能否将线面垂直问题转化为线线垂直能否将线面垂直问题转化为线线垂直问题呢？问题呢？实质上将空间问题转化为平面问题实质上将空间问题转化为平面问题形成概念：形成概念： 如果一条直线（如果一条直线（AB）和一个平面（）和一个平面（）相交于点）相交于点O，并且和这个平面内过交点（并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直）的任何直线都垂直,我我们就说这条直线和这个平面互相垂直。们就说这条直线和这个平面互相垂直。平面平面 的垂线的垂线直线直线 AB 的垂面的垂面垂足垂足ABO2 2直线与平面垂直定义直线与平面
4、垂直定义点点A到到 的距离为的距离为AOmaO如图：如果如图：如果 ，垂足为，垂足为O ，直线，直线m是平面是平面 内不过内不过O的任意一条直线，那么和的任意一条直线，那么和m之间具有之间具有怎样的位置关系呢？怎样的位置关系呢？lm，因为在，因为在 内过点内过点O，可引直线，可引直线ma，根据空间直线与平面垂直的定义，由根据空间直线与平面垂直的定义，由la，可得可得lm Omlmlm ，线线垂直线面垂直 3直线与平面垂直的性质1文字语言文字语言图形语言图形语言符号语言符号语言如何画直线和平面垂直？如何画直线和平面垂直？O通常把直线画成和表示平面的平行四边通常把直线画成和表示平面的平行四边形的一
5、边垂直。形的一边垂直。记作：记作：l练习：判断下列说法是否正确。练习：判断下列说法是否正确。如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直。这个平面内的任何直线都不垂直。 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与这个平面互相垂直。则这条直线与这个平面互相垂直。 如果一条直线垂直于一个平面内的一条、两条、无如果一条直线垂直于一个平面内的一条、两条、无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。如果一条直线和一个平面互相垂直，则这
6、条直线与这个平面内的任意一条直线都垂直。ABCDABCD动动手动动手如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：如图，准备一块三角形的纸片，做一个试验：过过ABCABC的顶点的顶点A A翻折纸片，得到折痕翻折纸片，得到折痕ADAD，将翻折后的，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（纸片竖起放置在桌面上（BDBD，DCDC于桌面接触）于桌面接触） （1 1）折痕）折痕ADAD与桌面垂直吗？与桌面垂直吗？ （2 2）如何翻折才能使折痕）如何翻折才能使折痕ADAD与桌面所在平面与桌面所在平面垂垂直直折纸问题：折纸问题：A AB BC CD DA AB BC CD D线不在多，相线不在多，相交就灵交就灵当且仅当
7、折痕当且仅当折痕AD 是是BC 边上的高时，边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面所在直线与桌面所在平面垂直垂直如图，由折痕如图，由折痕 ，翻折之后，翻折之后垂直关系不变，垂直关系不变， ， ，由，由此，你能得到什么结论？此，你能得到什么结论？ BCAD CDAD BDAD 4直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的判定定理判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。则这条直线与这个平面垂直。图形语言：图形语言：符号语言：符号语言：mnllnlmlPnmnm,线面垂直线线垂直 mn5 5判定定理应用：判定定理应
8、用：问题：如果一条直线垂直于一个平面内的：问题：如果一条直线垂直于一个平面内的：（1 1）三角形的两条边；）三角形的两条边；（2 2）梯形的两条边；）梯形的两条边；（3 3）圆的两条直径。试问这条直线是否与平面垂直，并）圆的两条直径。试问这条直线是否与平面垂直，并对你的判断说明理由。对你的判断说明理由。本节小结本节小结1知识知识2思想方法思想方法（1）空间中两条直线互相垂直的定义）空间中两条直线互相垂直的定义（2）直线和平面垂直的定义）直线和平面垂直的定义（3）直线和平面垂直的性质定理）直线和平面垂直的性质定理（4）直线和平面垂直的判定定理）直线和平面垂直的判定定理1 空间问题与平面问题之间的
9、相互转化空间问题与平面问题之间的相互转化（转化）（转化）2 无限转化为有限无限转化为有限lmab证明：证明：所以所以 ma，mb（空间两直线垂直的定义）（空间两直线垂直的定义）所以所以 m（线面垂直判定定理）（线面垂直判定定理）已知已知：l ， l m. 求证：求证：m .所以所以 a， b因为因为 l 6直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定2设设a，b是是 内的任意两条相交直线内的任意两条相交直线又因为又因为 m思考思考: :如果直线如果直线a a，b b都垂直于同一条直都垂直于同一条直线，那么直线线，那么直线a a，b b的位置关系如何？的位置关系如何？ab blab blab b l
10、思考思考: :一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？之间具有什么位置关系？问题：问题： 在长方体在长方体 ABCDA1B1C1D1 ABCDA1B1C1D1中，指出中，指出与底面与底面ABCDABCD垂直的直线，你能发现什么结论？垂直的直线，你能发现什么结论？ABCDA1B1C1D1推论推论2:如果两条直线垂直于同一个平面如果两条直线垂直于同一个平面,那那么这两条直线互相平行。么这两条直线互相平行。7直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质2思考思考: :如果直线如果直线a a，b b都垂直于平面都垂直于平面，由观察，由观察可知可知a/b
11、a/bc cO Oab b从理论上如何证明从理论上如何证明这个结论？这个结论？已知：直线已知：直线平面平面，直线，直线m平面平面，垂足分别为，垂足分别为A，B，求证：求证：/m证明：假设直线证明：假设直线m不与直线平行不与直线平行 过过m与与 的交点的交点B，作直线作直线 m ,则则 m （推论（推论1）, 因为因为 直线直线m和和m都垂直于平面都垂直于平面所以所以 m和和m重合重合所以所以 直线直线m和和m都垂直于交线都垂直于交线a即即 m因为因为 同一平面内，过直线上一点同一平面内，过直线上一点与已知直线垂直的直线只有一条与已知直线垂直的直线只有一条设设m和和m确定的平面为确定的平面为 ,
12、 与与 的交线为的交线为a m m l B Aa例例1 1过一点和已知平面垂直的直线只有一条。过一点和已知平面垂直的直线只有一条。已知：平面已知：平面 和一点和一点求证：过点与求证：过点与 垂直的直线只有一条。垂直的直线只有一条。 P B A P B A证明：不论点证明：不论点P在在外或内，设外或内，设PA ，垂足为，垂足为A（或（或P）。）。如果过点如果过点P，除，除PA 外，还有一条直线外，还有一条直线PB ，设，设PA，PB确定的平面为确定的平面为 ，且，且 = a，于是在平面，于是在平面 内过点内过点P有两条直线有两条直线PA，PB垂直于交线垂直于交线a，这是不可能的。所以，这是不可能
13、的。所以过点过点P与与垂直的直线只有一条。垂直的直线只有一条。8例题例题例例2 2、有一旗杆高、有一旗杆高8m8m，在它的顶点处系两条长，在它的顶点处系两条长10m10m的绳子，的绳子，拉紧绳子并把它的端点固定在地面的两点上（和旗杆脚拉紧绳子并把它的端点固定在地面的两点上（和旗杆脚不在同一直线上）。如果这两点都和旗脚距离为不在同一直线上）。如果这两点都和旗脚距离为6m,6m,那么那么旗杆就垂直地面，为什么？旗杆就垂直地面，为什么？ACBD在在ABC和和ABD中，中，解：解：因为因为 AB=8m， BC=BD=6m，AC=AD=10m，所以所以 ,1068222222ACBCAB.1086222
14、222ADBDAB所以所以 ABC= ABD=90即即 ABBC， ABBD又知又知 B,C，D三点不共线，三点不共线，因此因此 AB平面平面BCD，即旗杆和地面垂直，即旗杆和地面垂直例例3已知：直线已知：直线平面平面，垂足为，垂足为A，直线，直线A 求证：求证：A在在内。内。 M P l A所以所以 AM所以所以 A一定在一定在内内因为因为 l ，AM 证明证明： 设设AP与与l确定的平面为确定的平面为 .假设假设AP不在不在内，内，则设则设与与 相交于直线相交于直线AM. 又已知又已知 APl，于是在，于是在平面平面 内，过点内，过点A有两有两条直线垂直于条直线垂直于l. 矛盾！矛盾！即即
15、:一条直线垂直于一个平面，过垂足垂直于这条一条直线垂直于一个平面，过垂足垂直于这条直线的直线必在这个平面内。直线的直线必在这个平面内。lAP练习题：练习题： 1 、如果平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和平面的位置关系是（ ） A平行平行 B相交相交 C平行或相交平行或相交 D 无法确定无法确定CB3ABCDPAABCD、底面为矩形，且面，说出有多少对线面垂直？PDCBADPAABCDABPADADPABDCPABCPAB平面平面平面平面平面4 如图，正方体如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，O是底是底面面ABCD的中心，的中心，B1HD1O，H为垂足，求证：为垂
16、足，求证：B1H平面平面AD1C证明：连接证明：连接B1D1， B1BAB，B1BBC， B1B平面平面ABCD， B1BAC，HOABCC1B1D1A1D 又又ACBD， AC平面平面BB1D1D，又又B1H平面平面BB1D1D， ACB1H，又又B1HD1O， B1H平面平面AD1C6 6 在三棱锥在三棱锥V-ABCV-ABC中中, ,VCVC底面底面ABCABC，AC=BCAC=BC，D D是是ABAB的中点，的中点，求证：求证：ABAB平面平面VCD VCD 。5 5、如图，点、如图，点 是平行四边形是平行四边形ABCD ABCD 所在平面外一点，所在平面外一点，O O 是对角是对角线
17、线ACAC与与BDBD的交点，且的交点，且A =C A =C ，B =D B =D 求证：求证：OO平面平面ABCDABCDPABCDOCBDVA7 7、AO AO 所在平面，所在平面，A CA C是是OO的直径，的直径，B B是圆周是圆周上一点，则图中有几个直角三角形由此你认为三棱上一点，则图中有几个直角三角形由此你认为三棱锥中最多有几个直角三角形？锥中最多有几个直角三角形？D1DCBAC1B1A11 1如图，正方体如图，正方体 中中 证明：证明： , ,2 2证明：证明：11ACDB D 平面11ADB D1ACB D1111ABCDA B C D课后思考：课后思考：2如图，已知矩形如图，已知矩形ABCD，过，过A作作A平面平面AC，再过，再过A作作AEB于点于点E，过，过E作作EFC于点于点F1求证：求证：AFC；2若平面若平面AEF交交D于点于点G，求证：，求证：AGD 3 如图，在正方体如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，G为为CC1的中点，的中点，O为底面为底面ABCD的中心的中心求证：求证：A1O平面平面GBD【分析】要证明线面垂直，可在平面【分析】要证明线面垂直，可在平面GBD内找两条内找两条相交直线与相交直线与A1O垂直垂直
