1、ABCDE1.1.定义法定义法: :两三角形两三角形对应角相等，对应边的比相等的对应角相等，对应边的比相等的 两个三角形相似两个三角形相似一、如何判断两三角形是否相似一、如何判断两三角形是否相似? ? DEBC ADE ABC DEABCABCDE2.2.平行法平行法: :平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边( (或两或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。似。A A型型X X型型二、二、 三角形全等有哪几种简单的判定方法呢？三角形全等有哪几种简单的判定方法呢？SSSSSS、SAS SAS 、ASA(AAS)A
2、SA(AAS)、HLHLABCCBA 三组对应三组对应边的比相等边的比相等ACCABCCBABBA 是否有是否有 ？CBAABC探究探究 任意画一个三角形，再画一任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的三角形各边长的k k倍，度量这两个倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论。下，看看是否有同样的结论。中，和已知：在CBAABC,CAACCBBCBAABABCCBA求证求证: : A AB BC C ABCDECAEAC
3、BDEBADADEA又又DEDABDABA再做，过点上）截取（或它的延长线证明：在线段CAACCAEAABDACAACCBBCBAAB,同理同理 BCDE ，可得交于点交ECACBCBAABCDEA ABCCBAACEACBAABCCBAABCkACCABCCBABBA（SSSSSS）判定定理：）判定定理：如果两个三角形的三组对如果两个三角形的三组对应边的比相等应边的比相等, ,那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似. .简单地说简单地说:三组对应边比相等的两三角形相似三组对应边比相等的两三角形相似. ABCCBA ABC例例1 1：CAACCBBCBAAB.12,10, 6, 6, 5,
4、3CACBBAACBCABCBAABC否相似，并说明理由。是和根据下列条件，判断21126,21105,2163CAACCBBCBAABABCCBA解：解： 类似于判定三角形全等的类似于判定三角形全等的SASSAS方法，我方法，我们能不能通过两边和夹角来判断两个三们能不能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？角形相似呢？问 题探究探究利用刻度尺和量角器画利用刻度尺和量角器画ABCABC和和A AB BC C，使，使A AA A， 和和 都等于给定的值都等于给定的值k k，量出它们的第三组对应边量出它们的第三组对应边BCBC和和BCBC的长，它们的比等的长，它们的比等于于k k吗？另外两组对应角
5、吗？另外两组对应角B B与与B B ，C C与与C C 是否是否相等？相等？改变改变A A或或K K值的大小，再试一试，是否有同样的结论？值的大小，再试一试，是否有同样的结论？实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相实际上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的方法：似的方法：ABA BACA CAABBCCA AB BC CABACkA BA CA AA A ABC ABC ABCABC如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似应的夹角相等，那么这两个三角形相似类似于证明通过三边判定三角形相似的方法，请你自己类
6、似于证明通过三边判定三角形相似的方法，请你自己证明这个结论证明这个结论已知：如图，已知：如图， ABCABC和和 ABCABC中，中，A A = =A A，ABAB：ABABACAC：ACAC求证：求证：ABC ABC ABC ABC 证明：在证明：在ABC ABC 的边的边ABAB、ACAC（或它们的延长线）上别截取（或它们的延长线）上别截取ADADABAB，AEAEACAC，连结，连结DEDE，因，因A A = =A A，这样，这样ABC ABC ADE ADE ADAEABAC DEDE/BCBC ADE ADE ABCABCABC ABC ABC ABC A BA CABACABCA
7、ABCDE对于对于ABCABC和和ABCABC，如果，如果 B BB B ，这两个三角形一定相似吗？试，这两个三角形一定相似吗？试着画画看着画画看CAACBAAB 不不 一一 定定 相相 似似试说明试说明BAD=CAE.BAD=CAE.ADCEB证明ABBCAC： =ADDEAEABCABCADEADEBAC=BAC=DAEDAEBAC-BAC-DAC=DAC=DAE-DAE-DACDAC即即BAD=CAE.BAD=CAE.A BBCA C,A DD EA E1、如图 已知:，练习练习2 2、根据下列条件，判断、根据下列条件，判断ABCABC与与ABCABC 是否相似，是否相似，并说明理由：并
8、说明理由：（1 1）A A120120，ABAB7cm7cm，ACAC14cm14cm，A A 120120，ABAB3cm3cm，ACAC6cm6cm；解解：（：（1 1）7147363ABACA BA C，又又 A AA A ABCABCABCABC两三角形的相两三角形的相似比是多少？似比是多少？卡盟平台 卡盟平台卡盟平台 卡盟平台卡盟平台 卡盟平台卡盟平台 卡盟平台（2 2）31124BAAB31186CBBC218CAAC CAACCBBCBAAB要使两三角形相要使两三角形相似，不改变似，不改变ACAC的的长，长，A A C C 的长应的长应当改为多少？当改为多少？ABCABC与与AB
9、CABC的三组对应边的比不等，它们不相似的三组对应边的比不等，它们不相似（2 2）ABAB4cm4cm，BCBC6cm6cm，ACAC8cm8cm ABAB12cm12cm，BCBC 18cm18cm，ACAC21cm21cm. 5, 4, 3,10, 8, 6) 1 (CACBBAACBCABCBAABC否相似，并说明理由。是和根据下列条件，判断3 3、. .A B20A C10A40A B 4A C 6A 40，4 4、图中两个三角形是否相似？、图中两个三角形是否相似？2 26 69 93 34 41414相似相似不相似不相似不相似不相似要制作两个形状相同的三角形框架，其中一要制作两个形状
10、相同的三角形框架，其中一 个个三角形框架的三边长分别为三角形框架的三边长分别为4 4，6 6，8 8。另一个三角。另一个三角形框架的一边长为形框架的一边长为2 2，它的别外两条边长应当是多，它的别外两条边长应当是多少？你有几种答案？少？你有几种答案？5 5、提示：提示：2:4=x:6=y:82:4=x:6=y:8x:4=2:6=y:8x:4=2:6=y:8x:4=y:6=2:8x:4=y:6=2:8三种选法，分别使另一个三角形的长为三种选法，分别使另一个三角形的长为2 2的边的边与长为与长为4 4，6 6，8 8的边对应。的边对应。4:2=5:x=6:y4:2=5:x=6:y4:x=5:2=6
11、:y4:x=5:2=6:y4:x=5:y=6:24:x=5:y=6:26 6、要作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的、要作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边的长分别为三边的长分别为4 4，5 5，6 6，另一个三角形框架的一边长为，另一个三角形框架的一边长为2 2，怎样选料可使这两个三角形相似怎样选料可使这两个三角形相似? ?这个问题有其他答案吗这个问题有其他答案吗? ?4 45 56 62 21.1.（泰州（泰州中考）一个铝质三角形框架三条边长分别中考）一个铝质三角形框架三条边长分别为为24cm24cm，30cm30cm，36cm36cm，要做一个与它相似的铝质三角形，要
12、做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为框架，现有长为27cm27cm，45cm45cm的两根铝材，要求以其中的的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边截法有（另外两边截法有（ ）A A、0 0种种 B B、1 1种种 C C、2 2种种 D D、3 3种种B B2 2. .（衢州衢州中考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为中考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1 1，ABCABC和和DEFDEF的顶点都在方格纸的格点上的顶点都在方格纸的格点上(1)(1)判断判断ABCABC和和DEFDEF是否相似，并说
13、明理由；是否相似，并说明理由；(2)P(2)P1 1，P P2 2，P P3 3，P P4 4，P P5 5，D D，F F是是DEFDEF边上的边上的7 7个格点，请在个格点，请在这这7 7个格点中选取个格点中选取3 3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与与ABCABC相似相似( (要求写出要求写出2 2个符合条件的三角形，并在图中连个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由结相应线段，不必说明理由) )ACBFEDP1P2P3P4P5【解析解析】(1)(1)ABCABC和和DEFDEF相似根据勾股定理，得相似根据勾股定理，得 ， ，BCBC
14、=5=5； ， ， . . ，ABCABCDEFDEF(2)(2)答案不唯一，下面答案不唯一，下面6 6个三角形中的任意个三角形中的任意2 2个均可个均可P P2 2P P5 5D D，P P4 4P P5 5F F，P P2 2P P4 4D D，P P4 4P P5 5D D，P P2 2P P4 4 P P5 5，P P1 1FDFD2 5AB 5AC 4 2DE 2 2DF 2 10EF 52 2ABACBCDEDFEFACBFEDP1P2P3P4P53.3.（成都（成都中考）如图，已知线段中考）如图，已知线段ABCDABCD，ADAD与与BCBC相交于点相交于点K K，E E是线段是
15、线段ADAD上一动点。上一动点。 (1)(1)若若BK= KCBK= KC，求，求 的值；的值；(2)(2)连接连接BEBE，若，若BEBE平分平分ABCABC，则当，则当AE= ADAE= AD时，猜想线时，猜想线段段ABAB、BCBC、CDCD三者之间有怎样的等量关系三者之间有怎样的等量关系? ?请写出你的请写出你的结论并予以证明再探究：当结论并予以证明再探究：当AE= AD (n2)AE= AD (n2)，而其余，而其余条件不变时，线段条件不变时，线段ABAB、BCBC、CDCD三者之间又有怎样的等三者之间又有怎样的等量关系量关系? ?请直接写出你的结论，不必证明请直接写出你的结论，不必
16、证明52121nCDBA【解析解析】(1)ABCD(1)ABCD，BK= KCBK= KC， = = .= = .（2 2）如图所示，分别过）如图所示，分别过C C、D D作作CFDGBECFDGBE分别交于分别交于ABAB的延长线于的延长线于F F、G G两点，两点，52ABCDBKCK52BEDGBEDG，点，点E E是是ADAD中点，中点，AB=BGAB=BG；CDFGCDFG，CFDGCFDG，四边形四边形CDGFCDGF是平行四边形，是平行四边形，CD=FGCD=FG；ABE=EBCABE=EBC，BECFBECFEBC=BCFEBC=BCF，ABE=BFCABE=BFC，BC=BFBC=BF，AB-CD=BG-FG=BF=BCAB-CD=BG-FG=BF=BC，AB=BC+CD.AB=BC+CD.当当AE= AD(n2)AE= AD(n2)时，时，(n-1)AB=BC+CD.(n-1)AB=BC+CD.1n1.1.平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边( (或两边的延长线或两边的延长线) )相交相交, ,所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似; ;2.2.三组对应边的比相等的两个三角形相似三组对应边的比相等的两个三角形相似. .相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法: :
