1、薄壁箱梁的畸变理论n畸变荷载n用静力平衡法推导直腹板箱梁畸变微分方程n用能量变分法推导斜腹板箱梁的畸变微分方程n畸变微分方程的边界条件及其求解方法n小结n本章参考文献 畸变是伴随扭转而产生的，由于畸变的存在，截面发生翘曲而在纵向产生翘曲正应力 和翘曲剪应力 ，同时在横向还产生横向框架应力DD畸变荷载 箱形梁在偏心荷载作用下会产生扭转和畸变效应，能引起这种变形的荷载不外乎是竖直偏心荷载、水平偏心荷载和在自重作用下由于支点倾侧（所谓三条腿）产生的扭矩等三种荷载。这三种荷载都可以通过荷载分解得到刚性扭转荷载和畸变荷载。 (1) 直腹板箱梁 如下图所示的竖向反对称荷载为 ，经荷载分解所得的刚性扭转荷载
2、和畸变荷载 vPhbVhbPHPVdvdvd11122hbVhbPHPVdvdvd11122竖向反对称荷载的分解 图所示的水平向偏心荷载 ，设其与截面扭转中心的距离为 ，则按力学原理。扭矩 可用角点反对称荷载PdPdhdPPH来代替。经分解后得到刚性扭转荷载和畸变荷载为 水平荷载的分解 hbVPHbhPVdHdHd22222对于图所示的简支梁一个支座脱空后的三条腿支承，经分解后其刚性扭转荷载和畸变荷载为hbVhRbHRVddd33344 三条腿支承箱梁（2） 斜腹板箱梁如图所示的斜腹板箱梁上承受反对称角点荷载，经分解后也可得到刚性扭转荷载和畸变荷载。在假定剪应力沿板厚均匀分布下，箱梁中剪力流为
3、hbbbPhbbMMqvKK12112222),(斜腹板箱梁竖向反对称载的分解 刚性扭转荷载：hbbbbPPaahbbabPPPhbbbPPvvv)()()()(122123112113112214 畸变荷载：hbbbbPPhbbbaPPPhbbbPPvvv)()()(1221212213112224用静力平衡法推导直腹板箱梁畸变微分方程（1） 基本假定 畸变荷载是一组自相平衡的力系，因而由畸变变形产生的内力也是自相平衡的。箱形梁畸变时，产生了两种畸变变形：横向:组成箱形梁的各板元产生了垂直于自身平面的位移一畸变横向挠曲；纵向:因各板元横向挠曲而产生了相应的与梁轴线方向平行的翘曲位移畸变翘曲。
4、前者受到了箱形梁横向框架刚度的抵抗，而后者则受到了箱形梁翘曲刚度的抵抗分析时，将箱形梁畸变的两种变形及其相应的力系分开考虑。把相应于畸变横向挠曲的内外力称为板元的平面外力系；相应于畸变翘曲的内外力称为各板元的平面内力系。用以计算畸变位移的物理量如图所示，角点位移为 及 ，若令1h2hv221hhh箱梁、畸变荷截与畸变位移则得到畸变角 与畸变位移的关系为DhbhvvhD22此畸变角是畸变分析唯一独立变量此外，在结构分析中还假定：组成箱形梁的各板沿自身平面的挠曲满足平截面假定，可应用初等梁理论计算其挠度和挠曲应力；翘曲正应力和剪应力沿壁厚均匀分布。（2） 各板元平面内力系分析沿纵向从箱形梁中取出的
5、一微段单元，并把截断处用相应的内力代替，如下图所示。根据平截面假定，箱梁截面的翘曲应力可视为各板元平面内的挠曲应力，并沿周边直线变化，如图a)所示。令 为翘曲应力，由于翘曲应力在截面内自相平衡，故应满足以下条件D0d0d0dsysxsDDD平面内平 衡条件式各板元平面内力系 a)翘曲应力 b)各板元平面内力系D因截面对称于 轴，而应力反对称于 轴，所以平衡条件式的第一、三式自然满足，并且上、下板中点处的翘曲应力为零。令左腹板顶点翘曲应力 与底点翘曲应力之比为 ，根据平衡条件式第二式得yyDADBD3131323233hbhbDBDADbb11bb22令 ，31311hb32322hb则 332
6、D各板元平面内弯矩和剪力如图b)所示，根据各板元在其自身平面内的受力平衡条件，可以得到下列公式顶板：由 、 得 00M 0X111d1QdzMbTxDxAdqqHzQdd1令 则得xDxAxqqqxdqHzQdd1底板：由 、 得 00M 0X222dd1QzMbTxdqHzQdd2左腹板：由 、 得 00M 0Y0dd2)(3321QzMhTTyByAdqqVzQdd3 令 则得yByAyqqqydqVzQdd3消去T1，T2有0dddd2dddddd2dd233222212232zQzQbhzQzMzMbhzM而xdqHzQzQ22dddd21再消去Qi并整理得0dddd2dd222212
7、232bhqqbhHVzMzMbhzMxydd由于角点处顶板与腹板、底板与腹板具有相同的翘曲应力。根据初等梁理论的挠曲应力公式，可得到角点翘曲应力与各板元自身内弯矩 、 和 的关系式1M2M3MDBDbJM112DBbJM2222233DBDAhJM123111bJ123222bJ12333hJ为各板在其自身平面内的惯性矩应用关系 ，将上式化简得 DDADB/331121MbhJJMDD3322211MbhJJMD回代并消去M1，M2整理得到 06)(23dd2212121232bhqqbhHVzMxydd 根据基本假定，箱形梁各板元沿自身平面的横向挠曲满足初等梁理论，所以得到各板元内弯矩和位
8、移的关系为 22211133EJMEJMEJMhhv根据畸变角 和畸变位移的关系可得到D221133212 2hEJMhEJMbEJMbbhhvD 在上式中消去M1，M2得334bEJMD 从而得到板元平面弯矩和畸变角的关系式为 433bEJM 经两次微分得 4dd3232bEJzM 消去M3得026)(2342121213 bhqqbhHVbEJxydd 此方程是根据箱形梁在畸变荷载作用下，产生轴向翘曲位移及相应的力系（各板元平面内力系）平衡条件推导得到的畸变微分方程。（3） 各板元平面外力系分析 箱形梁各板元平面外力系为产生横向挠曲的力系（如下图所示）。箱形梁抵抗横向挠曲的作用称为框架作用
9、，分析框架作用时，不考虑顶板和底板的悬臂部分。图b)表示从箱形梁中取出微段单元 的顶板、左腹板、底板的分离体各自受到角点弯矩和剪力作用的情形。由于截面对称于 轴，而力反对称于 轴，故可得zdyyxCxBxDxAyCyByDyACBBCDAADqqqqqqqqmmmm据角点力矩平衡得00BCBAABADmmmm由顶板力矩平衡条件得 bmqqADyDyA2 各板元平面外力系 a)框架变形； b)平面外力系 底板力矩平衡得bmqqBCyCyB2腹板力矩平衡得hmmqqqqBAABxDxCxBxA 整理得hmmhmmqqqBCADBAABxDxAx)(2)(2bmmqqqBCADyByAy)(2上列两
10、式合并，得到 和 的关系为xqyqhbqqyx框架中的节点是刚性固结的，因此组成框架的各板元相当于两端嵌固的梁。根据结构力学的坡度挠度公式，可得到横向弯矩 与横向挠曲位移的关系mhhEImhhEImbbEImbbEImhABBAhBAABvBBCvAAD6226226323323321式中： 沿轴向单位长度的板横向抗弯惯 性矩， 。 、 框架 、 节点转角)1 (12231vIi3 , 2 , 1iABAB由 得到 0ABADmmhbbhIIbhIIhvAB662331310BCBAmmhbbhIIbhIIhvBA66233232由 得到上列两式合并整理得2232213213232312332
11、21321312232bIhIIIIIbhbIhIhbIhIbIhIbIhIIbhvA223221321313132223221321312232bIhIIIIIbhbIhIhbIhIbIhIbIhIIbhvB将 、 分别代入 和 的表达式中有ABADmBCmhbbhIIIIIIbhIIbhbIEmhvAD22321316222321321321hbbhIIIIIIbhIIbhbIEmhvBC2232131622321321312将mAD，mBC代入qy整理得bEIqDRy/框架抗弯刚度1324hEIEIRbIhIIIIIIIIhb232132132116321 hbhvD22令 得 ADBC
12、mmm231333hIbIIIhbm则)1 (2)1 (2mDRmyADEIbqm)1 (2mDRmADmBCEImm（4） 畸变平衡微分方程由箱形梁各板元组成的框架抵抗横向挠曲作用（即各板元平面外力系）推导得到bqhqyxDRyEIbq代入微分方程并经整理得bVEIEIdRD 引入畸变双力矩的概念，则212121326)(234JEbEIDDDDEIB 称为箱形梁畸变翘曲刚度箱形梁的畸变双力矩 得到433bJIBMDD则畸变应力计算公式为DADDDDDDDAIBbhBIB41DBDDwDDDDBIBbhIB411 为截面A点畸变翘曲率 为截面B点畸变翘曲率41bhDDDA411bhDDB用能
13、量变分法推导斜腹板箱梁的畸变微分方程取如下图所示的箱梁横截面，坐标系同第上节，则当梁受偏心荷载发生畸变时，各板在自身平面内发生翘曲，产生畸变翘曲应变能。同时横向框架有横向翘曲，产生框架畸变应变能。（1） 畸变应变能 （a）横截面框架畸变应变能现取沿跨径方向单位长度 一段箱梁分析，并设角点2处的畸变角为 。框架由于畸变角 所具有的应变能与梁上板发生的水平位移 a 所产生的应变能是等同的。当结构对称，而外部影响因素（例如位移）是反对称的，框架中由于水平位移引起的横向弯矩也是反对称的，如下下图b)所示。1U1dz )(zD)(zDsin1D 斜腹板单室箱梁 横向框架变形与横向弯矩 由于结构对称，取半
14、个框架如下图所示，则在单位水平荷载 作用下，未知赘余剪力为 ，则有 ) 1(PX202111PX 框架求解 用图乘法知22222222624241222111123243111bbbbbbIaIbIb 31sin21231sin22222sin12211211111abbaabbbaaP )(242242424)2(sin24sin2221222111232431112212122111bbbbIaIbIbIbbaIabXP)(2)2(sinsin21222111232431212212122bbbbIaIbIbIbbaIabX由图知， 点的水平位移 为AhsEIMMhd2水平位移及竖向位移求
15、解 vhaXbXbaXbXbIabIaXbXIbEXbaXbaXbaXbXbXbIaaXbEIEIbXb2 )sin()sin(2)sin(61 )sin2()sin()sin 2(6)sin(32/b31)2()(1212122211122212243111212121112122241211)sin()sin(2)sin(121 12121222111221224231vaXbXbaXbXbIaIaXbbIXbE 但由于水平位移为 作用力是则角点 的横向弯矩为 sin1aDvDazP2sin)(14iDvDKXbaMM111412sinDDvKaaXbMM2112322sin)sin( v
16、XbaK2sin111 vaaXbK2sin)sin(1122 分别为单位长度上各板的惯性矩4321,IIII)4 , 3 , 2 , 1( 1213iIii因此，横向框架畸变应变能1U lslDzKszEIMU002321ddd2式中：12122211222241213)(261IKKKKaIbKIbKEK（b）畸变翘曲应变能2U 符拉索夫采用虚功原理分析薄壁多箱式直杆时，曾做了三个基本假定，它们是： 薄壁杆所属各板在横截面内的长度不变 横截面内各板的法向位移沿该板的横向长度服从线性变化规律 在横截面上各板的法向应力 与剪应力 沿板厚认为是常量 因为畸变应力在水平与竖向轴的力矩均为零，故翘曲
17、应力也是自相平衡的，故有AAAydAxdAdA000设 ，则由下图知21DDDyhyDDD22即 hyDD1hyh11两 边 悬 臂长度之和6)(32)(222141414dbdbdbMDxDx翘曲应力 、 1D2D已知 22111bdbDDx111)(bdbDDx1431146)(bdbMD同理 63222222222222bbbMDD6)(3)2(6)( 6)33(212)(322)( 2)(2322)(12111121121211112121121121112112131bbabbabbahbbhbabbatghbaMMDDDDDDDDD,即 0M01234MMMM06)(3)2 (6)
18、(66)(12111121121222214311bbabbabbdbDDDDD整理后解得 )2()()2(12111431121122221bbabdbbbabDDD在角点处，由于顶板与腹板，底板与腹板存在翘曲应力。 ， , 的关系式可写成如下表达式，下图所示)(31MM2M4M22222222214414412M 22M 2DDDDDbJbJMbJbJM21131111212)1 (2M 22DDDDaJMaJM3144)(12dbJ为板块惯矩iJ如果各板块沿周向的变位为 ， ， ， ，看作是板梁翘曲时在自身平面内的挠度，根据初等梁的弯曲理论，则1v2v3v4v121131)1 (EaEJ
19、MvvDD 124442222222EbEJMvEbEJMvDDD将畸变角 用 方向的位移表示（图示）221121ddsinddbyyaxxDDyx,tgsindsintgdd,d2123232241vvyvvyvxvx翘曲应力引起的弯矩 经过整理后，则有sincos2sin2231142bvvvavvD将上式求导，并将v1，v2，v3，v4式代入，整理后得到 sincos2)2(222111112222baEbbabbaDDDD cos2)2( 2sin11122222114babbbbbaKDDDDEK 42则翘曲应变能为 lADxAzEszU022dd2),(已知)1 ()1 ()1 (
20、141211bdEKbdbdDDDDDDx 则 为AEszDxd2),(2对于顶板EdbbdKEDD312)()1 (142122242 421122241)(6bddbKEDD对于底板222242224632)(bEKEbEKDD 对于腹板 1021121daDDDxxaEaaaKEdDDDD21)1 ()1 (3121211222421 令 +H) 1(21)(6211224221124DDDabbddbEK lDzHU022d)(（c）荷载势能 V(12.3.25) d)()( dsin)(0122204014zzPbbbdz(z)P-hzazPVvDllDlD（d）结构畸变总势能当忽略
21、剪切变形的应变能时，箱梁在畸变荷载作用下的总势能可由周边横向弯曲应变能 ，板平面内翘曲应变能和荷载势能 三个部分组成，即1U2UVVUU21 lllvDDDzzPbbbzHzK0001222223d)()(d)(d（2） 畸变微分方程（a） 的极值条件如果总势能的表达式为 lDDDFzF0d),.(根据欧拉拉格朗日（Euler-Lagrange）条件式， 取得极值的必要条件为0dddd22 DdDFzFzF很明显， 、 、 及 均为跨径方向 函数3KH)(zpDz（b）常截面控制微分方程)()(212223zPbbbKFvDD0ddDFzDDHFz 2dd22将上列诸式代入欧拉拉格朗日条件式中
22、得到)()(2212223zPbbbKHvDD ) 1(21)(32211224221124DDDabbddbEKEIH12122211222241213)(2312IKKKKaIbKIbKEEIKR令 则有122)(bbbzPVvd2bVEIEIdDRDD 如果引入畸变双力矩的概念，则 42KIBEIBDDDDDD（c）变截面控制微分方程同样利用欧拉拉格朗日的条件式，不过 也是 的变量，则Hz)()(212223zPbbbKFvDD0ddDFzDDDDHHFz 242dd22故变截面畸变控制微分方程式为)()(2221223zPbbbKHHHvDDDD 对于如图所示的双室矩形箱梁，其畸变微分
23、方程式亦为bVEIEIdRD 2vdPV 16)(1232JhJbEEID 81bsEIR)1 (122344vI2121ss 4196132IbIhbEs41313432IhIbIhIb双室矩形箱梁 (d)双室矩形箱梁其畸变微分方程畸变微分方程的边界条件及其求解方法(1) 边界条件在工程上，常用的边界条件有：支点为刚性固定支承，则0, 0DD 简支梁端部设置刚性横隔梁时，则0, 0 DD自由悬臂端且无隔梁时，则0, 0 DD(2) 求解建议 （a）常截面畸变应力可用弹性基础梁比拟法（简称 ）求解。 （b）变截面畸变应力也能用B.E.F比拟法求解。但是由于地基的弹簧是变的，会遇到求解的困难。用
24、加权残值法的配点原理可获得近似解。 （c）根据不同边界条件，用加权残值法求解时， 建议如下：B.E.FD 对刚性固定支座， 可取)()(221022zazaalzzD 对自由悬臂端且无横隔梁时，可取)()(221044zazaalzzD 对简支梁端部设置刚性横隔梁时，可取lznalzalzanDsin2sinsin110事实上，为求得近似解，只取级数的前几项就能满足解答的要求，有时甚至取级数首项也能得到近似的答案。现以刚性固定支座为例，取 220)(lzzaD )264(2230zllzzaD )66(2220lzlzaD )2(240lzaD 024aD 将上列微分诸式代入变截面畸变控制微分
25、方程中，则残余值 为)(zR)()(2)( )66(2224224)(1222220322000zPbbblzzaKlzlzaHlzaHHazRv 利用配点法令02 lR16222242)(243312220llKlHllHlPbbbav 可以根据各截面具体数据拟合成一曲线方程，然后通过二次微分求 。代入上式得 ，进而求出的应力值 。如果取 ，其效果可能更好。H 2lH0a2D)()(1022zaalzzD(3) 用弹性地基梁比拟法（ ）求解常截面箱梁的畸变应力B.E.F 由于常截面箱梁畸变控制微分方程 与弹性地基梁挠曲的控制微分方程具有完全相似的表达式，因此解弹性地基梁的挠度 就等于解箱梁的
26、畸变角 。比拟法在解工程问题上常被采用bVEIEIdDRDD qkyIEy yD下表给出弹性地基梁与箱梁畸变两种物理模型之间的相似关系。 弹性地基梁弯曲和箱形梁畸变的相似关系 qkyyEI bVEIEIdDRDD IEIkqyM)mkN( yEIMDIDEIREIbVdDDB)mkN(2 DDDEIB弹性地基梁弯曲箱形梁畸变微分方程相似的物理量 弹性地基梁抗弯惯矩（m4） 弹性地基梁抗弯刚度（kNm2） 弹性地基梁地基弹性系数kN/m2） 弹性地基梁的分布荷载（kNm） 弹性地基梁的挠度（m） 弹性地基梁的弯矩 箱形梁抗畸变翘曲惯矩（m6） 箱形梁抗畸变翘曲刚度（kNm4） 箱形梁抗畸变框架刚
27、度（kNm4） 箱形梁上分布的畸变垂直分力的力偶（kNm/m） 箱形梁的畸变角（弧度） 箱形梁的畸变双力矩 边界条件相似关系 本章介绍了（1）偏心荷载作用下薄壁箱形梁的畸变计算理论，分别用（2）静力平衡法推导了单箱单室直腹板等截面箱形梁的畸变微分方程，用（3）能量变分原理推导了斜腹板箱形梁的畸变微分方程， 为求符号统一起见。所定义的畸变角 虽不在同一角上。但采用了同一符号。 由结果可见，无论直、斜腹板箱形梁，其畸变微分方程具有相似的表达形式。对微分方程的求解，虽然都可采用弹性地基梁比拟法，但此法求解变截面梁时全遇到计算上的困难，建议采用加权残值法求解。 另外，分析变截面梁的畸变效应还可以采用等
28、代梁法，这方面内容可参考有关文献D 小结本章参考文献 n 1郭金琼.箱形梁设计理论.北京：人民交通出版社.1991.n 2杜国华等.桥梁结构分析.上海：同济大学出版社，2019.n 3CP汉斯.薄壁杆中的弯曲与扭转.北京：人民交通出版社，1980.n 4张士铎.变高度梯形单室箱梁畸变计算.土木工程学报，Vol.20,No.4,1987.车轮荷载 P P1 P2桥面板分析P1 P2 （P1+P2）/2 （P1-P2）/2 弯曲、剪滞效应弯曲、剪滞效应 扭转、畸变效应扭转、畸变效应 P/2 车轮荷载 悬臂桥面板计算理论 dPP/2 P/2 弯曲剪力滞效应弯曲剪力滞效应 P3 bP3b=Pd 扭转、畸变效应扭转、畸变效应
