1、重经验、品方法、悟基底“空间向量与立体几何”单元教学设计本单元“空间向量与立体几何”从属选择性必修课程，主题二“几何与代数”。本单元学习内容与学生已经学过的两个单元密切相关。它们是必修课程主题三“几何与代数”中的两个单元：“平面向量及其应用”与“立体几何初步”。这三个单元就构成了一个相对的整体。空间向量是平面向量的推广和发展，学习了空间向量就可以用向量方法解决立体几何问题。在立体几何演绎体系中引进向量及其运算体系，就为解决立体几何问题开拓了新的视角，带来了新的方法。下面从单元教学目标、单元内容要求、单元教学建议、探究拓展举例，四个方面跟大家做交流。一、单元教学目标依据2017版课标提出的本单元
2、内容的学业要求，制定本单元三维教学目标。（一）知识与技能1.理解空间向量的有关基本概念，掌握空间向量的线性运算（加、减、数乘）及其几何表示与坐标表示。2了解空间直角坐标系，会求点的坐标。3.了解空间向量基本定理，掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示。4.掌握空间向量的数量积运算及其坐标表示。5.掌握判断两个非零向量平行与垂直的充要条件。6.理解直线的方向向量与平面的法向量。7.能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系与垂直关系。8.能用向量方法证明有关直线、平面特殊位置关系（平行与垂直）的数学内部问题和数学外部问题。9.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的
3、夹角问题，以及点到平面的距离问题。（二）过程与方法1.运用类比思想，经历向量有关概念及其运算等内容由平面推广到空间的过程。2.经历向量语言与几何语言之间的转化，掌握用向量方法解决几何问题的程序思想。（三）情感、态度、价值观1.经历向量由平面推广到空间的过程，充分体会类比思想的意义。2.经历用向量方法，即（基底）向量法和（向量）坐标法，以及综合几何法解决立体几何问题，体会基底思想、方法的多样性、思维的灵活性，理性地体会各种方法的价值。3.在学习新知与解决问题的过程中多次经历或口头或书面的表达，感受规范的语言表达也是学习数学不可或缺的能力。4.经历用向量方法解决立体几何问题的过程，体会程序思想在顺
4、序性、规范性、条理性地解决问题的过程中所起到的作用。二、单元内容要求2017版课标就本单元学习的四个内容给出了具体要求。（一）空间直角坐标系1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标刻画点的位置。2.借助特殊长方体（所有棱分别于坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。（二）空间向量及其运算1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的有关概念。2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。（三）向量基本定理及其坐标表示1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的单位正交分解及其坐标表示。2.掌握空间向量
5、的线性运算及其坐标表示。3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示。4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义。（四）空间向量的应用1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。3.能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的判定定理。4.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。三、单元教学建议依据2017版课标给出了本单元内容的教学提示，给出三条本单元教学总体建议：一是关注“经验”；二
6、是关注“方法”；三是关注“基底”。（一）关注“经验”学生之前已经学习了“平面向量及其运算”，也已经学习了运用向量解决平面几何问题的“程序思想”。在本单元的教学中，我们要充分利用学生这些已有的学习经验，引导学生自主地将向量的有关知识和方法从平面类比推广到空间，充分给予学生自主学习探索的机会。（二）关注“方法”1.立体几何中的向量方法向量在立体几何的应用可以是数学内部的应用，也可以是数学外部的应用。比如，用向量方法证明欧氏几何中的定理，这就是向量在数学内部的应用。向量还可以应用到现实生活中，可以解决一些有关速度、位移、力的问题，也可以解决现实生活中的一些几何模型问题，这就是向量在数学外部的应用。由
7、此，我们可以体会学习空间向量的另一个必要性，那就是实际生活的需要。2.向量法与综合几何法。例如：两条直线垂直。在平面内，两条直线互相垂直的这种位置关系非常直观。然而，在空间中无论是两条直线相交垂直，还是两条直线异面垂直，我们直观地看不出它们互相垂直，我们是需要一些空间想象以及抽象严谨的逻辑推理才能判断出两条直线垂直。所以，在空间中就少了一些直观，有的学生学习立体几何就有些困难。又如，本单元中我们一定会讲到这个例子：证明线面垂直判定定理。在选取了“基底”后，我们把几何问题转化为了向量问题。通过向量运算得到向量结论，最后再把向量结论转化为几何结论。我们可以把证明这个定理的向量法和综合几何法做一下比
8、较，显然，向量法在这个问题中具有优越性。向量法解决几何问题的“三步曲”是：翻译运算翻译。这里解决问题的核心是向量运算。运算是基于运算定义和运算法则的推理。正因为向量，它既有几何特性，又有代数特性，所以，它沟通了几何与代数，成为了代数与几何的桥梁。再如，求二面角大小的问题。方法有很多，如综合几何法中的射影面积法、综合几何法中的三垂线法、综合几何法中的定义法、结合二面角平面角定义的向量方法、利用平面法向量的向量方法等等。反思一下向量方法在求二面角问题中的优势。一方面，由于法向量反映了平面的本质，所以只要通过建立空间直角坐标系得到平面内不共线三点的坐标，就能求得一个平面的法向量。于是，我们求二面角大
9、小的问题就可以简化为这样几个步骤：（1）建立空间直角坐标系；（2）在两个平面内各取不共线三点，求出它们的坐标；（3）求出两个平面的法向量；（4）求出两个平面法向量的夹角；（5）得到二面角的大小。这其实就是一种算法思想。另一方面，在解决这类求二面角大小问题的过程中，我们不需要去寻找二面角的棱；更不需要寻找二面角的平面角，这为空间想象能力薄弱的同学开辟了解决此类问题的新的道路。给立体几何的演绎体系引进向量及其运算体系就诞生了一门新的学科，称为向量几何。向量，既是几何对象，又是代数对象，它具有双重性。由于它的几何特性，所以它灵活；由于它的代数特性，所以利用向量及其运算来解决一些几何问题就可以形成算法
10、，从而使方法固化，于是向量法就具有了一定的普适价值。（三）关注“基底”我们前面举了两个具体的例子。一个是用向量法证明线面垂直判定定理。另一个是建立空间直角坐标系，利用平面法向量的向量法求二面角的大小。在前一例中，没有建立坐标系，取三个两两不共线的向量作为基底。根据向量基本定理，这样空间中的任意一个向量就能用这组选取的基底唯一地线性表示，于是向量就有了其代数形式，于是后续就能参与运算。在后一例中，建立了空间直角坐标系，这里的基底是单位正交基底，于是向量也就有了其坐标的代数形式，于是后续它就也能参与运算。基底来源于向量的加法定义。两个向量首尾相接是两个向量加法的定义，当然我们也可以通过平行四边形法
11、则来得到两个向量的和向量。向量加法的定义实际就是两个向量的合成。我们知道定义是充要的。“合成”的“逆”就是“分解”。所以，平面内的任何一个向量都可以分解成这个平面内的两个不共线的向量的和。又由于欧氏几何第五公设保证了作图的唯一性，所以这样的分解是唯一的。这就是我们的平面向量分解定理，或者叫做平面向量基本定理。这是平面向量的合成与分解。那空间向量的合成与分解也是同样道理。在三维空间中，我们可以借助平行六面体进行直观体会。在建立了空间直角坐标系后，就有了单位正交基底。空间中的任意一个向量都可以唯一地进行单位正交分解。所以，基底思想是本单元需要关注的重点之一。关于本单元的教学总体建议，上述提出了关注
12、经验、关注方法、关注基底，这三个关注。与此同时，对数学语言的关注需要贯穿整个单元教学始终。在本单元中，对语言的关注体现在两个方面：一方面是体现在语言表述的规范化，尤其是经历向量由平面推广到空间的过程中；另一方面体现在用向量法解决立体几何问题的“三步曲”中，需要重视向量语言和几何语言之间的转化。四、探究拓展举例。这里给出四个探究拓展的主题，供参考。它们是：平面与空间的划分、四面体的重心、飞行机器人位置的确定和异面直线的距离。向量是工具，这个工具有其独特性。由于它的双重性，既有几何特性，又有代数特性， 它可以在几何角色与代数角色之间灵活切换，所以由它来联系几何与代数就成了自然而然的事。在立体几何中，由于向量的介入，把一大部分抽象的空间想象和抽象的逻辑推理转化为向量运算，使我们拥有了解决立体几何问题的相对固化的方法，从而使我们面对那些空间想象能力要求较高的问题时，也能更轻松地驾驭。荷兰数学家，数学教育家，弗赖登塔尔在其所著作为教育任务的数学一书中有这样一段话：算法化意味着巩固，意味着一个平台向更高点的跳跃，算法为更深的发掘提供技巧，把算法数学与思辨数学对立起来，好像其中之一是巍巍高塔，可以从它的顶峰藐视着另一方，这是不公正的；我们也不能把它们看作是新与旧的对立。
