1、讲课人：邢启强2 艾萨克牛顿 Isaac Newton (16431727) 英国科学家他被誉为人类历史上最伟大的科学家之一他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家牛顿二项式定理讲课人：邢启强3 某人投资某人投资10万元，有两种获利的可能供选择。一种是年万元，有两种获利的可能供选择。一种是年利率利率11，按单利计算，按单利计算，10年后收回本金和利息。另一种是年利年后收回本金和利息。另一种是年利率率9，按复利计算，按复利计算，10年后收回本金和利息。年后收回本金和利息。试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资试问，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资10年后大约年后大约可多得
2、利息多少元？可多得利息多少元？分析：本金10万元，年利率11，按单利计算，10年后的本利和是10(11110)21(万元);本金10万元，年利率9，按复利计算，10年后的本利和是10(19)10;那么如何计算 (19)10 的值呢？能否在不借助计算器的情况下，快速、准确地求出其近似值呢？今天是星期一，从明天起的第天是星期几？今天是星期一，从明天起的第天是星期几？1 2 5 8 82820新课引入新课引入讲课人：邢启强4( + )2( + )( + )abaabaaabbbabb222baba 多项式乘法法则：先把一个多项式的每一项乘另一多项式乘法法则：先把一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一
3、项，再把所得的积相加个多项式的每一项，再把所得的积相加202ac( + )( + )( + )3abaabb( + )abaaaababaaaababb322333babbaa03C13C23C33Cabc12222bcbabbbabbb新课引入新课引入讲课人：邢启强54)(ba你能类比你能类比3)(ba的展开式的推导得到的展开式的推导得到4)(ba的展开式吗？的展开式吗？探究猜想：探究猜想：4aba322ba3ab4b04c14c24c34c44c()nab222122022)(bcabcacba3332232133033)(bcabcbacacba011()nnnrn rrnnnnnnab
4、C aC abC abC b新课引入新课引入讲课人：邢启强6二项式定理：公式二项式定理：公式 011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b右边的多项式叫做右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式，其中系数的二项展开式，其中系数0,1,rnCrn叫做叫做二项式系数二项式系数,式中的第式中的第r+1项项 rn rrnC ab叫做二项展开式的通项，记作叫做二项展开式的通项，记作1.rn rrrnTC ab二项展开式有以下特征：二项展开式有以下特征：（1）共有）共有n+1项。项。 （2）各项里）各项里a的指数从的指数从n起依次减小起依次减小1，直到，直到0为止；为止；b的指数从的
5、指数从0起依次增起依次增加加1，直到，直到n为止。每一项里为止。每一项里a、b的指数和均为的指数和均为n。 学习新知学习新知讲课人：邢启强7问题问题1 1：根据二项式定理，根据二项式定理，(1(1x) )n n (nN (nN*) )等于什么？等于什么？问题问题2 2：( (ab b) )n n(nN(nN*) )的展开式是什么？的展开式是什么？学习新知学习新知讲课人：邢启强8问题问题3：(2x3y)20的二项展开式的通项是什么？的二项展开式的通项是什么？20120(2 )(3 )kkkkTCxy-+=问题问题4 4：(1(12 2x) )7 7的展开式中第的展开式中第4 4项的二项式系数和系
6、数分别是什么？项的二项式系数和系数分别是什么？ 二项式系数：二项式系数： ，系数：系数： . . 3735C=378280C=学习新知学习新知讲课人：邢启强9例1.011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b例题讲评例题讲评求的展开式求的展开式61x+x 解：根据二项式定理，解：根据二项式定理， 66-10616 1-126 2-236 3-346 4-456 5-56-66666666642-2-4-6161520 156xx xxC xC xxC xxC xxC xxC xxC xxxxxxx 讲课人：邢启强10求的展开式求的展开式61xx 66-1-160616 1
7、-1 126 2-1 236 3-1 346 4-1 456 5-1 56-1 66666666642-2-4-61()()()()()()()61520 156xx xxxxC xC xxC xxC xxC xxC xxCxxxxxxx 解：根据二项式定理，解：根据二项式定理，讲课人：邢启强11练习：求的展开式.6)12(xx 解：先将原式化简，再展开，得 011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b6366) 12(1)12()12(xxxxxx)2()2()2()2()2()2(166562463364265166063CxCxCxCxCxCxCx) 1126016
8、024019264(1234563xxxxxxx32231126016024019264xxxxxx巩固练习巩固练习讲课人：邢启强12011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b例题讲评例题讲评求 的展开式中 的系数。61(2)xx2x的展开式的通项：因此， 的系数是2x例2 2：讲课人：邢启强13例3、求 的展开式中的第4项的系数.7)21 (x解：展开式的第4项为第4项的系数是280。 37 3343 171(2 )TTCx33372Cx3835x3280 x011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b例题讲评例题讲评讲课人：邢启强14例4、求
9、的展开式中的系数。 9)1(xx3x解：设展开式的第r+1项为含的项，则3x011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC brrrrxxCT)1(991rrrxC299) 1(3329rr即展开式中的第4项含，其系数为3x84) 1(393C例题讲评例题讲评讲课人：邢启强15（1）二项式定理是代数公式 和它是以多项式的乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的，其证明可用数学归纳法 2222)(bababa3223333)(babbaaba（2）对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉他的展开式通项公式 在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是 的二项式展开式的第 项，而不是第 项 的概括和推广，1.rn rrrnTC abnba)( 1rr011nnnrn rrnnnnnnabC aC abC abC b课堂小结课堂小结
