1、6.2.3组合组合6.2.4 组合数组合数讲课人：邢启强2从0130共30个号码中选择7个号码组合为一注投注号码。每注金额人民币2元一等奖：投注号码与当期开奖号码中7个基本号码完全相同（顺序不限，下同）；二等奖：投注号码与当期开奖号码中任意6个基本号码及特别号码相同；三等奖：投注号码与当期开奖号码中任意6个基本号码相同；四等奖：投注号码与当期开奖号码中任意5个基本号码及特别号码相同；五等奖：投注号码与当期开奖号码中任意5个基本号码相同；六等奖：投注号码与当期开奖号码中任意4个基本号码及特别号码相同；七等奖：投注号码与开奖号码中任意4个基本号码相同。中一等奖的概率是多少呢？讲课人：邢启强3高二一
2、部共高二一部共20个班级，共需组织多少场比赛？个班级，共需组织多少场比赛？讲课人：邢启强4追问追问1：问题：问题1中要完成的中要完成的“一件事情一件事情”是什么？是什么？比较比较6.2.1节问题节问题1与本节问题与本节问题1中要完成的中要完成的“一件事情一件事情”，它们有什么异同？，它们有什么异同？6.2.1问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活动，其中名参加一项活动，其中1名同学参加名同学参加上午的活动，另上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题问题1：从甲、乙、丙：从甲、乙、丙3名同学中选
3、出名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？名参加一项活动，有多少种不同的选法？ 这一问题与这一问题与6.2.1节的问题节的问题1有什么联系与区别？有什么联系与区别？追问追问2：列出问题：列出问题1的各种不同选法，与的各种不同选法，与6.2.1节问题节问题1的选法相比，它们有什么不同？是否与顺序有关？的选法相比，它们有什么不同？是否与顺序有关？本节问题本节问题1：“选出选出2名参加名参加一项活动一项活动”6.2.1节问题节问题1：“选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动下午的活动”本节问题本节问题1：6.2.1节问题节问题1：甲乙，甲乙
4、， 甲丙，甲丙， 乙丙乙丙甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙与顺序与顺序无关无关与顺序与顺序有关有关讲课人：邢启强5问题问题2：如果将问题：如果将问题1的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样表述问的背景去掉，把被选出的同学叫做元素，那么还可怎样表述问题题1？你能将它推广到一般情形吗？你能将它推广到一般情形吗？问题问题1：从甲、乙、丙：从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活动，有多少种不同的选法？名参加一项活动，有多少种不同的选法？将具体背景舍去，问题将具体背景舍去，问题1可以概括为：可以概括为：从从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个
5、元素作为一组，一共有多少个不同的组？个元素作为一组，一共有多少个不同的组？ 一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合（combination）.注意：注意：(1)组合的特点：组合的特点：组合要求组合要求n个元素是不同的，取出的个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，个元素也是不同的， 即从即从n个不同的元素中个不同的元素中进行进行m次不放回地取出次不放回地取出.(2)组合的特性：组合的特性：元素的元素的无序性无序性。取出的。取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求。个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求。讲课人：邢启强6一般地，从
6、一般地，从n个不同中取出个不同中取出m (mn)个元素合成一组，叫做从个元素合成一组，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的一个组合。个元素的一个组合。组合的概念：组合的概念： 排列与组合排列与组合的概念有什的概念有什么共同点与么共同点与不同点？不同点？ 学习新知学习新知两个相同的排列与两个相同的组合两个相同的排列与两个相同的组合两个两个排列相同排列相同两个两个组合相同组合相同元素元素位置位置相同相同相同相同无限制无限制讲课人：邢启强7排列排列组合组合相同的点相同的点不同点不同点完成这件事情完成这件事情共分几步共分几步排列与组合的概念的异同排列与组合的概念的异同从从n个不同个不同元
7、素中任取元素中任取m个元素个元素元素的顺序元素的顺序 有关有关元素的顺序元素的顺序 无关无关第一步、取第一步、取第二步、排第二步、排仅一步、取仅一步、取学习新知学习新知讲课人：邢启强8思考思考：如何区分排列问题还是组合问题？如何区分排列问题还是组合问题？若交换若交换某两个某两个元素的位置对结果元素的位置对结果有有影响，则是排列问题，即排列问题影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关与选取的顺序有关.若交换若交换任意两任意两个个元素的位置对结果元素的位置对结果没有没有影响，则是组合问题，即组合影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关问题与选取的顺序无关.练习：校门口停放着9辆共享自行
8、车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆。下面的问题：（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？（2）从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法？在（在（1）中，选出）中，选出3辆车即可，没有顺序，是一个组合问题；辆车即可，没有顺序，是一个组合问题；在（在（2）中，不仅要选出）中，不仅要选出3辆车，还要分配给辆车，还要分配给3位同学，有顺序，是一个排列问题位同学，有顺序，是一个排列问题 . 讲课人：邢启强9例例1 1、下列问题中哪些是排列那些是组合？、下列问题中哪些是排列那些是组合？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名
9、做正、副组长（3 3）有）有1010个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？组合排列组合组合组合排列例题讲评例题讲评（4）设集合）设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的子集中含有的子集中含有3个元素的有个元素的有多少个？多少个？（5）3人去干人去干5种不同的工作，每人干种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？种，有多少种分工方法？（6）把）把3本相同的书分给本相同的书分给5个学生，每人最多得个学生，每人最多得1本，有几种分本，有几种分配方法？配方法？讲课人：邢启强10 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，）个元素的所有组
10、合的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC组合数组合数组合数与一个组合相同吗？组合数与一个组合相同吗？如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任取任取2个元素的组合有ab、ac、ad、bc、bd、cd共6个，每一个都叫做一个组合；共6个，6叫做从4个不同元素任取2个元素的组合数。学习新知学习新知思考：利用排列和组合之间的关系，以思考：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同元素相同”为标准分类，为标准分类，你能建立起例你能建立起例2（1）中排列和（）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？）中组合之间的对应关系吗？进
11、一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？讲课人：邢启强111.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc， abd， acd， bcd.bcddcbacd练习巩固练习巩固写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有排列。四个元素中任取三个元素的所有排列。思考：排列数与组合数有什么关系？思考：排列数与组合数有什么关系？讲课人：邢启强12组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cab acb bca cbaabd bad dab adb
12、bda dbaacd cad dac adc cda dcabcd cbd dbc bdc cdb dcb（三个元素的）（三个元素的）1 1个组合，对应着个组合，对应着6 6个排列个排列你发现了什么你发现了什么?不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？学习新知学习新知讲课人：邢启强13可分两步考虑：求P3434A求可分两步考虑：34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而mnC如何计算如何计算: :学习新知学习新知讲课人：邢启强14组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有
13、联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系 一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数，可以个元素的排列数，可以分为以下分为以下2步：步： 第第1步步，先求出从这，先求出从这n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数个元素的组合数 mnC第第2步步，求每一个组合中，求每一个组合中m个元素的全排列数个元素的全排列数 mmA根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：mmmnmnACA因此：因此： !121mmnnnnAACmmmnmn这里这里m,n是自然数是自然数,且且 m n ,这个公式叫做这个公式叫做.学习新知学习新知01.nC我们规定：讲课人：邢启
14、强15例例3. 计算：（计算：（1） ；（2） ；（；（3） ；（；（4）310C710C1010C010C解：解：120!38910)1(33310310AAC120! 38910! 3! 7! 78910)!710( ! 7!10)2(710C1!10!10)3(101010101010AAC1)4(010C追问追问(2): 分别观察例中（分别观察例中（1）与（）与（2），（），（3）与（）与（4）的结果，你有什么发现和猜想？）的结果，你有什么发现和猜想？0101010710310CCCC；n1mnmnCC组 合 数 性 质 ：例题讲评例题讲评讲课人：邢启强16 例例4.一个口袋内装有大小
15、相同的一个口袋内装有大小相同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球 从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1 1个黑球，有多少种取法？个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？个球，使其中不含黑球，有多少种取法？5638C 2127C 3537C解：解：（1） 例题讲评例题讲评讲课人：邢启强17我们可以这样解释：我们可以这样解释：从口袋内的从口袋内的8个球中所取出的个球中所取出的3个球，可以分为两个球，可以分为两类：一类类：一类含有含有1个个黑球，一类不含有黑球因
16、此根据分类计数原理，上黑球，一类不含有黑球因此根据分类计数原理，上述等式成立述等式成立 我们发现：我们发现：38C27C37C为什么呢为什么呢?学习新知学习新知注注:1 公式特征：下标相同而上标差公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比的两个组合数之和，等于下标比原下标多原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用cccmnmnmn11讲课人：邢启强18CCmnmn1
17、 :证明)!1()!1(!)!( !mnmnmnmn)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn!) 1(!)!1(mnmn.1Cmncccmnmnmn11性质性质学习新知学习新知讲课人：邢启强19排列问题组合问题若交换若交换某两个某两个元素的位置对结果元素的位置对结果有有影响，则是排列问题，即排列问题影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关与选取的顺序有关.若交换若交换任意两个任意两个元素的位置对结果元素的位置对结果没有没有影响，则是组合问题，即组合影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关问题与选取的顺序无关.一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（mnmn）个元素作为一组，叫）个元素作为一组，叫做从做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个组合（个元素的一个组合（combinationcombination）. .（1）组合的定义？）组合的定义？课堂小结课堂小结（2）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？）如何判断一个计数问题是排列问题还是组合问题？（3）.求一个组合问题的所有组合个数的基本方法：求一个组合问题的所有组合个数的基本方法：
