1、讲课人：邢启强21.1.二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？二项式定理是什么？二项展开式有哪些基本特征？(3) (3) 各项的二项式系数依次为各项的二项式系数依次为 且与且与a，b b无关无关. .温故而知新温故而知新（1）共有）共有n+1项。项。 （2）各项里）各项里a的指数从的指数从n起依次减小起依次减小1，直到，直到0为止；为止；b的指数从的指数从0起依次起依次增加增加1，直到，直到n为止。每一项里为止。每一项里a、b的指数和均为的指数和均为n。 2.2.二项展开式的通项是什么？二项展开式的通项是什么？1knkkknTC ab-+=3.3.组合数有哪两个基本性质？组合数有哪两个基
2、本性质？mnmnnCC-=11mmmnnnCCC-+=+二项展开式有以下特征：二项展开式有以下特征：讲课人：邢启强3杨辉三角杨辉三角 问题问题1 1：( (ab b) )1 1,(,(ab b) )2 2,(,(ab b) )3 3,(,(ab b) )4 4,(,(ab b) )5 5,(,(ab b) )6 6的展开式中的展开式中的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：的二项式系数分别是哪些组合数？并将它们的计算结果填入下表：6 65 54 43 32 21 1二项式系数二项式系数n n1 11 11 11 12 21 11 13 33 31 11 14 46 64 41
3、 11 15 5101010105 51 11 16 61515151520206 6学习新知学习新知问题问题2 2：观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？观察上表中每一行的数据，你发现了什么规律吗？具有对称性具有对称性 讲课人：邢启强41)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba1 4 6 4 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 011101222201233333012344444401234555555501234566666666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC问题问题3:3:
4、将上表写成如下形式将上表写成如下形式, ,你又能发现这些数据有什么新的规律吗你又能发现这些数据有什么新的规律吗? ?学习新知学习新知(1)(1)每行两端的数都是每行两端的数都是1 1；(2)(2)与两端等距离的项的系数相等；与两端等距离的项的系数相等；(3)(3)在相邻的两行中在相邻的两行中, ,除除1 1以外的每一个数都等于它以外的每一个数都等于它“肩上肩上”两个数的和两个数的和, ,等等等等. .讲课人：邢启强5十五十五一一一一一一一一一一一一一一二十二十六六六六十五十五一一一一一一一一一一一一二二三三 三三四四四四六六五五十十十十五五本积本积商除商除平方平方立方立方三乘三乘四乘四乘五乘五
5、乘左积左积右积右积以廉乘商方中藏者皆廉右袤乃隅算之除而实命数积乃袤左 学习新知学习新知这个表在我国南宋数学家杨辉在1261年所著的 详解九章算法 一书里就出现了,所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示,在这本书里记载的是用汉字表示的形式,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于 释锁 算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它. 是我国古代是我国古代数学的一个重要成果，数学的一个重要成果，这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(,(16231662)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说,杨辉三角的发现
6、要比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.我们把这个数表称为我们把这个数表称为杨辉三角杨辉三角，问题问题4 4：杨辉三角的上述基本性质如何用组杨辉三角的上述基本性质如何用组合数性质解释？合数性质解释？讲课人：邢启强6二项式系数的性质二项式系数的性质 问题问题1 1：对给定的正整数对给定的正整数n n，设函数，设函数 ，r0r0，1 1，2 2，nn，当当n n6 6时，函数时，函数f( (r)r)的图象是什么？的图象是什么？( )rnf rC=学习新知学习新知因为 展开式的二项式系数依次是： nba)( 012,nnnnnCCCC从函数角度看， 可看成是以k为自
7、变量的函数 ,其定义域是： knCn, 2 , 1 , 0对于确定的n，我们还可以画出它的图象，例如，当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点讲课人：邢启强7问题问题2 2：一般地，函数一般地，函数 ，r0r0，1 1，2 2，nn的图象是什么？的图象是什么？ 它具有怎样的对称性？它具有怎样的对称性？( )rnf rC=n n1 1个孤立的点，关于直线个孤立的点，关于直线 对称对称 2nr=问题问题3 3：在二项式系数在二项式系数中，哪些二项式系数是相等的？中，哪些二项式系数是相等的？ 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等. . 学习新知学习新知讲课人：邢
8、启强8问题问题4 4：相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论相邻两个二项式系数的大小关系如何？从理论上如何确定上如何确定 与与 的大小？的大小？1knC-knC问题问题5 5：通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分通过上述分析，二项式系数的增减性与最大值分别是什么？别是什么？二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，二项式系数的前半部分是递增的，后半部分是递减的，且在中间取得最大值且在中间取得最大值. . 学习新知学习新知讲课人：邢启强9问题问题6 6：当当n n分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？分别为偶数和奇数时，第几项的二项式系数最大？当当n n为偶数时，第为偶数时，
9、第 项的二项式系数项的二项式系数 为最大；为最大；12n+2nnC当当n n为奇数时，第为奇数时，第 的二项式系数的二项式系数 和第和第 项的项的二项式系数二项式系数 相等，且同时为最大相等，且同时为最大. .12n+12nnC-32n+12nnC+学习新知学习新知问题问题7 7：在二项式定理中，在二项式定理中，a，b b可以任意取值，特别地，当可以任意取值，特别地，当ab b1 1时，时，可得什么结论？可得什么结论？讲课人：邢启强10例例1：求证在：求证在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和数的和分析：
10、由分析：由(a+b)n的展开式可知，的展开式可知， 奇数项的二项式系数的和为奇数项的二项式系数的和为 偶数项的二项式系数的和为偶数项的二项式系数的和为由于由于024CCCnnn 135CCCnnn 性质三：二项式系数之和 011222()nnnnnnnnnnabC aC abC abC b 因此，我们可以通过对因此，我们可以通过对a，b适当赋值来得到上述两个系数和。适当赋值来得到上述两个系数和。典型例题典型例题011222()a1在展开式中，令，b=-1,则得nnnnnnnnnnabC aC abC abC b 证明：0123(1 1)( 1)nnnnnnnnCCCCC 024135因此，nn
11、nnnnCCCCCC 即在即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。024135()()0nnnnnnCCCCCC 即即讲课人：邢启强11问题问题8 8：上述结果表明，所有二项式系数之和等于上述结果表明，所有二项式系数之和等于2 2n n，所有奇数，所有奇数项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且项的二项式系数之和与所有偶数项的二项式系数之和相等，且都等于都等于2 2n n1 1. .那么，如何求那么，如何求(3(32 2x) )n n的展开式中各项的系数之和？的展开式中各项的系数之
12、和？令令x1 1，得各项的系数之和为，得各项的系数之和为5 5n n. .学习新知学习新知1）已知）已知 ，那么，那么 = ；2） 的展开式中，二项式系数的最大值是的展开式中，二项式系数的最大值是 ；3）若）若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则数最大，则n= ；591515,Ca Cb1016C9()ab()nab巩固练习巩固练习a+b12621讲课人：邢启强12 例例1 1 填空：填空：（1 1）(x(xy)y)1111的展开式中系数最大的项第的展开式中系数最大的项第 项，项，系数最小的项第系数最小的项第 项；项；（2 2） ， 1357
13、91010101010CCCCC+=7 76 610231023512512典型例题典型例题讲课人：邢启强13 例例2 2 已知已知(1(12 2x) )n n的展开式中第的展开式中第6 6项与第项与第7 7项的系数相等，项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项求展开式中二项式系数最大的项. .例例3 3 求集合求集合A A a1 1，a2 2，an n 共有多少个子集？共有多少个子集？典型例题典型例题讲课人：邢启强14例例4、已知、已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + + a7x7 ,则则(1)a1+a2+a3+a7=_(2)a1+a3+a5+a7 =_(3)a0+a2+a
14、4+a6 =_赋值法赋值法练习练习:若已知若已知(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + + a200(x-1)200求求a1+a3+a5+a7+a199的值。的值。例题讲评例题讲评2 210931093-1094-1094讲课人：邢启强15一般地，一般地， 展开式的二项式系展开式的二项式系 有如下性质：有如下性质：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC（2 2）（4 4）mnmnmnCCC11nnnnnCCC210（3 3）当）当n n为偶数时，为偶数时， 最大最大 当当n n为奇数时，为奇数时， = = 且最大且最大 2Cnn21Cnn21C
15、nn（对称性）（对称性）课堂小结课堂小结在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和讲课人：邢启强16课堂小结课堂小结 1. 1.杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组杨辉三角反映了二项式系数的变化规律，其理论依据是组合数的两个性质合数的两个性质. .杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研杨辉三角中还有许多有趣性质，可作为一个研究性课题进行探究究性课题进行探究. . 2. 2.二项式系数的性质实质是组合数的一些性质，常作为解二项式系数的性质实质是组合数的一些性质，常作为解决组合数问题的理论依据，但这些性质不能类推到二项展开式决组合数问题的理论依据，但这些性质不能类推到二项展开式的系数的系数. . 3. 3.令令x1 1，可求得，可求得( (abx) )n的展开式中各项的系数之和，的展开式中各项的系数之和，当当x x取其它值时，还可以得出一些相关结论，这是一种赋值的取其它值时，还可以得出一些相关结论，这是一种赋值的方法方法. .
