1、5.3.2 函数的极值与最大(小)值 （1） 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值 学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。课程目标学科素养A.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.B初
2、步掌握求函数极值的方法 C体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系1.数学抽象：求函数极值的方法 2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系 3.数学运算：运用导数求函数极值 4.直观想象：导数与极值的关系重点：求函数极值 难点：函数极值与导数的关系 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 温故知新1.函数f (x)的单调性与导函数f (x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf (x)：f (x)的正负f (x)的单调性f (x)0单调递_f (x)0单调递_增 ;减 2判断函数yf (x)的单调性第1步：确定函数的_；第2步：求出导数f (x)的_；第3步：用f (x)的_将f (x)
3、的定义域划分为若干个区间，列表给出f (x)在各区间上的_，由此得出函数yf (x)在定义域内的单调性定义域 ;零点 ;零点 ;正负 二、探究新知探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律? 放大t=a附近函数h(t)的图像,如图，可以看出，ha=0;在t=a的附近，当t0;当ta时，函数h(t)单调递减，ht0.这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t0）后减（当ta时，ht0）这样，当t在a的附近从小到大经过a时，ht先正后负，且ht连续变化，于是有ha=0.对于
4、一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？以a，b为例进行说明.探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？（1）函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点附近其他点的函数值都小，而且在x=a点附近的左侧fx0;（2）函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点附近其他点的函数值都大，而且在x=b点附近的左侧fx0，右侧fx0.1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数yf (x)在点xa的函数值f (a)比它在点xa附近其他点的函
5、数值都小，f (a)_，而且在点xa附近的左侧_，右侧_，就把点a叫做函数yf (x)的极小值点，_叫做函数yf (x)的极小值0 ;f (x)0;f (x)0;f (a) (2)极大值点与极大值若函数yf (x)在点xb的函数值f (b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f (b)_，而且在点xb附近的左侧_，右侧_，就把点b叫做函数yf (x)的极大值点，_叫做函数yf (x)的极大值(3)极大值点、极小值点统称为_；极大值、极小值统称为_0 ;f (x)0;f (x)0;f (b);极值点 ;极值 1函数f (x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图所示，则函数f (x)()A无极
6、大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点C设yf (x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f (x)在xx1，xx3处取得极大值，在xx2，xx4处取得极小值三、典例解析例5. 求函数fx=13x3-4x2+4的极值.解：因为 fx=13x3-4x2+4 的定义域为R，所以fx=x2-4 =(x+2)(x-2)令fx=0,解得：x1=-2,x2=2当x变化时，fx， fx，的变化情况如下表因此，当x=-2时，fx有极大值，极大值为f-2= 283; 当x=2时，fx有极小值，极小值为f2=- 4
7、3.函数fx=13x3-4x2+4的图像如图所示.问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？一般地，求函数yf(x)的极值的步骤(1)求出函数的定义域及导数f(x)；(2)解方程f(x)0，得方程的根x0(可能不止一个)；(3)用方程f(x)0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；(4)由f(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f(x)0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.问题2：导
8、数为0的点一定是极值点吗？提示不一定，如f (x)x3，f (0)0， 但x0不是f (x)x3的极值点所以，当f (x0)0时，要判断xx0是否为f (x)的极值点，还要看f (x)在x0两侧的符号是否相反跟踪训练1 求下列函数的极值：(1)yx33x29x5；(2)yx3(x5)2. 解(1)y3x26x9，令y0，即3x26x90，解得x11，x23.当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，1)1(1，3)3(3，)y00y极大值极小值当x1时，函数yf (x)有极大值，且f (1)10；当x3时，函数yf (x)有极小值，且f (3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2
9、(x3)(x5)令y0，即5x2(x3)(x5)0，解得x10，x23，x35.当x变化时，y与y的变化情况如下表：x(，0)0(0，3)3(3，5)5(5，)y000y无极值极大值108极小值0x0不是y的极值点；x3是y的极大值点，y极大值f (3)108；x5是y的极小值点，y极小值f (5)0.温故知新，提出问题，引导学生探究运用导数研究函数的极值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运
10、算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1.函数f (x)的定义域为R，它的导函数yf (x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A在(1，2)上函数f (x)为增函数B在(3，4)上函数f (x)为减函数C在(1，3)上函数f (x)有极大值Dx3是函数f (x)在区间1，5上的极小值点D由题图可知，当1x2时，f (x)0，当2x4时，f (x)0，当4x5时，f (x)0，x2是函数f (x)的极大值点，x4是函数f (x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误2设函数f (x)xex，则()Ax1为f (x)的极大值点Bx1为f (x)的极小值点Cx1为f (x)的极大值点D
11、x1为f (x)的极小值点D令f (x)exxex(1x)ex0，得x1.当x1时，f (x)0；当x1时，f (x)0.故当x1时，f (x)取得极小值3已知函数f (x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是_(，1)(2，)f (x)3x26ax3(a2)，函数f (x)既有极大值又有极小值，方程f (x)0有两个不相等的实根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.4已知函数f (x)2ef (e)ln x，则函数f (x)的极大值为_2ln 2f (x)，故f (e)，解得f (e)，所以f (x)2ln x，f (x).由f (x)0得0
12、x2e，f (x)0得x2e.所以函数f (x)在(0，2e)单调递增，在(2e，)单调递减，故f (x)的极大值为f (2e)2ln 2e22ln 2.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结求可导函数yf (x)的极值的方法解方程f (x)0，当f (x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f (x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，那么f (x0)是极小值 五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的极值定义及利用导数求极值的方法。让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。
