1、 高三（上）期中数学试卷 题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A=x|x21=0，B=0,+)，则AB=_2. 已知角的始边为x轴的正半轴，点P(1,22)是其终边上一点，则cos的值为_3. “x1”是“x2”的_条件4. 若向量a=(l,m)，b=(3,2)，a/b，则实数m的值为_5. 函数y=1+log2x的定义域为_6. 若函数y=f(x)为奇函数，当x0时，f(x)=log2(1+x)，则f(7)的值为_7. 设Sn为等差数列an的前n项和，若S3=S5，且公差d0，则a1d的值为_8. 若sin(+)=45，则cos2的值为_9. 若函数f(
2、x)=sinx3cosx的图象关于直线x=a对称，则|a|的最小值是_10. 若函数f(x)=ax2+2x+1a,x0,01”，则“x2”不成立，反之，“x2”时“x1”，成立，故答案为：必要不充分4.【答案】23【解析】解：向量a=(l,m)，b=(3,2)，当a/b时，123m=0，解得m=23故答案为：23根据平面向量共线的坐标表示，列方程求出m的值本题考查了平面向量的共线定理与坐标运算问题，是基础题5.【答案】2,+)【解析】解：要使函数有意义，则1+log2x0得log2x1得x2，即函数的定义域为2,+)，故答案为：2,+)根据函数成立的条件进行求解即可本题主要考查函数定义域的求解
3、，结合根式和对数函数的性质是解决本题的关键6.【答案】3【解析】解：f(x)为奇函数，且x0时，f(x)=log2(1+x)，f(7)=f(7)=log28=3故答案为：3根据f(x)为奇函数即可得出f(7)=f(7)，而根据x0时，f(x)的解析式即可求出f(7)，从而得出f(7)的值考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法7.【答案】72【解析】解：由S3=S5，且公差d0，3a1+3d=5a1+542d，可得：2a1+7d=0则a1d=72故答案为：72利用等差数列的求和公式即可得出本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.【答案】725【解析】【分析】本题考
4、查二倍角公式以及诱导公式的应用，考查计算能力，是基础题利用诱导公式以及二倍角公式化简求解即可【解答】解：sin(+)=45，可得sin=45，cos2=12sin2=121625=725故答案为7259.【答案】6【解析】解：函数f(x)=sinx3cosx=2(12sinx32cosx)=2sin(x3)的图象关于直线x=a对称，则a3=k+2，即a=k+56，kZ令k=1，可得|a|的最小值是6，故答案为：6由题意利用两角和差的三角公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得|a|的最小值本题主要考查两角和差的三角公式，正弦函数的图象的对称性，属于中档题10.【答案】0,1【解
5、析】解：根据题意，函数f(x)=ax2+2x+1a,x0ex,x0在(1,+)上是增函数，当a=0时，f(x)=2x+1,x0ex,x0，满足在(1,+)上是增函数，a0时，必有a022a11a1，解可得：0a1；故a的取值范围为0a1；故答案为：0,1根据题意，由函数单调性的定义分析a的范围，可得不等式组，解可得a的取值范围，即可得答案本题考查分段函数的单调性，关键是掌握函数单调性的定义，属于基础题11.【答案】1534【解析】【分析】本题考查等比数列的定义及求和公式的简单应用，属于中档题由已知可得anan+1an1an=q化简可得an+1an1=q，然后结合a1=a2=1，a3=2，可求q
6、，结合等比数列的求和公式即可求解【解答】解：数列anan+1是等比数列，anan+1an1an=q即an+1an1=q，a1=a2=1，a3=2，q=a3a1=2，则数列an的奇数项和偶数项分别成公比为2的等比数列，且奇数项分别为1，2，4，8偶数项分别为1，2，4，8前19项和的(1+2+4+28)+(1+2+4+29)=12912+121012=29+2102=1534故答案为：153412.【答案】66【解析】解：连接DN、EN，DM=ME，则M是线段DE中点，2NM=ND+NE，BN=NC，AD=23AB，ND=NB+BD=CB2+BA3，同理NE=NC+CE=BC2+2CA3，2NM
7、=ND+NE=BA3+2CA3，由CB=CA+AB=CABA，2MNCB=(BA3+2CA3)(CABA)=2CA23BA23BACA3=2CA23BA23BACAcosA3，若MNBC，AB=3，AC=2，222332332cosA3=0，cosA=66故答案为：66连接DN、EN，DM=ME，则M是线段DE中点，2NM=ND+NE=BA3+2CA3，若MNBC得2MNCB=(BA3+2CA3)(CABA)=2CA23BA23BACAcosA3=0，代入已知数据即可求出cosA本题考查了平面向量的有关概念，平面向量基本定理，平面向量共线定理，数量积公式，向量垂直等知识，属于中档题13.【答案
8、】5【解析】【分析】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题在ABD中和在ADC中，利用正弦定理分别求出sinADB和sinADC，再结合条件求出BAC，最后在ABC中，利用余弦定理求出BC【解答】解：在ABD中，由正弦定理，有BDsinBAD=ABsinADB，sinADB=2sinBADBD，在ADC中，由正弦定理，有ACsinADC=DCsinCAD，sinADC=sinCADDCD为BC的中点，CAD=2BAD，2sinBAD=sin2BAD=2sinBADcosBAD，cosBAD=22，BAD=4，CAD=2，BAC=34，由余弦定理，有
9、BC2=AB2+AC22ABACcosBAC=2+122(22)=5，BC=5故答案为：514.【答案】(,52【解析】解：设f(x)的最大值是M(a)，令g(x)=2x33x2a，则g(x)=6x26x=6x(x1)，故g(x)在0,1)递减，在(1,2递增，故g(x)min=g(1)=1a，而g(0)=ag(2)=4a，故g(x)1a,4a，由1a+4a2=0，解得：a=32，a32时，M(a)=|1a|=1+a，a32时，M(a)=|4a|=4a，故M(a)=1+a,a324a,a0,02)的周期为T，则T2=6，又T=2，=6，f(x)=2sin(6x+)(02)；f(x)的图象经过点
10、(0,3)，f(0)=2sin=3(02)，=3，函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(6x+3)(2)将函数f(x)的图象向右平移3个单位后得到函数g(x)的图象，由(1)得，f(x)=2sin(6x+3)，函数g(x)的解析式为g(x)=2sin6(x3)+3=2sin(6x6)；当x1,5时，6x63,23，则2sin(6x6)3,2综上，当x1,5时，g(x)的值域为3,2【解析】(1)求出函数的周期，求解，利用函数经过的点，求解，然后得到函数的解析式(2)利用函数的图象的平移变换推出函数的解析式，求解相位的范围，然后求解函数的最值本题考查三角函数的图象的变换，函数的周期性以及函数
11、的最值的求法，是基本知识的考查，是基础题16.【答案】解：(1)p为真命题，则2+a(sinx)max，a1；(2)pq为真命题，pq为假命题，则p，q一真一假，若q为真命题，则a=x2x在x1,1在有解，又y=x2x，x1,1的值域为14,2，14a2p真q假，a1a2，则a2或1a14p假q真，a114a2，则a综上，实数a的取值范围是1,14)(2,+)【解析】(1)由p为真命题，可得2+a(sinx)max，进而得出a的范围(2)根据pq为真命题，pq为假命题，可得p，q一真一假，若q为真命题，则a=x2x在x1,1在有解，利用二次函数的单调性可得y=x2x，x1,1的值域分类讨论即可
12、得出本题考查了不等式的解法、函数的单调性、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于中档题17.【答案】解：解法一：设ADE=(0,2)，过E作EHAD于H，EF垂直平分AD，DH=12BC=50(米)，DE=50cos(米)，EH=50tan(米)，又EF的中点是矩形ABCD的中心，EF=2002EH=200100tan(米)，记这5条路总长度为f()(米)，则f()=450cos+200100tan(0,2)，即f()=200+1002sincos(0,2)，f()=100(2sin)cos(2sin)(cos)cos2，化简得f()=1002sin1cos2，由f()=0，可
13、得=6，列表如下：(0,6)6(6,2)f()0+f()200+1003由上表可知，当=6时，f()取最小值f(6)=200+10021232=200+1003(米)答：5条道路的总长度的最小值为200+1003(米)解法二：过E作EHAD于H，设EH=x(米)(0x100)因EF垂直平分AD，故AH=12BC=50(米)，又EF的中点是矩形ABCD的中心，EF=2002x(米)；在RtAEH中，AE=2500+x2(米)，由对称性可得，AE=DE=CF=BF=2500+x2(米)；记这5条路总长度为f(x)(米)，f(x)=42500+x2+2002x,(0x100)，f(x)=4x2250
14、0+x22500+x2=2(2x2500+x2)2500+x2，令f(x)=0，解得x=5033(负值舍)列表如下：x(0,5033)5033(5033,100)f(x)0+f(x)200+1003由上表可知，当x=5033时，f(x)取最小值200+1003，答：5条道路的总长度的最小值为200+1003米【解析】解法一：设ADE=(0,2)，过E作EHAD于H，由题意可得：DH=12BC，DE=50cos，EH=50tan.根据EF的中点是矩形ABCD的中心，可得EF=2002EH，记这5条路总长度为f()(米)，可得f().利用导数研究函数的单调性即可得出解法二：过E作EHAD于H，设E
15、H=x(米)(0x0，f(0)=10，存在x0(0,1)使得f(x0)=0，即x0ex01=0，当x(,x0)时，f(x)0，函数f(x)在(,x0)单调递减，在(x0,+)上单调递增，f(x)min=f(x0)=ex0(x01)x0a=1a1x0x0，函数f(x)有两个不同的零点x1，x2，f(x)min0，1a1x0x01(1x0+x0)，y=1x+x在(0,1)上单调递减，y2，即1x0+x02，1(1x0+x0)0，即有x1或x1，若m为f(x)=0的一个根，即有em=m+1m1，则em=1em=m1m+1，可得m也满足ex=x+1x1，可得x1+x2=0【解析】(1)求得f(x)=ex(x1)x的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程；(2)求得f(x)的导数，由函数的零点存在定理可得存在x0(0,1)使得f(x0)=0，即x0ex01=0，求得f(x)的单调性、极值和最值，由最小值小于0，结合参数分离，以及基本不等式可得a的最小值；当a=1时，令f(x)=0，可得ex=x+1x1，推出m为该式的根，m也是该式方程的根，即可得到所求和本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查方程思想和转化思想、函数的零点问题，考查化简运算能力，属于难题第15页，共15页
