1、第 1 页，共 17 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.函数() =lg( + 1)12的定义域为()A. (1,0)B. (0,1)C. (1, + )D. (0, + )2.与函数 =242为同一函数的是()A. = B. =1|C. =1D. = 13.集合 = 0,2， = 1,2，若 = 0,1，2，4，16，则 a 的值为()A. 0B. 1C. 2D. 44.已知实数 =log23， = (13)2， = 13110，则它们的大小关系为()A. B. C. D. 5.拟定从甲地到乙地通话 m
2、 分钟的电话费由() = 1.06(0.50 + 1)给出，其中 0，是大于或等于 m 的最小整数(例如3 = 3，3.7 = 4，3.1 = 4)， 则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为()元A. 3.71B. 3.97C. 4.24D. 4.776.函数() = (12)2 + 2的单调递增区间为()A. (,2B. 2,12C. 12,1D. 12, + )7.已知函数() =(1) + 3, 0时，() = 2；若函数 = (1)的定义域为(1,2)，则函数 = (2)定义域为(0,12)；若35 0且 1)的图象必过定点(1,0)其中正确说法的个数是()A. 1B. 2C. 3
3、D. 49.函数() = (2+3)ln|的图象大致为()A. B. C. D. 10.若对， ，有() + ()( + ) = 3，函数() =2+ 1+()，则(2) + (2)的值()A. 0B. 4C. 6D. 911.已知定义在 R 上的函数()，()，其中函数()满足() = ()且在0, + )上单调递减，函数()满足(1) = (1 + )且在(1, + )上单调递减，设函数() =12() + () + |()()|，则对任意 ，均有()A. (1) (1 + )B. (1) (1 + )C. (12) (1 + 2)D. (12) (1 + 2)12.设函数() =2+ ,
4、 02, 0，()为定义在 R 上的奇函数， 且当 0时，() =225，若() 2，则实数 a 的取值范围是()A. (,1 0,2 21B. 1,2 21C. (,1 (0，3D. 1,3第 3 页，共 17 页二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.化简：4(3)4+16lg1100+2123= _14.已知幂函数() = (21)22+ + 3( )为偶函数，且满足(3) 0， 且 1， 若函数() = ln(22 + 3)有最大值， 则关于 x 的不等式(25 + 7) 0的解集为_16.已知 0且 1， b为实数， 函数() =2+ 2, 01, 0， 若关于x的不
5、等式()2+()2 0恰有 1 个整数解，则实数 a 的取值范围为_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知全集 = ，集合 = |52 0， = |22 + (21) 0()当 = 2时，求() ()；()若 = ，求实数 a 的取值范围18.已知() = 1 + 311 + (1)求(12019) + (12019)的值；(2)当 12,12时，求函数 = ()的最大值第 4 页，共 17 页19.某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数(万件)与日产量(万件)之间满足关系： =26,(1 1时，() 0)，讨
6、论关于 x 的方程() = 0的实数解的个数第 6 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】A【解析】解：函数() =lg( + 1)12中，令 + 1 012 0，解得 1 0，即1 0，即 0，即函数的定义域为| 0， =242= 224|= 44|1=1|，故选：B根据指数和对数的运算法则进行化简，结合同一函数的定义进行判断即可本题主要考查同一函数的判断，结合指数幂和对数的运算法则是解决本题的关键比较基础3.【答案】D【解析】解： = 0,2， = 1,2， = 0,1，2，4，162= 16 = 4 = 4，故选：D根据题意，由并集的计算方法，结合 a 与2的关系，易得2= 1
7、6 = 4，即可得答案本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题4.【答案】B第 7 页，共 17 页【解析】解 ： 1 =log22 =log23 log39 = 2， 故选：B利用有理指数幂与对数的运算性质分别比较 a，b，c 与 1 和 2 的大小得答案本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂与对数的运算性质，是基础题5.【答案】C【解析】解：由是大于或等于 m 的最小整数可得5.5 = 6所以(5.5) = 1.06 (0.50 5.5 + 1) = 1.06 4 = 4.24故选：C先利用是大于或等于 m 的最小整数求出5.5 = 6，再直接代
8、入() = 1.06(0.50 + 1)即可求出结论本题涉及到了对新定义的考查解决本题的关键在于对是大于或等于 m 的最小整数的理解和应用，求出5.5 = 66.【答案】C【解析】解：要使函数有意义，则2 + 2 0得2+2 0，得2 1，即函数的定义域为2,1，设 = 2 + 2， =，则 = (12)，由复合函数单调性之间的关系得要求()的单调递增区间，即求 = 2 + 2的单调递减区间为， = 2 + 2的单调递减区间为12,1， ()的单调递增区间为12,1，故选：C先求出函数的的定义域，利用换元法，结合复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可本题主要考查函数单调区间的求解， 结合条件
9、利用换元法以及利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键难度中等第 8 页，共 17 页7.【答案】D【解析】解：当 时，() = 1，若函数()的值域为 R，则 0(1) + 3 1，解得： 13,1),故选：D若函数()的值域为 R，则 0(1) + 3 1，解得答案本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的值域，分类讨论思想，集合思想，难度中档8.【答案】A【解析】解：对于， ()是定义在 R 上的偶函数， () = ()，设想 0，此时 0() = () = ()( + 1) = 2 正确；对于，函数 = (1)的定义域为(1,2)，则 = ()的定义域为(2,3)， 函数 = (2)
10、定义域为(1,32)； 错误；对于，取特殊值 = 时，ln35 0且 1)的图象，过的定点为(1,2)，而不是(1,0)， 错误综上均错，正确的只有故选：A第 9 页，共 17 页根据初等函数的基本性质，抽象函数的理解运用，逐步排除，一一筛选，即可判断本题考查基本函数的性质，考查对抽象函数的理解运用，属于基础题和易错题9.【答案】C【解析】解：函数的定义域为| 0，() = ()2+3ln| = (2+3)ln| = ()，则函数为偶函数，则图象关于 y 轴对称，排除 A，D，当 + ，()，排除 B，故选：C先判断函数的奇偶性，结合对称性以及极限思想进行排除即可本题主要考查函数图象的识别和判
11、断，结合函数奇偶性和对称性，以及极限思想是解决本题的关键比较基础10.【答案】C【解析】解：令 = = 0，可得(0) + (0)(0) = 3，即(0) = 3，可令 = ，可得() + () = 3 + (0) = 6，则(2) + (2) =25+(2)25+(2) = (2) + (2) = 6故选：C可令 = = 0，可得(0) = 3，再令 = ，可得() + () = 6，计算可得所求和本题考查抽象函数的运用，注意运用赋值法，考查方程思想和运算能力，属于基础题11.【答案】C【解析】解：根据题意，函数()满足() = ()，则()为 偶 函 数 ，第 10 页，共 17 页又由(
12、)在0, + )上单调递减，且|12| |1 + 2|，则(12) (1 + 2)；函数()满足(1) = (1 + )，即()关于直线 = 1对称，则(12) = (1 + 2)；又由() =12() + () + |()()| =(),() ()(),() 0，则 0，() = () = 22 + 5，令() = ，则() 2，解得， 2，即() 2， 022 + 5 2或 = 0， 1或0 2 21，故选 A先将不等式转化为() 2，再根据函数的解析式，分类求解本题考查不等式的解法，考查函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题13.【答案】3【解析】解：因为：log123 =
13、213；4(3)4+16lg1100+2123= 3 +16 102+2213= 3 +16 (2) +13= 3故答案为：3利用对数运算性质=log，化简出：log123 = 213；再根据对数和指数的运算性质即可求出结论本题考查的知识点是对数的运算性质以及根式的运算， 熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键第 11 页，共 17 页14.【答案】2【解析】解： 幂函数() = (21)22+ + 3( )为偶函数， 21 = 122+ + 3为偶数, ，求得 = 1，且 = 1，3，5， 满足(3) (5)，即322+ + 3 1，则() 2，此时函数有最小
14、值，不满足条件若0 0等价为0 25 + 7 025 + 6 0，则 2 3，解得2 3，即不等式的解集为(2,3)，故答案为：(2,3)根据复合函数单调性的性质，求出0 1，结合对数函数的单调性解不等式即可本题主要考查不等式的求解，利用复合函数单调性的性质求出 a 的取值范围，结合对数函数的单调性是解决本题的关键16.【答案】(3,8【解析】解：当0 1时，函数()的图象如右下图所示，第 12 页，共 17 页令 = ()，则不等式可化为2+2 0，当 = 0时，2+2= 2+ 0，解得 1，则 = ( 0)与函数 = ()有且仅有一个交点，由2+2 2，若不等式只有一个整数解，则必为 =
15、3，又(3) = 3，(4) = 8，则8 3 0，即3 8；()若0 1， 此时 = ( 0时， () 0无整数解， 整数解避必在 0中，即 1 0有唯一整数解，解得log(1) 0，令2+2 0，解得 2+ 422 +2+ 422，又 2+ 422 0 +2+ 422，而() = 0中包含 = 0和 = 2两个整数解，故 0不符合题意；综上所述，实数 a 的取值范围为(3,8故答案为：(3,8分别作出0 1时函数()的图象，令 = ()，然后分 = 0及 0两种情况讨论即可本题考查根据不等式整数解的个数求解参数范围的问题， 关键是能够通过分类讨论得到函数的图象，进而利用换元可得到 = 与
16、= ()的交点个数，从而根据交点情况确定整数解的取值，从而得到不等关系求得结果，属于较难题目17.【答案】解：()集合 = |52 0 = (2,5， = 2时，24 + 3 0，故 B ，22 + (21) 0，得1 0，解得1 1； ()的定义域为(1,1)； () + () = 1 + 31 + 1+1 + 311 + = 2 (12019) + (12019) = 2(2)设 = 1 +log3， =11 + = 1 +21 + ；当 12,12时，u 单调递减，y 单调递增， ()在 12,12时，单调递减；故当 12,12时，()的最大值为(12) = 2【解析】(1)先求函数定义
17、域，注意到所求函数值的两个自变量互为相反数，故先求() + ()的值，即可得所求函数值；(2)由复合函数的单调性可判断()的单调性，进而求出最大值本题考查了对数运算，函数求值问题，复合函数的单调性，求最值问题，属于中档题19.【答案】解：(1)当1 4时，合格的元件数为26(万件)，利润 = 20(26)10 26= 2052(万元)；当 4时，合格的元件数为( +32512) =25123(万件)，利润 = 20(25123)10( +32512) =12529010(万元)，综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润为 =2052,1 412529010, 4(2)当1 0，所以 = 10
18、+90在4, + )上是单调递增，所以函数()在4, + )上是减函数，则当 = 4时，利润 T 的最大值0. 综上所述，当日产量定为2(万件)时，工厂可获得最大利润 20 万元答：当工厂将这种仪器的元件的日产量(万件) 定为2(万件)时获得的利润最大，最大利润为 20 万元【解析】(1)根据题目条件写出在 x 的不同范围内的合格的元件数，然后由实际利润 =合格产品的盈利生产次品的亏损将生产这种元件所获得的实际利润(万元) 表示为日产量(万件)的函数；(2)分别利用配方法和函数的单调性求函数在两段内的最值，最后取两段的最大之中的最大者本题考查了函数模型的选择及应用，考查了配方法及利用导数研究函
19、数的最值，注意分段函数的最值要分段求，此题是中档题20.【答案】解：(1)是，且满足条件的0为 0() = (1)2，设实数0满足(20) = (0)，即(201)2= (01)2，解得0= 1，所以函数()是“类对称函数”，且满足条件的0为 0；(2)因为()是 “类对称函数” ， 所以存在0 1,3)， 使得320+ = (30+)， = 12(320+ 30)，设 = 30 13,27)，则 = 12(9+) 4133，所以 t 的取值范围是413,3【解析】(1)将函数()代入新定义，转化为解方程问题，解方程即可；(2)将函数()代入新定义，问题转化为方程在区间上有解问题，此问题经过变
20、量分离转化为函数求值域，接下来运用求值域的方法求出即可本题为新定义问题，新定义为方程有解问题，(1)方程可以直接求解，是基础题；(2)需要经参变量分离法转化为函数求值域问题，是中档题21.【答案】解：(1)令 = = 1，则(1 1) = (1) + (1)，得(1) = 0；第 15 页，共 17 页再令 = = 1，则(1) (1) = (1) + (1)，得(1) = 0对于条件( ) = () + ()，令 = 1，则() = () + (1)，所以() = ()又函数()的定义域关于原点对称，所以函数()为偶函数(2)任取1，2 (0, + )，且1 1又 当 1时，() 0， (2
21、1) 0而(2) = (121) = (1) + (21) (1)即(2) 0(32) 16或(32) 23或 02 83或0 23 得2 0或23 83或0 23，即不等式的解集为|2 0或0 23或23 83.【解析】(1)先求(1)的值，令 = 1，推出() = () + (1)，() = ().结合函数奇偶性的定义，判断函数()的奇偶性(2)根据抽象函数关系，结合函数单调性的定义先判断函数的单调性，结合函数奇偶性单调性的关系将不等式进行转化求解即可本题主要考查抽象函数的应用， 结合函数奇偶性和单调性的定义判断函数的奇偶性和单调性，以及利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化是解决本题的
22、关键考查学生运算和推理能力，难度中等22.【答案】解：(1)由(2) = (2)得22 2= 22+ 2，即 =第 16 页，共 17 页22+ 222+ 2， = 2+ 222+ 2，令 = 2+ 2( 2)，则 = 2( 2)，由于函数 = 在2, + )上为增函数， =2在2, + )上为减函数， () = 2在2, + )上为增函数，= 222= 1，即 m 的最小值为 1；(2)二次函数() = 2的开口向上，对称轴为 =2，由题意，当 1,1时，|()()| 2，当2 1，即 2时，()= (1) = 1 + ，()= (1) = 1， |1 + (1)| 2，解得1 1；当1 2
23、 1，即2 2时，()= (2) =2422= 24，()= (1),(1)，又(1) = 1 + ，(1) = 1，()当1 + 1，即0 2时，()= 1 + ，则|1 + +24| 2，解得222 2 + 2 2，故 0,2 + 2 2；()当1 + 1， 即2 1时，() (1) = 0， () = (),() () 0， ()在(1, + )上无零点；当 = 1时，(1) = (1) +14=54,(1) = 0，()若54 0，即 54，则(1) = (1) = 0，则 = 1为函数()的零点；第 17 页，共 17 页()若54 54，则(1) 0，故(1) = (1) 0，则
24、= 1不是函数()的零点；当0 0，故只需研究()在(0,1)的零点个数，()若()在(0,1)上有两个零点，则= 21 00 2 0，解得1 54；()若()在(0,1)上有且仅有一个零点，则= 00 2 02 1(1) 00 2 1(1) 0，解得 = 1或 54；()若()在(0,1)上无零点， 则 02 02 1(1) 0， 解得 1综上所述，当 54时，方程() = 0有 1 个实数解【解析】(1)由题意可得 = 2+ 222+ 2，再通过换元法求解即可；(2)原问题等价于当 1,1时，|()()| 2，分类讨论即可得解；(3)方程() = 0的实数解个数即为函数 = ()的零点个数，分 1， = 1，0 1三种情况讨论即可本题考查二次函数图象与性质的综合应用问题， 涉及到与二次函数有关的复合函数值域的求解、讨论含参数二次函数的最值、二次函数在区间内零点个数的讨论等知识；本题对于学生转化与化归思想、分析和解决问题的能力有较高的要求，属于难题
