1、第 1 页，共 17 页 高二（上）期中数学试卷 高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.某单位职工老年人有 30 人，中年人有 50 人，青年人有 20 人，为了了解职工的健康状况， 分层抽样的方法从中拍取 10 人进行体检， 则应抽查的老年人的人数为()A. 3B. 5C. 2D. 12.已知向量 = (1,2)， = (,4)，且/，则 = ()A. 8B. 8C. 2D. 23.点(3,2,2 3)到原点的距离为()A. 1B. 3C. 5D. 94.甲、乙两名同学在 5 次数学考试中，成绩统计用茎叶图表示，若甲、乙两人的平均成
2、绩分别用甲、乙表示，则下列结论正确的是()A. 甲乙，且甲比乙成绩稳定B. 甲乙，且乙比甲成绩稳定C. 甲乙，且甲比乙成绩稳定D. 甲乙由茎叶图可知，甲的数据主要集中在 90 附近，所以甲比乙稳定故选：A根据茎叶图得到平均值，根据取值的分布取得甲乙的稳定性大小本题主要考查茎叶图的应用，要求掌握平均值的计算公式，比较基础5.【答案】A【解析】解：连接 AC，BD 交于点 O，则有 ， ，即 面 OCP，又/11，所以11 面 OCP，又 面 OCP，所以11 ，又直线 OP 与11所成的角为，则 = 1，故选：A先由线面垂直的判定证明11 面 OCP，再求出直线 OP 与11所成的角为2，即可得
3、解本题考查了异面直线所成角及线面垂直的判定，属中档题6.【答案】B【解析】解：A 中，/，则/或 m 与 n 是异面直线，所以 A 不正确，B 中是直线垂直面的判断的推论，所以正确，C 中若/，/，则 m 与 n，可能相交直线，可能平行直线，也可能是异面直线，所以 C 不正确，D 中若 ，且 ，如果，则与也有可能相交，所以 D 不正确故选：B主要是对线面平行或垂直的判断定理及性质定理的运用， 所以要理解记忆这些定理公理本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注第 9 页，共 17 页意定理的条件是解题的关键，属于基础题和易错题7.【答案】C【解析】解：由题意知
4、，该柱体是圆柱体，且底面圆的直径等于母线长，如图所示；设底面圆的半径为 R，则圆柱的母线长为 2R，内切球的半径也为 R，则圆柱体的表面积为1= 22+2 2 = 62，其内切球的表面积为2= 42，又1= 2，则 =12=6242=32故选：C由题意知该柱体是圆柱，且底面圆的直径等于母线长，设底面圆的半径为 R，求出圆柱的表面积和内切球的表面积，计算的值即可本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题， 也考查了旋转体的结构特征应用问题，是基础题8.【答案】B【解析】解：某公司有 3000 名员工，将这些员工编号为 1，2，3，3000，从这些员工中使用系统抽样的方法抽取 200 人进行“学
5、习强国”的问卷调查，则分段的间隔为3000200= 15， 抽到的84号是第6段的第9个， 故每段被抽到的号为15 + 9， ， = 0，1，2，3，199故选：B根据系统抽样的定义和方法，得出结论本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于基础题9.【答案】C第 10 页，共 17 页【解析】解：因为 = (2)，由正弦定理得： = (2)，所以可得：(12) = 0，因为0 0，所以 =12，又0 ，所以 =3故选：C由正弦定理化简已知等式可得(12) = 0，结合范围0 ，可得 =12，又结合0 ，即可求得 A 的值本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查10
6、.【答案】B【解析】解：因为三棱锥是一个底面是直角三角形，并且侧棱垂直底面的图形， 它可以内嵌于长方体中，A、B、C、D 四个点所在的球与长方体所在的球是同一个， 只需利用长方体计算体对角线即可得球的直径，经计算得，2 =1 + 1 + 4 =6， =62， =433=43 668=6故选：B根据题意，将该三棱锥补成长方体，即可求出球的半径本题考查球的体积，长方体内接于球的问题，使用该补形法时应严格检验该三棱锥四个点所在球是否与长方体一致，属基础题第 11 页，共 17 页11.【答案】D【解析】解：如图：| =32+ 42= 5，在 中，cos =|=25， sin =1425=215， ，
7、 sin =12|， | = 2|sin = 2 2 215=4215故选：D先由两点间的距离得|，然后在直角三角形 AOP 中计算sin，最后在小直角三角形中可得弦长一半本题考查了圆的切线方程，属中档题12.【答案】B【解析】解：设 = ， = ，则 = = + ，因为 底面 ABCD， 平面 ABCD，所以 ，因为 ， = ，所以 平面 SAE，所以 ，根据题意得 =2+ 3， =2+ 3，在 中，2+2= 2，即2+3 + 2+3 = ( + )2，整理得 = 3，在 中， =2+ 12， =2+ 3 =92+ 3，所以 =12 =1232+1082+ 45，因为32+1082 2 10
8、8 = 36，当且仅当 =6， =62时取等号，所以 1236 + 45 =92，所以 面积最小值为92，故选：B第 12 页，共 17 页设 = ， = ，则 = = + ，推导出 ， 平面 SAE， ，得 =2+ 3， =2+ 3，推导出 = 3， =2+ 12， =2+ 3 =92+ 3，从而 =12 =1232+1082+ 45，由此能求出 SED 面积的最小值本题考查空间几何体的线面关系及基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题13.【答案】12 + 3 3【解析】解：正六棱柱的高为 2，底面边长为 1，所以圆柱的底为由 6 个全
9、等的等边三角形构成则圆柱的侧面积为侧= 6 1 2 = 12，圆柱的底面积为底= 2 6 12 1 1 sin3= 3 3，所以圆柱的表面积为：表= 12 + 3 3，故答案为：12 + 3 3首先求出圆柱的侧面积和底面积，最后求出圆柱的表面积本题考查的知识要点：圆柱的侧面积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型14.【答案】30【解析】解：由图知，(0.035 + + 0.020 + 0.010 + 0.005) 10 = 1，解得 = 0.03 身高在120,130内的学生人数为100 0.03 10 = 30故答案为：30由题意，可由直方图中各个小矩
10、形的面积和为 1 求出 a 值，再求出此小矩形的面积即此组人数在样本中的频率，再乘以样本容量即可得到此组的人数本题考查频率分布直方图， 解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为 1，本题考查了识图的能力15.【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题由第 13 页，共 17 页3 = 2即正弦定理可得3 = 2，由 = 2，即可求得 b，利用余弦定理结合已知即可得解【解答】解： 3 = 2， 由正弦定理可得：3 = 2， = 2， 可解得 = 3，又 = 14， 由余弦定理可得：2= 2+ 22 = 4 + 92 2 3
11、 (14) = 16， 解得： = 4故答案为 416.【答案】102【解析】解 ： 如图，过 B 作 BE 垂直于 CD 的延长线交于点 E，连接 AE，由面面垂直的性质定理得 平面ACE，则 ，因为在 中， = 1, =3，D 是斜边 AB 的中点，则 = = 60， = 60，所以 =32， =12， =32，所以在 中由余弦定理得 =72，所以 =2+ 2=74+34=102，故答案为：102过 B 作 BE 垂直于 CD 的延长线交于点 E，连接 AE，由面面垂直的性质定理得 平面 ACE，由勾股定理可得 AB 的长本题考查了面面垂直的性质定理，属于中档题17.【答案】解：(1) =
12、 (1,1), = (1,5)，且与的夹角为，第 14 页，共 17 页 = |=4226=21313；(2) = (2,4)， + = (2, + 4)，且 = (1,5)， + 与垂直， ( + ) = 2 + 5( + 4) = 0，解得 = 112【解析】(1)可以求出 = (1,1), = (1,5)，从而根据向量夹角的余弦公式即可求出与的夹角的余弦值；(2)可以求出 + = (2, + 4)， = (1,5)，根据 + 与垂直即可得出( + ) = 0，进行数量积的坐标运算即可求出 m本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量夹角的余弦公式，向量加法、数乘和数量积的坐标运算，向
13、量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题18.【答案】(1)证明： = ， = ， 且 ，又 = ， 平面 SDB又 平面 SDB， ；(2)解 ： ， 平面 平面ABC， 平面 平面 = ， 平面SAC， 平面 ABC又 = 2 3， = 2， = 2 2， 是 SB 的中点， 到平面 ABC 的距离为 2，又 =12 2 2 3 = 2 3=13 2 3 2 =263【解析】(1)由已知证明 且 ， 由线面垂直的判定得 平面 SDB， 进一步得到 ；(2)由 ，平面 平面 ABC，利用面面垂直的性质可得 平面.求解第 15 页，共 17 页三角形得到 = 2 2， 再由N是SB的中点，
14、 得到N到平面ABC的距离， 求出三角形MBC的面积，代入棱锥体积公式可求三棱锥的体积本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题19.【答案】解：(1) + 2= ， 由正弦定理可得2= ， 0， cos2= ，即cos2= 22cos2，2 (0,2)，cos2 0， sin2=12，2=6，可得 =3(2) =7， =3， 的面积为332=12 =34， 解得 = 6，又 由余弦定理2= 2+ 22，可得7 = 2+ 2 = ( + )23 = ( + )218， 解得 + = 5， 的周长为5 +7【解析】(1)
15、由正弦定理， 三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin2=12， 结合2的范围即可求解(2)由已知利用三角形的面积公式可求解得 = 6，进而根据余弦定理可求 + = 5，即可得解 的周长本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20.【答案】证明：如图，(1)取11的中点 M，连接1，BM，由题意得/11， /，且 DM 是 111的中位线， =12 = ，所以四边形 DMBE 是平行四边形，第 16 页，共 17 页 /，又面11， 面11 /平面11(2)由题意设 = 2，则 = 2 2， =2
16、， = 1，在 中， =2+ 2=3，而 =12 =2， 中， =2+ 2=5， 中2+2= 2，由勾股定理得， ，tan =12，tan1=22=2，所以tan tan1= 1，所以 1，又 1= ， 平面1，1 平面1， 平面1【解析】(1)运用线面平行的判断及中位线的性质，(2)运用线面垂直的判断定理主要考察线面平行及线面垂直的判断定理，属于基础题21.【答案】解：(1)=15 (8.5 + 9 + 9.5 + 10 + 10.5) = 9.5，=15 (12 + 11 + 9 + 7 + 6) = 9，则 =5 = 155 = 1252=419.55 9.5 9453.755 9.52
17、= 3.2， = 9(3.2) 9.5 = 39.4， 关于 x 的线性相关方程为 = 3.2 + 39.4；(2)设定价为 x 元，则利润函数为 = (3.2 + 39.4)(5.7)，其中 5.7；则 = 3.22+57.64224.58， = 57.642 (3.2) 9(元)故为使得进入售卖时利润最大，确定单价应该定为 9 元【解析】(1)由表中数据计算与的值，则线性回归方程可求；(2)由题意写出利润函数，利用二次函数的性质求出 x 为何值时函数值最大本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，考查计算能力，是基础题22.【答案】解：(1) 圆 C 的圆心在 x 轴上，第 17 页，共 1
18、7 页 设圆心(,0)，半径为 r， 圆经过(1, 3)，( 3,1)，(1)2+ (30)2= 2(3)2+ (10)2= 2，解得 = 0， = 2 圆 C 的方程为2+ 2= 4(2) 点( 2, 2)，直线 l 平行于 OQ，= 1，设直线 l 方程 = + ，(1,1)，(2,2)联立 = + 2+ 2= 2，得，22+ 2 + 24 = 01+2= ，12=2421+2= (1+2) + 2 = ，12+21= (1+)2+(2+)1= 212+(1+2)4， + =1212+2222=(12)(22) + (22)(12)(12)(22)=2(1+ 2)2(1+ 2) + 4 + 12+ 21122(1+ 2) + 2=22() + 4 + (4)2422() + 2= 0+为定值【解析】(1)设圆心(,0)，半径为 r，因为圆经过(1, 3)，( 3,1)，所以(1)2+ (30)2= 2(3)2+ (10)2= 2，求出 a，r 即可写出方程(2)设直线 l 方程并联立圆的方程得22+2 + 24 = 0，所以1+2= ，12=242.1+2= (1+2) + 2 = ，12+21= (1+)2+(2+)1= 212+(1+2)4， +=1212+2222，化简即可得出结论本题考查圆的方程，直线和圆的相交问题及定值问题，属于中档题
