1、第 1 页，共 16 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1.在 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边，已知 = 3， = 60， =45，则边长 = ()A. 2 2B. 6C. 2 6D. 22.等比数列中，已知2= 1，36= 9，则7= ()A. 3B. 7C. 8D. 93.下列说法正确的是()A. 当 0时， +1 2B. 当 +2, 时， +1 2C. 当 2时， +1的最小值为 2D. 当0 0， 0， 0，则,2+1的最大值为_三、解答题（本大题共 5 小题，共 50.0 分）17.
2、在 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边，且2+ = 2+ 2()求证：角 B、A、C 成等差数列；()若 = 2，求 a 的最小值18.已知集合 = |27 + 6 0，集合 = |2(3 + 1) + 2( + 1) 0, 0)过点 P，求1+1的最小值20.在四棱锥中， 平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯形，/， ，且 = = 1， = 2，点 E 是线段 PD 的中点()求证：/平面 PAB；()求证：平面 平面 PCD；()当直线 PC 与平面 PAD 所成的角大小为30时，求线段 PA 的长第 5 页，共 16 页21.已知数列的前 n 项和记为，且满足 n、成等差
3、数列()求1，2的值，并证明：数列+1是等比数列；()证明：2 21+32+43+ + + 1 0时，由基本不等式可得，1+ 21= 2，当且仅当 =1即 = 1时取等号；故 A 正确；当 0时， +1 0，故 B 错误；当 2时， 由对勾函数的单调性可知， = +1在2, + )上单调递增， 故当 = 2时，函数取得最小值52，故 C 错误；当0 0时， 由基本不等式可得，1+ 21= 2， 当 0时， +1 0，当 2时，由对勾函数的单调性可知， = +1在2, + )上单调递增，当0 11,0 12 + 1, 1或2 + 1 4 11,0 12 + 1, 1或2 + 1 4 0， = 4
4、5， 90， 在旋转过程中 AC 与 BD 的夹角(钝角部分)会越来越大， 选项不可能故选：B第 10 页，共 16 页利用空间中线线、线面、面面间的位置关系直接求解本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题11.【答案】16 20192020【解析】解：数列的通项公式=1( + 1)=11 + 1，所以2=1213=16所以= 112+1213+ +1201912020= 112020=20192020故答案为：16，20192020直接利用数列的通项公式求出结果，进一步利用裂项相消法求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的应
5、用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型12.【答案】522 50【解析】解：个顶点都在同一球面上的长方体的长、宽、高分别为 3、4、5，则该球体为长方体的外接球体，设球的半径为 r，则(2)2= 32+ 42+ 52，解得 =522，故球的表面积为 = 4 2= 50故答案为：522，50直接利用长方体和外接球体之间的关系建立关系式，进一步求出半径和球的表面积本题考查的知识要点：长方体和外接球体的关系，球体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13.【答案】80 64第 11 页，共 16 页【解析】解：
6、由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为 8，斜高为 5，则此几何体的侧面积为4 12 8 5 = 80；体积 =13 8 8 5242= 64故答案为：80；64由三视图还原原几何体，可知该几何体为正四棱锥，底面边长为 8，斜高为 5，再由侧面积与体积公式求解本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题14.【答案】102【解析】解：由题 中， = 2， = 4， = 3所以由余弦定理得， =32+ 42222 3 4=78如图所示， 是 BC 的中点， = = 2， 2= 2+ 22 = 32+ 222 3 2 78=52， =102.即中线 AM
7、 的长为102故答案为：102先由余弦定理求出 cosC；再利用中点的定义和余弦定理，即可求出中线 AM 的长第 12 页，共 16 页本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于中档题15.【答案】22 或18【解析】解：两条平行直线1：3 + 4 + 1 = 0，2：6 + + = 0，则36 4 = 0，解得 = 8；所以直线1：6 + 8 + 2 = 0，2：6 + 8 + = 0；则两平行线间的距离为|2|62+ 82= 2，解得 = 22或18故答案为：22 或18根据两直线平行求出 a 的值，再根据两平行线间的距离列方程求出 b 的值本题考查了两直线平行的条件和平行线之
8、间的距离计算问题，是基础题16.【答案】 3【解析】解： 0， 0， ，则,2+1 = ,2+1，而 +2+1 +2+1= +3 2 3，可得 a，2+1最多有一个大于等于 3， ，则,2+1 = ,2+1，而 +2+1 +2+1= +3 2 3，可得 b，2+1最多有一个大于等于 3，综上，则,2+1的最大值为 3，故答案为 3由 0， 0，讨论当 时，当 时，由不等式的缩放和基本不等式可求解本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法，以及不等式的性质，是一道中档题17.【答案】()证明 ： 在 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边，且2+ =2+ 2整理得 =2+ 222=
9、12，由于0 ，第 13 页，共 16 页所以 =3，所以 + =23= 2，所以角 B、A、C 成等差数列()解：由于 =12 = 2，所以 =83，所以2= 2+ 22 2 = =83，所以2833，解得 833=26433【解析】()直接利用余弦定理的应用求出结果()利用余弦定理和基本不等式和三角形的面积公式的应用求出结果本题考查的知识要点 ： 正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用， 基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18.【答案】解：()集合 = |27 + 6 0 = |1 6，()集合 = |2(3 + 1) + 2( + 1) 0 = |
10、(2)(1) + 1，即 1时， = ( + 1,2) = (1,6)， 1 + 1 12 6，解得1 3当2 = + 1，即 = 1时， = ，符合题意，当2 + 1，即 1时， = (2, + 1) = (1,6)，2 1 + 1 6，解得12 1综上所述，a 的取值范围是12,3【解析】()由一元二次不等式的性质能求出集合 A()由集合 = |2(3 + 1) + 2( + 1) 0 = |(2)(1) 0, 0)过(1,2)，所以 + 2 = 2，即12 + = 1，1+1= (1+1)(12 + ) =32+232+2，当且仅当=2即 =2时取等号，1+1的最小值32+2【解析】联立
11、方程2 = 0 + 3 = 0可得， = 1， = 2即(1,2)，()由题意可求直线 l 的斜率 k，由点斜式方程可求；()可设直线 m 的方程为2 + 3 + = 0，然后由直线 m 过(1,2)，代入可求 C，进而可求直线方程；()由直线 + 2 = 0( 0, 0)过(1,2)，可得 +2 = 2，然后结合1+1= (1+1)(12 + )，展开后利用基本不等式即可求解本题考查了直线系方程的应用及利用基本不等式在求最值中的应用，属于中档题20.【答案】()证明：取线段 PA 的中点 F，连接 EF、BF，则/，且 = = 1，所以四边形 BCEF 是平行四边形，所以/；又平面 PAB，
12、 平面 PAB，所以/平面 PAB；()证明：由题意得， = =2，又 = 2，所以 ；又 平面 ABCD，所以 ，且 = ，所以 平面 PAC，第 15 页，共 16 页又 平面 PCD，所以平面 平面 PCD；()解：取线段 AD 中点 H，连接 CH、PH，可得 ， ，且 = ，所以 平面 PAD；所以是直线 PC 与平面 PAD 所成的角，所以 = 30；所以 = 2 = 2 = 2；又 =2，所以 =2【解析】()取线段 PA 的中点 F，连接 EF、BF，得出/，四边形 BCEF 是平行四边形，即证/，得出/平面 PAB；()由题意得出 ， ，可证 平面 PAC，从而证明平面 平面
13、PCD；()取线段 AD 中点 H，连接 CH、PH，可得 ， ，即证 平面PAD；得出是直线 PC 与平面 PAD 所成的角，从而求得 PA 的值本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题21.【答案】解：()由已知 n、成等差数列，可得2=+； 令 = 1，可得1= 1，令 = 2，可得22=2+2， ，2= 3； 21=1+(1)( 2). 得：221=+1，即= 21+1；+1 = 2(1+1)，( 2)；有1= 1，可得1+1 = 2 数列+1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列()由()+1 = 2， = 21 + 1=2 + 1121=2 22
14、+ 121= 2 +121 221+32+43+ + 1 2 + 2 + 2 + + 2 = 2 + 1=2 + 1121=2 22 + 121= 2 +121= 2 +121+ 211 2 +121第 16 页，共 16 页21+32+43+ + 1 2 + (1 +12+122+ +121) = 2 +112112= 2 + 2(112) 2 + 2 2 21+32+43+ + 1 2 + 2【解析】()先根据已知条件把 1，2 带入，即可求出前两项，再根据 n、成等差数列，得到一个新等式，两个相结合即可证明结论()根据第一问的结论得到数列的通项，对通项进行适当的放缩即可证明本题主要考查数列与不等式的综合问题，一般这类题目的难点在于放缩程度的把握，属于难题
