1、第 1 页，共 16 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.集合1,2的真子集的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.计算4163的结果为()A. 8B. 4C. 2D. 183.若集合 = | = 22， = |log2 2( 0且 1)，则函数() =log(1)的图象大致是()A. B. C. D. 6.已知全集 = ， = | 1， = |( + 2) 0的解集为(1,3)， 则()A. (4) (0) (1)B. (1) (0) (4)C. (0) (1) (4)D. (1) (4) (0)
2、8.函数 = 4+ 2 + 1+3( )的值域为()A. 2, + )B. (3, + )C. (133, + )D. 9, + )9.已知集合 = | = 2， = 0,1，2，若 ，则实数 a 的取值个数为()A. 3B. 2C. 1D. 010.偶函数()在0, + )上是减函数，且(2) = 1，则满足(24) 1的实数 x的取值范围是()A. (1,2)B. (,3)C. (1,3)D. (1,3)11.函数() = 2 + 31的零点所在的区间是()A. (0,14)B. (14,12)C. (12,34)D. (34,1)12.设函数() =2+ 1( 0)|( 0)， 若关于
3、x 的方程2()() + 2 = 0恰有 6 个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为()A. (2,2 2)B. (2 2,3)C. (3,4)D. (2 2,4)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.幂函数的图象过点(2,14)，则它的解析式是_ 14.函数() =223的单调增区间为_15.如图，函数()的图象是两条线段，其定义域为1,0) (0,1，则满足不等式|()()| 1的x的取值集合为_第 3 页，共 16 页16.若函数() = + 6, 23 + , 2( 0且 1)有最小值，则实数 a 的取值范围是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17
4、.设全集 = ，集合 = |21 1， = |245 0()求 ，() ()；()设集合 = | + 1 21，若 = ，求实数 m 的取值范围18.已知函数() = 3，() = 9(1)解方程：()8()(1) = 0；(2)令() =()() +3，证明：() + (1)为定值；求(12019) + (22019) + (32019) + + (20182019)的值19.已知函数() =log(1)，() =log( + 3)，其中0 1(1)解关于 x 的不等式：() ()；(2)若函数() = () + ()的最小值为4，求实数 a 的值第 4 页，共 16 页20.已知函数()
5、= +12(1)用单调性定义证明：函数()在(0,1)上是减函数，在(1, + )是增函数；(2)若关于 x 的方程() = 在(12,2)上有解，求实数 k 的取值范围；(3)当关于 x 的方程() = 有两个不相等的正根时，求实数 m 的取值范围21.已知函数() =3+ 3+ 1(1)当 = 0时，判断函数()的奇偶性，并给出理由；(2)若函数()为奇函数，求实数 m 的值，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若关于 x 的不等式() + () 0恒成立，求实数 a 的取值范围22.已知函数() = | + 2(1)若函数()在1,2上单调递增，求实数 m 的取值范围；(2)若函数()在
6、1,2上的最小值为 7，求实数 m 的值第 5 页，共 16 页第 6 页，共 16 页答案和解析答案和解析1.【答案】C【解析】解：因为集合为1,2，所以集合1,2的真子集有，1，2，共有 3 个故选：C根据真子集的与集合的关系写出对应的真子集即可本题主要考查集合的真子集与集合之间的关系，一般地，对于含有 n 个元素的集合，它的子集个数为2个，真子集的个数为21个2.【答案】A【解析】解：4163=1634= (24)34= 23= 8故选：A利用指数幂的运算性质即可得出本题考查了指数幂的运算性质，属于基础题3.【答案】D【解析】解： = | 2， = |0 2( 0且 1)，即12 2，必
7、有0 1，对于函数() =log(1)，其定义域为(1, + )，且在其定义域上为减函数，分析选项：C 符合；故选：C根据题意，求出 a 的取值范围，进而求出函数() =log(1)的定义域，分析其单调性，分析选项即可得答案本题考查对数函数的图象变化，注意分析 a 的取值范围，属于基础题6.【答案】B【解析】解： = |( + 2) 0 = (2,0)， = (2,1)，根据 venn 图，( ) = 1,0)，故选：B化简集合，利用 venn 图，写出集合形式，再计算即可本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础7.【答案】B【解析】【分析】本题考查二次函数
8、的图象和性质，考查函数方程的联系，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于基础题由题意可得 0的解集为(1,3)，可得 0，且1，3 为方程2+ + = 0的两根，可得1 + 3 = ，1 3 =，即 = 2， = 3，第 8 页，共 16 页() = 223， 0，可得(0) = 3，(1) = 4，(4) = 5，可得(4) (0) 0)， 函数 = 4+ 2 + 1+3( )化为() = 2+2 + 3 = ( + 1)2+2( 0)， () 3即函数 = 4+ 2 + 1+3( )的值域为(3, + )故选：B令 = 2( 0)，把原函数转化为关于 t 的一元二次函数求解本题考查利用换元
9、法及配方法求函数的值域，是基础题9.【答案】A【解析】解：由题意可得，当 0时， = ,0， = 0,1，2，若 ，则 = 1或 = 2，当 = 0时， = 0，满足条件，综上可得， = 0，1，2 共 3 个故选：A由题意可求 A， = 0,1，2，结合 ，可求本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础试题10.【答案】C【解析】解：由(24) 1，且()是偶函数，(2) = 1，得(|24|) (2)，又()在0, + )上是减函数， |24| 2，得2 24 2，即1 1的实数 x 的取值范围是(1,3)故选：C由题意可得(|24|) (2)，结合单调性得到|24| 2，然后求解绝对值
10、的不等式第 9 页，共 16 页得答案本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，考查数学转化思想方法，是基础题11.【答案】C【解析】解：由于连续函数() = 2 + 31满足(12) =32 0，且函数在区间(12,34)上单调递增， 故函数函数() = 2 + 31的零点所在的区间为(12,34).故选：C由于连续函数() = 2 + 31满足(12) 0，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题12.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知中函数的解析式，画出函数的图象，再利用数形结
11、合是解答本题的关键由已知中函数() =2+ 1( 0)|( 0)， 若关于 x 的方程2()() = 0恰有 6 个不同的实数解，我们可以根据函数()的图象分析出实数 a 的取值范围【解答】解：函数() =2+ 1( 0)|( 0)的图象如下图所示：第 10 页，共 16 页关于 x 的方程2()() + 2 = 0恰有 6 个不同的实数解，令 = ()，则方程2 + 2 = 0恰有两个不同的解，则两个解在(1,2，可得1 + 2 042 + 2 01 2 0，解得 (2 2,3)，故选：B13.【答案】 = 2【解析】解：设幂函数的解析式为 = ，已知幂函数的图象过点(2,14)，所以2=1
12、4，即 = 2，所以它的解析式为 = 2故答案为 = 2 已知函数为幂函数，求其解析式，假设解析式为 = ，幂函数图象过点(2,14)，只需把点代入解析式中，求出 m 的值即可首先明白什么是幂函数，再利用待定系数法求幂函数的解析式，是函数的基本知识14.【答案】3, + )【解析】解：由223 0，得 1或 3，所以函数()的定义域为(,1 3, + )() =223可看作由 =， = 223复合而成的，而 =单调递增，要求() =223的单调增区间，只需求 = 223的增区间即可，第 11 页，共 16 页 = 223的单调增区间为3, + )，所以函数() =223的单调增区间为3, +
13、)，故答案为：3, + )先求函数()的定义域，() =223可看作由 =， = 223复合而成的，又 =单调递增，要求() =223的单调增区间，只需求 = 223的增区间即可，注意在定义域内求本题考查复合函数的单调性及二次函数的性质，判断复合函数单调性的方法为：“同增异减”，该类问题要注意在定义域内求单调区间15.【答案】12,0) (0,12【解析】解：根据图象关于原点对称，()为奇函数，所以|()()| 1，即|2()| 1，当 0时，() 0，得() 12，可得 (0,12,根据对称性，结合上面结论，故不等式|()()| 1的 x 的取值集合为12,0) (0,12，故答案为：12,
14、0) (0,12根据图象判断函数为奇函数，原不等式变为2|()| 1，再解出即可考查绝对值不等式的解法，奇函数的应用，基础题16.【答案】(1,2【解析】解：函数() = + 6, 23 + , 2( 0且 1)有最小值， 1 2时，() (2) = 4 2时，() = 3 +log 3 +log2 4，解得：1 2( 0且 1)有最小值，可得： 1.根据： 2时，() = 3 +log 3 +log2 (2)，即可得出实数 a 的取值范围本题考查了函数的单调性、分段函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档第 12 页，共 16 页题17.【答案】解：() 全集 = ，集合 = |21
15、1 = | 1， = |245 0 = |1 5(2分) = |1 5，(3分)() () = | 1或 5(5分)() 集合 = | + 1 21， = ， ，当 = 时，21 + 1(6分)解得 2(7分)当 时，由 得 + 1 21 + 1 121 5，解得：2 3(10分)综上所述：m 的取值范围是(,3(12分)【解析】()求出集合 A，B，由此能出 ，() ()()由集合 = | + 1 21， = ，得 ，当 = 时，21 + 1，当 时，由 得 + 1 21 + 1 121 5，由此能求出 m 的取值范围本题考查交集、补集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、
16、并集集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18.【答案】解：(1)方程()8()(1) = 0，即为98 39 = 0，解得：3= 1(舍)3= 9 = 2(2)证明：因为() =33+3，所以() + (1) =33+3+3131+3=33+3+33+ 3= 1(12019) + (22019) + (32019) + + (20182019) =12 2018 = 1009【解析】(1)代入函数的解析式，转化求解方程的解即可(2)利用函数的解析式化简求解，推出结果即可利用的结论，转化求解即可本题考查函数与方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力，是中档题19
17、.【答案】解：(1)不等式即为log(1) log( + 3)， 0 + 3 0，得解为3 0解得其定义域为(3,1)， () = 22 + 3在(3,1)上单调递增，在(1,1)上单调递减， ()= (1) = 4 0 1，且()的最小值为4，log4 = 4得4= 4，所以 =414=22【解析】(1)根据对数函数的单调性及对数的真数大于 0，建立不等式，可求，(2)由() = (22 + 3)，结合复合函数的单调性可求函数单调性，然后结合单调性可求函数的最值，进而可求 a本题主要考查了对数函数的单调性及利用复合函数单调性求解函数最值， 属于函数知识的简单应用20.【答案】(1)证明，设1
18、2，(1)(2) =12+1112= (12)(12112)当0 12 1时，12 0，0 12 1，121 0，即(1) (2)， ()在(0,1)上单调递减当1 12时，12 1，121 0， (1)(2) 0，即(1) 01+ 2 012 0 0或 01 0，得： 0【解析】(1)利用函数的单调性的定义， 设0 12 (2)， 推出()在(0,1)上单调递减当1 12时，()在(1, + )上单调递增(2)求出()= (1) = 0，(12) = (2) =12，转化已知条件推出实数 k 的取值范围；(3)条件化为2(2 + ) + 1 = 0有两个不相等的正根，列出不等式组求解即可本题
19、考查了方程的根与函数的零点的关系，求单调区间和最小值，考查函数的零点的求法，属于基础题21.【答案】解：(1)当 = 0时，() =33+ 1，得(1) =34，(1) =14， (1) (1)且(1) (1)， ()为非奇非偶函数(2)法一：因为()为奇函数，所以(0) = 0，得 = 1检验：定义域为 R，() + () =311 + 3+311 + 3=311 + 3+133+ 1= 0， = 1时，函数为奇函数法二：因为()为奇函数， () = ()恒成立，3+ 1 + 3= 3+ 1 + 3，得1 + 33+ 1= 3+ 1 + 3，即( + 1)(3+1) = 0，所以 = 1(3
20、) 不等式() + () 0恒成立， ()为奇函数， () ()恒成立() =311 + 3= 121 + 3，设12，则有(1)(2) =21 + 3221 + 31=2(3132)(1 + 31)(1 + 32) 0， ()在 R 上单调递增， () 恒成立，因为21 + 3 (0,2)，所以() (1,1)，第 15 页，共 16 页 1，即 1【解析】(1)通过当 = 0时，() =33+ 1，得(1) =34，(1) =14，即可判断()为非奇非偶函数(2)法一：因为()为奇函数，所以(0) = 0，得 = 1.然后利用奇偶性的定义圆锥即可；法二：()为奇函数，() = ()恒成立，
21、然后推出 m 的值即可(3)不等式转化为 ：() ()恒成立() =311 + 3= 121 + 3，推出() 恒成立，推出() (1,1)，然后求解 a 的范围本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用单调性求函数的最值，函数恒成立条件的转化，是中档题22.【答案】解：(1)() =2 + 2, 2+ + 2, ，当 = 0时，()在1,2上递增， = 0复合题意；当 0时，如图 1 可知，()在1,2上递增， 0时，如图 2 可知，若()在1,2上递增，则2 2或1 ，得0 2时，()在(1,2)上递增，在(2,2)上递减，因为(1) = 1 + 2，(2) = 2+24，第 16 页，共 16 页当3 4时，(1) = 7得 =1 332，均舍；当2 3时，(2) = 7，得 = 2 31可取当1 2时，()= () = 2= 7， = 7，均舍综上， = 2或2 31【解析】(1)化简函数() =2 + 2, 2+ + 2, ， 通过当 = 0时，当 0时，结合函数的图象，求解实数 m 的取值范围；(2)通过当 1时，()在1,2上递增，当 4时，()在1,2上递增，当4 2时，()在(1,2)上递增，在(2,2)上递减，求出最小值，推出 m 即可本题考查利用函数与方程的应用，数形结合以及转化思想的应用，考查分类讨论思想的应用，是中档题
