1、第 1 页，共 18 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 = 0,1，2)， = |log3 1，则 = ()A. 1,2B. 0,1，2C. 0,1，2，3D. |0 + B. + C. + D. + 5.已知等差数列，1= ，3= 6，5= + 8， 若前n项和为， 且= 132，则 n 的值为()A. 9B. 10C. 11D. 126.已知直线+4= 1( 0, 0)过点(1,1)，则 + 的最小值为()A. 2B. 4C. 7D. 97.函数 = 2+ 121的部分图象大致为()第 2
2、页，共 18 页A. B. C. D. 8.定义在R上的函数()满足() = ()，() = ( + 2)， 且当 (1,0)时，() = 2+13，则(log26) = ()A. 1B. 1C. 45D. 459.已知函数() =2332, (0)成立的一个必要不充分条件是()A. 3 1B. 0 19C. 3 1D. 310.已知是第一象限角，sin(4) =35，则tan( +4) = ()A. 34B. 34C. 43D. 4311.已知角，的顶点都为坐标原点， 始边都与 x 轴的非负半轴重合， 且都为第一象限的角，终边上分别有点(1,)，(2,)，且 = 2，则1+的最小值为()A.
3、 1B. 2C. 3D. 212.已知函数() =, 02+ 2, 0，若函数 = ()(为常数)有三个零点，则实数 a 的取值范围为()第 3 页，共 18 页A. (1, + )B. (1,1)C. 1 (0,1)D. (,1) (1, + )二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.设函数() = ( 0, 1)， (,1)，() 0, 1)，_14.如图， = ()是可导函数 直线l是曲线 = ()在 = 2处的切线， 令() =()， 则(2) = _15.在 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，若 sinA、sinB、sinC 成等差数列 =35， = 2
4、，则 b 的值为_16.对于下列命题：对于实数 a，b，c，若2 2，则 2 0是 0的充分而不必要条件在(增减算法统宗中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关“则此人第二天走了九十六里路设函数()的定又域为 R，若存在常数： 0，使|()| |对一切实数工均成立、则称()为“倍约束函数，所以函数() = 2为“倍约束函数”其中所有真命题的序号是_三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.在 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，且32 = 2(1 + )(1)求证：a、b、c 成等差数列；(2)若 = 3， = 5，求 的面积第
5、4 页，共 18 页18.已知函数() = 22 +32 + 1的图象向右平移6个单位长度，所得图象对应的函数为()(1)求函数()的表达式及其周期；(2)求函数()在 0,2上的对称轴、对称中心及其单调增区间19.设数列满足：1= 1, + 1=212( )(1)证明：数列+1为等比数列，并求出的通项公式；(2)若=+log2(+1)，求数列的前 n 项和20.已知函数() = +1+，且曲线 = ()在点(1,(1)处的切线方程为2 + 1 = 0(1)求实数 a，b 的值及函数()的单调区间；(2)若关于 x 的不等式()2 32 +恒成立，求实数 m 的取值范围第 5 页，共 18 页
6、21.新能源汽车是我国汽车工业由大变强的一条必经之路！国家对其给予政策上的扶持，己成为我国的战略方针近年来，我国新能源汽车制造蓬勃发展，某著名车企自主创新，研发了一款新能源汽车，经过大数据分析获得 ： 在某种路面上，该品牌汽车的刹车距离(米)与其车速(千米/小时)满足下列关系 ： =2200+ + (,n 是常数).(行驶中的新能源汽车在刹车时由于惯性作用， 要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离).如图是根据多次对该新能源汽车的实验数据绘制的刹车距离(米)与该车的车速(千米/小时)的关系图该新能源汽车销售公司为满足市场需求，国庆期间在甲、乙两地同时展销该品牌的新能源汽车， 在甲
7、地的销售利润(单位：万元)为1= 4.10.12，在乙地的销售利润(单位：万元)为2= 2，其中 x 为销售量(单位：辆)()若该公司在两地共销售 20 辆该品牌的新能源汽车，则能获得的最大利润 L 是多少？()如果要求刹车距离不超过25.2米，求该品牌新能源汽车行驶的最大速度22.已知函数() = (为自然对数的底数)()求函数()的极值；()问：是否存在实数 a，使得()有两个相异零点？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由第 6 页，共 18 页第 7 页，共 18 页答案和解析答案和解析1.【答案】A【解析】解： = 0,1，2， = |0 0.5， =1330.3 = 3
8、(310)13 (13)12，所以 = 3(310)13 3(13)12= 33(12)= 12，即12 + 0， + ，故选：B比较 p 与12的大小，求出 q 的范围即可得到结论本题考查了指数函数幂函数的图象和性质，考查分析和解决问题的能力，属于中档题5.【答案】C【解析】解：等差数列，1= ，3= 6，5= + 8，由等差数列的通项公式得：22=1+5， 12 = + + 8解得 = 2， 等差数列的首项1= 2，公差 =6231= 2， 前 n 项和为，且= 132，= 2 +(1)2 2 = 132，解得 = 11故选：C由等差数列的通项公式得：22=1+5，解得 = 2，从而等差数
9、列的首项1= 2，公差 =6231= 2，由此能求出结果本题考查等差数列的项数 n 的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.【答案】D第 9 页，共 18 页【解析】解：由题意可知，1+4= 1， + = ( + )(1+4) = 5 +4 5 + 24= 9，当且仅当=4且1+4= 1，即 = 3， = 6时取等号，故 + 的最小值为 9故选：D把已知点代入直线方程，然后利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，属于基础题7.【答案】A【解析】解： 定义域为| 0，设() = 2+ 121， 则() = cos() 2
10、+ 121= 1 + 212= 2+ 121= ()；故函数为奇函数，图象关于原点中心对称；故舍去 C，D；当 (0,2)时， 0，2+1 0，21 0，故 0，故 A 正确故选：A先考虑定义域，| 0，四个选项都满足条件；在考虑奇偶性，() = cos() 2+ 121= 1 + 212= 2+ 121= ()；故函数为奇函数，图象关于原点中心对称；故舍去 C，D；注意到选项 A，B 中函数正负不同，可分析接近 0 时 y 的正负，可选出正确结果本题考查了函数的图象与性质，属于中档题8.【答案】B【解析】解：() = ( + 2)， = 2，2 log26 3，0 log262 (0)即(3
11、2) (2) 0，此时函数()单调递增， () 2，解得：3 (0)成立的一个必要不充分条件是：3 1故选：C(0) = 0，由(32)(2) (0)，可得(32) (2).利用导数研究函数()的单调性即可得出本题考查了函数的单调性、分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.【答案】D【解析】解：是第一象限角，sin(4) =35，则cos(4) =1sin2(4) =45， tan(4) =sin(4)cos(4)=34， tan( +4) = + 11tan=111 + tan=1tan(4)=134= 43，故选：D由题意利用同角三角函数的基本关
12、系，求得tan(4)的值，再利用tan( +4) = + 11tan=1tan(4)，计算求得结果本题主要考查两角和差的三角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题11.【答案】C【解析】解：由已知可得 = ， =2， = 2， = tan(2)， =2 21(2)2，即 =442，1+ =424+ =1+34 2134=3，当且仅当1=34，即 =233时取等号，第 11 页，共 18 页故选：C由题意可得 = tan(2)，即 =442，则1+ =1+34，利用基本不等式即可求出本题考查了基本不等式的应用和三角函数的性质，考查了计算能力和推理论证能力，属于基础题12.【答案】B【解析】解
13、： 令 =( 0)，则 =12，当 (0,)时， 0，当 (, + )时， 02+ 2, 0的图象如图，函数 = ()(为常数)有三个零点，即 = 与 = ()的图象有 3 个交点由图可知，实数 a 的取值范围为(1,1).故选：B利用导数研究函数 =的单调性，画出函数 = ()的图象，数形结合得答案本题考查函数零点与方程根的关系， 考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题13.【答案】 (,1)，() 0【解析】解：根据全称命题的否定是特称命题可知， (,1)，() 2，则2 0，可得 ，故是真命题由2 0，不能得到 0，反之，由 0，一定得到2 0，第 13 页，共 18 页
14、 2 0是 0的必要不充分条件，故是假命题设此人第 n 天走里路，则是首项为1，公比为 =12的等比数列，由等比数列前 n 项和公式得6=1(1126)112= 378， 解得1= 192， 则2= 192 12= 96， 此人第二天走了九十六里路，故是真命题() = 2，|()| = |2| |， 即| ， 不存在这样的 t 对一切实数 x 均成立， 函数() = 2不是“倍约束函数”，故是假命题 真命题的序号是故答案为：由不等式的性质判断与；利用等比数列的通项公式与前 n 项和求解判断；把() = 2代入|()| |，变形后可知不存在这样的 t 对一切实数 x 均成立，判断函数() = 2
15、不是“倍约束函数”本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，考查等比数列的通项公式与前 n 项和，是中档题17.【答案】解：(1)证明：由题设条件及正弦定理，得32= 2(1 + )，由余弦定理，得2 = 2+ 22= 322，所以( + )2= 42，所以 + = 2因此 a、b、c 成等差数数列，得证(2)因为 = 3， = 5，由(1)可得 = 7，所以 =2+ 222=9 + 25492 3 5= 12，因此 =32，所以 的面积 =12 3 5 32=1534【解析】(1)由题设条件及正弦定理，余弦定理可得 + = 2，即可证明 a、b、c 成等差数数列(2)由(1)可得
16、 c， 利用余弦定理可求 cosC 的值， 根据同角三角函数基本关系式可求 sinC的值，利用三角形的面积公式即可求解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，等差数数列的性质，同角三角函数基本关系式，第 14 页，共 18 页三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题18.【答案】解：(1)函数() = 22 +32 + 1=32 + 2 + 2= 2(2 +6) + 2，将函数()的图象向右平移6个单位长度，所得函数的图象对应的函数解析式为() = (6) = 22(6) +6 + 2 = 2(26) + 2，所以函数()的最小正周期为 =22= ；(2)因为 0,2，所以
17、26 6,56，令sin(26) = 1，得26=2，所以 =3，即为所求函数()在0,2上的对称轴；令sin(26) = 0，得26= 0，所以 =12，所以函数()在0,2上的对称中心为(12,2)；由于26 6,56，则只需26 6,2，所以 0,3所以函数()在0,2上单调增区间是0,3【解析】(1)化函数()为正弦型函数，按照函数的图象平移法则，得出()的解析式，再求它的最小正周期；(2)根据正弦函数的图象与性质，求出()在 0,2上的对称轴、对称中心和单调增区间本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题19.【答案】解：(1)证明：由1= 1, + 1=212( )，所以
18、+ 1+ 1+ 1=12+12+ 1=12( )，又1+1 = 2，所以数列+1是首项为 2，公比为12的等比数列所以+1 = 2 (12)1，即= (12)21；第 15 页，共 18 页(2)由(1)得=+2(+1) = (12)21 + 2(12)2= (12)2 + 1，所以= (12)1+0 + (12)01 + (12)12 + + (12)2 + 1= (12)1+ (12)0+ (12)1+ + (12)2+ 012( + 1) =2 1(12)112+0 + ( + 1)2= 4(12)222【解析】(1)对已知等式两边同时加 1，再由等比数列的定义和通项公式，可得所求；(2
19、)求得=+2(+1) = (12)21 + 2(12)2= (12)2 + 1，运用数列的分组求和，以及等比数列和等差数列的求和公式，计算可得所求和本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简运算能力，属于中档题20.【答案】解：(1)因为() = +1+( 0)，所以于() =12+ =2+ 12( 0)因为曲线 = ()在点(1,(1)处的切线方程为2 + 1 = 0，则有(1) = 2(1) = 3，即 + 1 = 21 + = 3解得 = 1， = 2，所以() =22+ 12=(21)( + 1)2( 0)；由() 0，得 12，所以函数 =
20、()单调递增区间是(12, + )，由() 0，得0 0)恒成立，即()2322 ( 0)恒成立，即 + 1 + 222322= +1222 + 1( 0)恒成立，令() = +1222 + 1( 0)，则只需 ()，易得() = + 1，由() = 0，得 = 1，第 16 页，共 18 页设() = + 1， 0，因为() =1+1 0，所以() = + 1在(0, + )上单调递增，即() = + 1在(0, + )上单调递增，又 (1) = 0，所以当 (0,1)时，() 0，()单调递增，所以()= (1) = 12，所以 12，即所求实数 m 的范围是(,12【解析】(1)先求出导
21、函数，再利用曲线 = ()在点(1,(1)处的切线方程为2 + 1 = 0，列出方程组即可解出 a，b 的值，从而求出函数()的单调区间；(2)把恒成立问题利用分离参数法转化为最值问题，求出()的最小值即可，利用导数分析出函数()的单调性，得出()的最小值，从而求出 m 的取值范围本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程， 以及利用导数求函数的单调区间和最值，是中档题21.【答案】解：()设公司在甲地销售该新能源品牌的汽车 x 辆，则在乙地销售该品牌的汽车20辆，且 0,20依题意，可得利润 = 4.10.12+2(20) = 0.12+2.1 + 40 = 0.1(10.5)2+51.02
22、5因为 0,20，且 ，所以，当 = 10或 = 11时，= 51即当甲地销售该新能源品牌的汽车 10 辆或 11 辆时，公司获得的总利润最大值为 51 万元()由题设条件，得402200+ 40 + = 8.4602200+ 60 + = 18.6，解得： =1100， = 0，所以 =2200+100( 0)令2200+100 25.2，即2+25040 0，解得72 70因为 0，所以0 70故该新能源汽车行驶的最大速度是 70 千米/小时第 17 页，共 18 页【解析】()设在甲地销售 x 辆， 得出总利润关于 x 的函数， 利用二次函数的性质求出最大值即可；()利用待定系数法求出
23、y 关于 x 的函数，再根据刹车距离列出不等式求出 x 的服务本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题22.【答案】解：()因为() = ，所以() = 1 0时() 0，所 时() 0时，令() = 1，得 = ， (,)时() 0，所以()在(, + )上单调递增此时，函数()有极小值() = 1 + ，无极大值()假设存在实数 a，使函数()有两个相异零点由()知： 0时，函数()在 R 上单调递减；(0) = 0，所以此时函数()仅有一个零点；0 0，2 因为(0) = 0，则由(1)可得() 0；取(2) =1+2，0 (1) = 0，而(2) =1+2 0此时，函数(
24、)在(,2)上也有一个零点所以，当 (0,1)时，函数()有两个相异零点当 = 1时， = 0，所以() (0) = 0，此时函数()仅有一个零点，当 1时 0，因(0) = 0，则由()() 1，所以()在(, + )递增，所以() (1) = 1 0，所以 ，即 0，所以函数()在(,)上也有一个零点，所以， 1时，函数()有两个相异零点第 18 页，共 18 页综上述， (0,1) (1, + )时，函数()有两个相异零点【解析】()先求导，根据参数的范围看导函数在 R 上的正负值，得原函数的单调性，进而求函数的极值()假设存在实数 a，对参数 a 看原函数有两个零点的条件，进而得 a 的范围考查对参数讨论，参数的取值范围不同，零点的个数不同，要两个零点的参数 a 的范围就讨论出来了，第二问属于比较难的题
