1、要点：要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：）极坐标中平面问题的基本方程： 平衡微分方程、几何方程、物理方程、平衡微分方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：应用： 圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。平面体等的应力与变形分析。4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程
2、4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞压力隧洞4-7 4-7 压力隧洞压力隧洞4-8 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中4-9 4-9 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力4-10 4-10 半平面体在边界上受法向分布力半平面体在边界上受法向分布力 4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程1. 极坐标中的微元体极坐标中的微元体xyOdrdrPABCrrrkrkddrr)( rddrrrrdrrrrddr
3、rd体力：体力：kkr,应力：应力：PA面面rr,PB面面r,BC面面drrrrdrrrrdrrAC面面应力正向规定：应力正向规定：正应力正应力 拉为正，压为负；拉为正，压为负；剪应力剪应力 r、的的正面正面上，与坐标方向上，与坐标方向一致一致时时为正；为正；r、的的负面负面上，与坐标方向上，与坐标方向相反相反时为正。时为正。xyOdrdrPABCrrrkrkddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd2. 平衡微分方程平衡微分方程考虑微元体平衡（取厚度为考虑微元体平衡（取厚度为1）：）：, 0rFrdrdrrdrdrr)(ddrrdrrrr)(2ddr2ddrd 0rdrdkrrdrdrd
4、rrdrdrrrdrdrdrddrrr22ddr2ddrd 2ddr0rdrdkr将上式化开：将上式化开：（高阶小量，舍去）（高阶小量，舍去）drdrrdrdrrdrdrdrd0rdrdkrxyOdrdrPABCrrrkrkddrr)( rddrrrrdrrrrdrrdrr1rrrr0rk两边同除以两边同除以 ：rdrd, 0Fdrdrdrdrddrrdrrrr)( 2ddrdrr2ddrr0rdrdk两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量：，并略去高阶小量：rdrd021krrrrrxyOdrdrPABCrrrkrkddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd, 0M2rddrr2drrd
5、r2)(drddrrdrrrr22rdddr022rdddrd2rddrdrrrddrrdrddrr2drrdr32drdr22ddrrrrddrrr23044drd 剪应力互等定理剪应力互等定理rrrddrrdrddrr2drrdr32drdr22ddrrrrddrrr23044drd两边同除以两边同除以rdrd422ddrr212222drrrdrrdrrrrrr当当 dr, d0 时，有时，有于是，极坐标下的平衡方程为：于是，极坐标下的平衡方程为：rr1rrrr0rk021krrrrr（41）方程（方程（41）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静）中包含三个未知量，而只有二个方程
6、，是一次超静定问题，需考虑变形协调条件才能求解。定问题，需考虑变形协调条件才能求解。xyOdrdrPABCrrrkrkddrr)( rddrrrrdrrrrdrrd4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程1. 几何方程几何方程dxyOrPPABdrruAB1drruurrdurr)( duurr(1) 只有径向位移，无环向只有径向位移，无环向位移位移。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：PAPAAPPAPPAAdrudrruurrrrur1r（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：01（b）线段线段PB的相对伸长：的相对伸长：PBPBBPrdrddur
7、r)(rur（c）1环向线段环向线段PB的转角：的转角：PBPPBBrduduurrr)(rur111tan（d）dxyOrPBPABdrAru1drruurrdurr)( duurr径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：rur1r（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：01（b）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：（c）rur1环向线段环向线段PB的转角：的转角：rur11（d）剪应变为：剪应变为：111rrur1（e）dyxOrPBdrAP A B uduudrruu(2) 只有环向位移，无径向位移。只有环向位移，无径向位移。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：PA
8、PAAP 0drdrdr2r（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：2drudrruu2（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：PBPBBP PBPPBB rduduuur12环向线段环向线段PB的转角：的转角：ru（h）2ru2（i）剪应变为：剪应变为：222rruru（j）径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：02r（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：ru2（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：（h）ur12环向线段环向线段PB的转角：的转角：ru2（i）剪应变为：剪应变为：222rruru（j）dyxOrPBdrAP A B uduudrruu22(3
9、) 总应变总应变21rrr0rurrur21urrur121rrrruruurr1整理得：整理得：rurrurrur1ruruurrr1（42）2. 物理方程物理方程平面应力情形：平面应力情形：)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21平面应变情形：平面应变情形：)1(12rrErrrEG)1 (21)1(12rE（43）（44）弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）rr1rrrr0rk021krrrrr几何方程：几何方程：rurrurrur1ruruurrr1（42）物理方程：物理方程：)(1rrE)(1rErrrE
10、G)1 (21（43）(平面应力情形平面应力情形)边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rsrsrkmlkmlssruur,为边界上已知位移，为边界上已知位移，kkr,为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）rrr0arr0arr0brr0brr00badr00bardrMrdrba0rrlr000r00r0qlr000r000rr00180r00180rrrra0sincos0adarrarr0cossin0adarrarr00Madaarr0 xF0yF0OM取半径为取半径为 a 的半圆分析，
11、由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）rr1rrrr0rk021krrrrr几何方程：几何方程：rurrurrur1ruruurrr1（42）物理方程：物理方程：)(1rrE)(1rErrrEG)1 (21（43）(平面应力情形平面应力情形)边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rsrsrkmlkmlssr（1）平衡方程：）平衡方程：00YyxXyxyxyyxx（2-2） （2）几何方程）几何方程：yuxvyvxuxyyx（2-
12、9） （3）物理方程：）物理方程：)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2（2-15）（4）边界条件：）边界条件：（1）（2）YlmXmlsxysysxysx)()()()(vvuuss（位移边界条件）（位移边界条件）（应力边界条件）（应力边界条件）弹性力学平面问题直角坐标下的基本方程弹性力学平面问题直角坐标下的基本方程直角坐标下按应力求解平面问题的基本步骤直角坐标下按应力求解平面问题的基本步骤（常体力情形）（常体力情形）（1）024422444yyxx(2-27)（2）xyyx,然后将然后将 代入式（代入式（2-26）求出应力分量：）求出应力分量：),(yx先由方程（先由方程（2-2
13、7）求出应力函数：）求出应力函数：),(yxYyxy22Xxyx22yxxy2(2-26)（3） 再让再让 满足满足边界条件边界条件和和位移单值条件位移单值条件（多连体问题）。（多连体问题）。xyyx,04yxxy222yx22xy(2-28)（无体力情形）（无体力情形）应力函数的求解方法：应力函数的求解方法：（1）逆解法；）逆解法； （2）半逆解法。）半逆解法。4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程（1）极坐标下应力分量）极坐标下应力分量 与应力函数与应力函数 的关系；的关系；xyyx,),(r（2）极坐标下应力函数）极坐标下应力函数 表示的相容方程的形式。
14、表示的相容方程的形式。),(r本节要点：本节要点：1. 直角坐标下应力分量与变形协调方程（相容方程）直角坐标下应力分量与变形协调方程（相容方程）应力分量的求取：应力分量的求取：由平衡微分方程（无体力情形）：由平衡微分方程（无体力情形）：00yxyxyxyyxxyxxy222yx22xy(2-28)应力相容方程的求取：应力相容方程的求取：yxxyxyyx222220)(2222yxyx0244224444yyxx由应变协调方程（相容方程）：由应变协调方程（相容方程）：将物理方程将物理方程 、平衡微分方程代入，化简得：、平衡微分方程代入，化简得：（2-22）代入应力分量式（代入应力分量式（2-28
15、） ，得：，得： 应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程(2-27)（2-25）)(1xyyE)(1yxxExyxyE)1 (2物理方程：物理方程：00YyxXyxyxyyxx平衡微分方程：平衡微分方程：22yx22xyyxxy2应力分量式：应力分量式：222224yx02222222yx 直角坐标下直角坐标下Laplace 算子算子xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：）极坐标与直角坐标间的关系：222yxrxyarctancosrx sinry cosrxxrsinryyrrryxsin2rrxycos2（2）应力分量的坐标变换：）应力分量的坐标变换：xxrrxrrsinco
16、srrsincosyyrryrrcossinrrcossin),(rxy2. 极坐标下的应力分量与极坐标下的应力分量与变形协调方程（变形协调方程（相容方程）相容方程）rrrrxsincossincos22rrrrr22222sincossin2cos22222sincossin2rrrrrrycossincossin22rrrrr22222coscossin2sin22222coscossin2rr(a)(b)xxyyrrrryxcossinsincos2rrrrrcossinsincoscossin22222222222cossinsincosrr(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函数与应
17、力的关系（由直角坐标下应力函数与应力的关系（226）：）：0220yx0220 xy020yxxyxyrr2211rrrrr1yrx,0时当0220yxrrrrrr22222sincossin2cos022222sincossin2rr22r0220 xyrrrrr22222coscossin2sin022222coscossin2rr22211rrrr020yxxyrrrr22222sincoscossin0222222cossinsincoscossinrrrrrrr122r22211rrrrrrrrrr11122（45）可以证明：式（可以证明：式（45）满足平）满足平衡方程（衡方程（41
18、）。）。说明：说明：（3）相容方程的坐标变换：）相容方程的坐标变换：极坐标下应力分量极坐标下应力分量 与应力函数与应力函数 的关系：的关系：xyyx,),(r式（式（45）仅给出）仅给出体力为零体力为零时的应力分量表达式！时的应力分量表达式！作为作业！作为作业！22222yx 直角坐标下直角坐标下Laplace 算子算子在极坐标下在极坐标下Laplace 算子的形式？算子的形式？rrrrrx2222222sincossin2cos22222sincossin2rrrrrrry2222222coscossin2sin22222coscossin2rr(a)(b)将式将式(a)与与(b)相加，得相
19、加，得2222yx2222211rrrr2222yx2222211rrrr2（3）相容方程的坐标变换：）相容方程的坐标变换：得到极坐标下的得到极坐标下的 Laplace 微分算子：微分算子：22222211rrrr极坐标下的相容方程为：极坐标下的相容方程为：01111222222222222rrrrrrrr011222222224rrrr（46）方程（方程（46）为）为常体力常体力情形的相容方程。情形的相容方程。弹性力学平面问题的极坐标求解归结为弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:小结：小结：（1） 由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数),(r01122
20、22224rrrr（46）（2） 由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：rr,22r22211rrrrrrr1（45）（3） 将上述应力分量将上述应力分量rr,满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件： ,rsruuuus应力边界条件：应力边界条件：rsrsrkmlkmlssruur,为边界上已知位移，为边界上已知位移，kkr,为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式(1) 用用极坐标极坐标下的应力分量表示下的应力分量表示直角坐标直角坐标下的应力分量下
21、的应力分量2sin2cos22rrrx2sin2cos22rrry2cos2sin2rrxy（48）rOyxrr rr rrxxyyyx(2) 用用直角坐标直角坐标下的应力分量表示下的应力分量表示极坐标下极坐标下的应力分量的应力分量2sin2cos22xyyxyxr2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyxyr（49）rOyxr r rxxyyyxxxyyyx轴对称问题：轴对称问题：)(rqO;, 022r22211rrrrrrr1(45)011222222rrrr（46）由式（由式（45）和（）和（46）得应力分量和相容方程为：）得应力分量和相容方程为：22drddrdrr10
22、r（410）应力分量：应力分量：相容方程：相容方程：01222drdrdrd011232223344drdrdrdrdrdrdrd4阶变系数的常微分方程阶变系数的常微分方程4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移DCrrBrrA22lnln（411） 轴对称问题相容方程的通解，轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D 为待定常数。为待定常数。1、应力分量、应力分量:22drddrdrr10r（410）将方程（将方程（4-11）代入应力分量表达式）代入应力分量表达式CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（412） 轴对称平面问题的轴对称平面问题的应力分
23、量表达式应力分量表达式011232223344drdrdrdrdrdrdrd对上式积分四次对上式积分四次,得通解得通解:2. 位移分量位移分量),(uur对于平面应力问题，有物理方程对于平面应力问题，有物理方程)(1rrECrBBrAE)1 (2ln)1 (2)21 ()1 (12rur)(1rECrBBrAE)1 (2ln)1 (2)3()1 (12ruurr1ruruurrr1（a）积分式（积分式（a）中第一式，有）中第一式，有rE)1 (20BrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1)()1 (2fCr （b）)(f 是任意的待定函数是任意的待定函数将式（将式（b）代
24、入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得ruCrBBrAEru)1 (2ln)1 (2)3()1 (2)(4fEBr将上式积分，得将上式积分，得:)()(41rfdfEBru（c）)(1rf 是是 r 任意函数任意函数将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第三式，得）中第三式，得01ruruurrr0)()(1)()(111rrfdfrdrrdfddfr或写成：或写成：dfddfdrrdfrrf)()()()(11要使该式成立，两边要使该式成立，两边须为同一常数。须为同一常数。Fdrrdfrrf)()(11Fdfddf)()(（d）（e）式中式中F 为常数。对其积分有：为常数。对其积分
25、有：FHrrf)(1（f）其中其中 H 为常数。对式（为常数。对式（e）两边求导）两边求导0)()(22fdfd其解为：其解为：sincos)(KIf（g）cossin)()(KIFddfFdf（h）将式（将式（f） （h）代入式（）代入式（b） （c），得），得BrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1)()1 (2fCr （b）)()(41rfdfEBru（c）cossin4KIHrEBru（4-13）sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1平面轴对称问题小结：平面轴对称问题小结：DCrrBrrA22lnln（411）
26、（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（412）（3）位移分量位移分量cossin4KIHrEBru（4-13）sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。（3）位移分量位移分量cossin4KIHrEBru（4-13）sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确
27、定。由式（由式（4-13）可以看出：）可以看出： 应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但在但在轴对称应力轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。对称的，则位移也应该是轴对称的。这这 时，物体内各点都不会时，物体内各点都不会有环向位移，即不论有环向位移，即不论 r 和和 取何值，都应有：取何值，都应有： 。0u对这种情形，有对这种情形，有0KIHB式（式（4-13）变为：）变为：0uCrrAEur)1 (2)1 (14-13（a）4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆
28、环或圆筒受均布压力1. 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力已知：已知：baqqba,求：应力分布。求：应力分布。确定应力分量的表达式：确定应力分量的表达式：CrBrAr2)ln21 (2CrBrA2)ln23(20rr（412）边界条件：边界条件：0arr0brraarrqbbrrq（a）将式（将式（4-12）代入，有：）代入，有：aqCaBaA2)ln21 (2bqCbBbA2)ln21 (2（b）aqCaBaA2)ln21 (2bqCbBbA2)ln21 (2（b）式中有三个未知常数，二个方程不能确定。式中有三个未知常数，二个方程不能确定。对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位
29、移须满足位移单值条件位移单值条件。sincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1cossin4KIHrEBru位移多值项位移多值项要使单值，须有：要使单值，须有：B = 0 ，由式（，由式（b）得）得),(2222abqqabbaA2222)(2abbqaqCba将其代回应力分量式（将其代回应力分量式（4-12），有：），有：barqbaraqabrb222222221111baqbaraqabrb222222221111（4-14）（1）若：）若：0, 0aqa,brqbq( 二向等压情况二向等压情况)（2）若：）若：)0(0abqq而arqab
30、rb112222aqabrb112222)0(（压应力）（压应力）)0(（拉应力）（拉应力）r（3）若：）若：)0( , 0baqqbrqbara222211bqbara222211)0()0(（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）r（4）若：）若：)0(aqb 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。arqabrb112222aqabrb112222arqra22aqra22rr边缘处的应力：边缘处的应力：aqaq,E,E问题：问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作作用，求圆筒的应力。用，求圆筒的应力。1. 分析：分析：与以前相比
31、较，相当于两个轴对称问题：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a) 受受内压内压 q、外压外压 p作用的厚壁圆筒；作用的厚壁圆筒；(b) 仅受仅受内压内压 p 作用的无限大弹性体。作用的无限大弹性体。确定确定压力压力 p 的两个条件：的两个条件：径向变形连续：径向变形连续：brrbrruu径向应力连续：径向应力连续：brrbrr,E,E2. 求解求解4-7 4-7 压力隧洞压力隧洞,E,E,E,E2. 求解求解(1) 圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件CrAr22CrA22应力：应力：（a）边界条件：边界条件：qarrpbrr(2) 无限大弹性体的应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界
32、条件应力：应力：CrAr22CrA22（b）边界条件：边界条件：pbrr0rr将式（将式（a）、（）、（b）代入相应的边界）代入相应的边界条件，得到如下方程：条件，得到如下方程：,E,EqCaA22pCbA22pCbA2202C4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，需由位移连续条件确定。需由位移连续条件确定。brrbrruusincos)1 (2KICrBrrBrrAEur)31 () 1(ln)1 (2)1 (1sincosKICrrAEur)11 (2)11 (12rCrAEur)11 (2)11 (12sincosKI上式也可整理为：上式也可整理为：(c)(d)sincos)2
33、1 (21KIrACrEursincos)21 (21KIrArCEur利用：利用：brrbrruusincos)21 (21KIbACbEsincos)21 (21KIbAbCE(e)要使对任意的要使对任意的 成立，须有成立，须有bACbE)21 (21bAbCE)21 (21IIKK(f)对式（对式（f）整理有，有）整理有，有00)21 (222bAbACn(g)式（式（g）中：）中：)1 ()1 (EEn将式（将式（g）与式（）与式（c）（）（d）联立求解）联立求解qCaA22pCbA22pCbA2202C(c)(d)1 ()21 (1)1 ()21 (12222nabnnrbnqr)1
34、 ()21 (1)1 ()21 (12222nabnnrbnq)1 ()21 (1)1 (22222nabnrbnqr（4-16）当当 n 1 时，应力分布时，应力分布如图所示。如图所示。,E,Err讨论：讨论：（1）压力隧洞问题为最简单的接触问题压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。（面接触）。完全接触：完全接触：接触面间既不互相脱离，也不接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为互相滑动。接触条件为应力：应力：brrbrruubrrbrrbrrbrr位移：位移：brbruu（2）非完全接触（光滑接触）非完全接触（光滑接触）应力：应力：brrbrrbrrbrruu位移：位移：接触条件
35、：接触条件：0brrbrr)1 ()21 (1)1 ()21 (12222nabnnrbnqr)1 ()21 (1)1 ()21 (12222nabnnrbnq)1 ()21 (1)1 (22222nabnrbnqr（4-16）当当 n a)，圆孔半，圆孔半径为径为 a，在无限远处受有均匀拉应力，在无限远处受有均匀拉应力 q 作作用。用。求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。),(rA 取一半径为取一半径为
36、r =b (ba），在其上取），在其上取一点一点 A 的应力：的应力：OxybAqxArrrA2sin2cos22xyyxyxr2cos22qq2cos2sin2xyyxr2sin2q原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。rrbrr新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos22qqbrr2sin2qbrr（a）问题问题12qbrr0brr2cos2qbrr2sin2qbrr（b）（c）2qrba2cos2qr2sin2qrba问题问题2将外边界条件（将外边界条件（a）分解
37、为两部分：）分解为两部分：问题问题12qrba 问题问题1的解：的解：内边界内边界0arr0arr外边界外边界2qbrr0brr（b） 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为2112222qbarar2112222qbara0r 当当 ba 时，有时，有2122qrar2122qra0r（d） 问题问题2的解：的解：rrba问题问题2（非轴对称问题）（非轴对称问题）内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos2qbrr2sin2qbrr(c)2sin2qr2cos2qr 由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数的某一函数乘以乘以 ； 为为r 的
38、某一函数乘以的某一函数乘以 。 r2cosr2sin 又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式：22211rrrrrrr1 可假设应力函数为：可假设应力函数为：2cos)(rf 将其代入相容方程：将其代入相容方程：011222222rrrr02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd0)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd 与前面类似，与前面类似，令：令：)ln(rtert或有有0)(16)(4)(4)(223344dttdfdttfddttfddttfd 该方程的特征方程：该方程
39、的特征方程：01644234特征根为：特征根为：, 41, 22, 0324方程的解为：方程的解为：tttDeCBeAetf224)(2241)(rDCBrArrf2cos)(rf2cos1224rDCBrAr2cos1224rDCBrArrrba问题问题22sin2qr2cos2qr 相应的应力分量：相应的应力分量：22211rrrr2cos)642(42rDrCB22r2cos)6212(42rDBArrrr12sin)6226(422rDrCBAr 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）, 有有内边界内边界0arr0arr外边界外边界2cos2qbrrsin2qar
40、r （e）264242qbDbCB26226422qbDbCBAb064242aDaCB06226422aDaCBAa求解求解A、B、C、D，然后，然后令令 a / b = 0，得，得rrba问题问题22sin2qr2cos2qr, 0A,4qB,2qaC 44qaD代入应力分量式（代入应力分量式（e）, 有有2cos31244raq2cos)31)(1 (22222raraqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （f）将将问题问题1和和问题问题2的解相加的解相加, 得全解：得全解：2cos312124422raqraq2cos)31)(1 (2)1 (2222222raraqr
41、aqr2sin)31)(1 (22222raraqrr （4-17）讨论：讨论： （1）沿孔边，沿孔边，r = a，环向正应力：，环向正应力：)2cos21 ( q （4-18）3q2qq0q906045300（2）沿沿 y 轴，轴， =90，环向正应力：，环向正应力：)23211 (4422raraq1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar),(rAb 齐尔西（齐尔西（G. Kirsch）解）解（3）沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力：) 123(22222raraq, ar ; q,3ar 0（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力
42、q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力：2cos3121244212221raqqraqq2cos)31)(1 (2)1 (22222212221raraqqraqqr2sin)31)(1 (2222221raraqqrr （4-19）（5）任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道
43、无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：（5）任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：qqqqqqqq 45圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结:原问题的转换：原问题的转换：问题问题12qrba2cos2qr2sin2qrba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题2cos)(rf2cos1224rDCBrAr4-9 4-9 楔形体的楔顶与楔面受力楔形体的楔顶与楔面受力xyO22MP1.
44、楔顶受有集中力楔顶受有集中力P作用作用 楔形体顶角为楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），顶，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力端受有集中力 P ，与中心线的夹角为，与中心线的夹角为，求：，求：rr（1）应力函数的确定）应力函数的确定因次分析法：因次分析法：rr,rP)N/m( :2单位)N/m( :单位rrrP由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系，22211rrrr22rrrr1可推断：可推断：)(rf （a）将其代入相容方程，以确定函数：将其代入相容方程，以确定函数：)(f011222222rrrr得：得：xyO22P0)()(2)(122443fdf
45、ddfdr0)()(2)(2244fdfddfd 4阶常系数齐次的常微分方程阶常系数齐次的常微分方程其通解为：其通解为：)sincos(sincos)(DCBAf其中其中A，B，C，D为积分常数。为积分常数。 将其代入前面的应力函数表达式：将其代入前面的应力函数表达式：)(rf)sincos(sincosDCrBrArxy)sincos(DCr （4-20）（对应于无应力状态）（对应于无应力状态）（2）应力分量的确定）应力分量的确定xyO22P22211rrrr22rrrrr1)sincos(DCr)sincos(2CDr00边界条件：边界条件：02r, 02（1） 自然满足自然满足（2）楔顶
46、的边界条件：楔顶的边界条件：abrrr任取一圆弧任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。平衡。ab:0 xF0coscos22Prdr:0yF0sinsin22Prdr （b）将式（将式（b）代入，有：）代入，有：xyO22Pabrrr0cos)cossincos(2222PdCD0sin)sincossin(2222PdCD积分得：积分得：0cos)(sinPD0sin)(sinPC可解得：可解得：sinsinPCsincosPD代入式（代入式（b）得：）得：00rr)sinsinsinsincoscos(2rPr （4-21） 密切尔（密切尔（ J. H.
47、Michell ）解答）解答两种特殊情况：两种特殊情况：P0 xyO22abrrr（1）, 000rr)sincos(2rPr,29000rr)sinsin(2rPrxyO22abrrr（2）两种情况下的应力分布：两种情况下的应力分布：应力对称分布应力对称分布应力反对称分布应力反对称分布rrP（3） , 000rr)cos(2rPrPxyOr无限大半平面体在边界无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用法线方向受集中力作用xyO22M2. 楔顶受有集中力偶楔顶受有集中力偶 M 作用作用（1）应力函数的确定）应力函数的确定rr,rM)N/m( :2单位)N( :单位rr2rM由应力函数与应力分量间
48、的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断：)(将其代入相容方程：将其代入相容方程：011222222rrrr （c）xyO22M0)(4)(122444ddddr0)(4)(2244ddddDCBA2sin2cos （4-22）（2）应力分量的确定）应力分量的确定考虑到：考虑到： 反对称载荷下，对对称结构有：反对称载荷下，对对称结构有：r为为奇函数；奇函数；r而而 则为则为偶函数。偶函数。由应力函数由应力函数 与与 关系可知，关系可知，rr应为应为奇函数。即奇函数。即0 DACB2sin22211rrrr22rrrr1将其代入应力分量表达式，得到将其代入应力分量表达式，得
49、到xyO22M22211rrrr22rrrr122sin4rB022cos2rCB （d）边界条件：边界条件：02r, 02（1） 自然满足自然满足0cos22rCBcos2BC22sin4rBr02)cos2(cos2rBr （e）xyO22Mabr（2）代入应力分量表达式（代入应力分量表达式（d）, 得：得：rr:0OM0)(22Mrrdr2)cos2(cos2rBr0)cos2(cos222MdB0)cos22(sin22MB)cos(sin2MB2)cos(sin2sin2rMr02)cos(sin)cos2(cosrMr （4-23） 英格立斯（英格立斯（C. E. Inglis）解
50、答）解答说明：说明：另外两个边界条件，一定自动满足。另外两个边界条件，一定自动满足。楔顶的边界条件：楔顶的边界条件：特殊情况：特殊情况：xyOrM2)cos(sin2sin2rMr02)cos(sin)cos2(cosrMr22sin2rMr02) 12(cosrMr 前面有关楔形体的分析结果，在楔前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力 P 和集中力偶和集中力偶 M 的原因，事实上集中的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在一小区域上的面力；另一方面，分布
