1、4 4、角平分线 （第（第2 2课时）课时）第一章第一章 三角形的证明三角形的证明北师大版八年级数学下册：北师大版八年级数学下册：1.1.掌握三角形三条角平分线的性质定理掌握三角形三条角平分线的性质定理.(.(重点重点) )2.2.会用三角形三条角平分线的性质定理解决实际问题会用三角形三条角平分线的性质定理解决实际问题.(.(难点难点) )三角形三条角平分线的性质定理三角形三条角平分线的性质定理如图如图, ,在在ABCABC中中,ABC,ABC和和BACBAC的平分线交于点的平分线交于点P.P.作作PDBCPDBC于于D,PFABD,PFAB于于F,PEACF,PEAC于于E.E.PP在在AB
2、CABC的平分线上的平分线上,PDBC,PFAB,PDBC,PFAB,PF=_.PF=_.同理同理PF=_.PD=_.PF=_.PD=_.又又PDBC,PEAC,CPPDBC,PEAC,CP平分平分_._.PDPDPEPEPEPEACBACB【总结总结】1.1.三角形三条角平分线的交点情况三角形三条角平分线的交点情况: :三角形的三条角三角形的三条角平分线相交于平分线相交于_._.2.2.三角形三条角平分线的交点性质三角形三条角平分线的交点性质: :三角形三条角平分线的交三角形三条角平分线的交点到三条边的距离点到三条边的距离_._.一点一点相等相等(1)(1)三角形三条角平分线的交点不止一个三
3、角形三条角平分线的交点不止一个. .( )( )(2)(2)三角形三条角平分线的交点可能在三角形的外部三角形三条角平分线的交点可能在三角形的外部.( ).( )(3)(3)三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等等.( ).( )(4)(4)三角形两条角平分线的夹角一定是钝角三角形两条角平分线的夹角一定是钝角. .( )( )知识点知识点 三角形三条角平分线性质定理的应用三角形三条角平分线性质定理的应用【例例】如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,A=90,A=90,AB=3,AB=3,AC=4,BC=5,ABC,ACBAC=4,
4、BC=5,ABC,ACB的平分线交于的平分线交于P P点点, ,PEBCPEBC于点于点E,E,求求BECEBECE的值的值. .【解题探究解题探究】(1)(1)如图如图, ,过过P P作作PFACPFAC于点于点F,F,作作PGABPGAB于点于点G,G,连接连接AP,AP,那么那么PG,PE,PFPG,PE,PF有什有什么关系么关系? ?为什么为什么? ?提示提示: :PG=PE=PF.PG=PE=PF.因为点因为点P P为为ABCABC角平分线的交点角平分线的交点. .(2)(2)由图形可知由图形可知S SABCABC=S=SABPABP+S+SBCPBCP+_,+_,即即 ABABAC
5、= ABAC= ABPG+ BCPG+ BCPE+ _,PE+ _,由此可得由此可得PG=PE=PF=_.PG=PE=PF=_.(3)(3)由由PGAB,PFAC,PGAB,PFAC,可得可得PGA=_=90PGA=_=90=GAF.=GAF.四边形四边形PGAFPGAF是是_,AG=_=1._,AG=_=1.BG=AB-_=_.BG=AB-_=_.(4)(4)由由HLHL可知可知BGPBGPBEP,BEP,因此因此BG=BE=_,BG=BE=_,CE=BC-BE=_,BECE=BC-BE=_,BECE=_.CE=_.12121212S SACPACPACACPFPF1 1PFAPFA矩形矩形
6、PFPFAGAG3-1=23-1=22 23 32 23=63=6【互动探究互动探究】例题中四边形例题中四边形AGPFAGPF是什么样的特殊四边形是什么样的特殊四边形, ,为什为什么么? ?提示提示: :四边形四边形AGPFAGPF是正方形是正方形. .由探究可知由探究可知AGPFAGPF是矩形是矩形, ,而而PG=PF,PG=PF,故四边形故四边形AGPFAGPF是正方形是正方形. .【总结提升总结提升】三角形三条角平分线之三角形三条角平分线之“一、二、三一、二、三”(1)(1)一个交点一个交点: :三角形三条角平分线交于一点三角形三条角平分线交于一点. .(2)(2)两条性质两条性质: :
7、交点到三条边的距离相等交点到三条边的距离相等; ;交点在三角形的内部交点在三角形的内部. .(3)(3)三类应用三类应用: :利用角平分线的性质求角的度数利用角平分线的性质求角的度数; ;利用角平分线的性质求线段的长或证明线段相等利用角平分线的性质求线段的长或证明线段相等; ;确定到三角形三边距离相等的点确定到三角形三边距离相等的点. .题组题组: :三角形三条角平分线性质定理的应用三角形三条角平分线性质定理的应用1.1.如图如图, ,已知已知ABC,ABC,求作一点求作一点P,P,使使P P到到A A的的两边的距离相等两边的距离相等, ,且且PA=PB,PA=PB,下列确定下列确定P P点的
8、方点的方法正确的是法正确的是( () )A.PA.P是是A A与与B B两角平分线的交点两角平分线的交点B.PB.P为为A A的平分线与的平分线与ABAB的垂直平分线的交点的垂直平分线的交点C.PC.P为为AC,ABAC,AB两边上的高的交点两边上的高的交点D.PD.P为为AC,ABAC,AB两边的垂直平分线的交点两边的垂直平分线的交点【解析解析】选选B.B.点点P P到到A A的两边距离相等的两边距离相等, ,则点则点P P应在应在A A的平分的平分线上线上, ,又因又因PA=PB,PA=PB,点点P P又在又在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上. .2.2.已知已知ABCABC内一点内一
9、点P,P,如果点如果点P P到到AB,ACAB,AC两边的距离相等两边的距离相等, ,则则点点P P( () )A.A.在在BCBC边的垂直平分线上边的垂直平分线上B.B.在在BCBC边的高上边的高上C.C.在在BACBAC的平分线上的平分线上D.D.在在BCBC边的中线上边的中线上【解析解析】选选C.PEAB,PFAC,PE=PF,PC.PEAB,PFAC,PE=PF,P在在BACBAC的角平分线上的角平分线上, ,3.3.若若O O为为ABCABC内一点内一点, ,且且S SOABOABSSOACOACSSOBCOBC=ABACBC,=ABACBC,则则O O点为点为( () )A.A.A
10、BCABC三条中线的交点三条中线的交点B.B.ABCABC三条高的交点三条高的交点C.C.ABCABC三边中垂线的交点三边中垂线的交点D.D.ABCABC三条内角平分线的交点三条内角平分线的交点【解析解析】选选D.D.若若O O为为ABCABC内一点内一点, ,且且S SOABOABSSOACOACSSOBCOBC= =ABACBC,ABACBC,根据三角形的面积公式得到根据三角形的面积公式得到ABCABC内一点内一点O O到三角到三角形各边的距离相等形各边的距离相等, ,即即O O点为点为ABCABC三条内角平分线的交点三条内角平分线的交点. .4.4.如图如图, ,在在ABCABC中中,B
11、M,CM,BM,CM分别平分分别平分ABCABC和和ACB,ACB,连接连接AM,AM,已知已知MBC=25MBC=25,MCA=30,MCA=30, ,则则MABMAB的度数为的度数为( () )A.25A.25 B.30 B.30 C.35 C.35 D.40 D.40【解析解析】选选C.BMC.BM平分平分ABC,MBC=25ABC,MBC=25, ,ABC=2MBC=50ABC=2MBC=50.CM.CM平分平分ACB,MCA=30ACB,MCA=30, ,ACB=2MCA=60ACB=2MCA=60,BAC=180,BAC=180-ABC-ACB=70-ABC-ACB=70. .在在
12、ABCABC中中,BM,CM,BM,CM分别平分分别平分ABCABC和和ACB,ACB,AMAM平分平分BAC,MAB= BAC=35BAC,MAB= BAC=35. .125.5.在在ABCABC中中,BO,BO平分平分ABC,COABC,CO平分平分ACB,ACB,当当A=50A=50时时,BOC=,BOC=. .【解析解析】A=50A=50,ABC+ACB=180,ABC+ACB=180-A-A=180=180-50-50=130=130, ,BOBO平分平分ABC,COABC,CO平分平分ACB,ACB,OBC= ABC,OCB= ACB,OBC= ABC,OCB= ACB,OBC+O
13、CB= (ABC+ACB)=65OBC+OCB= (ABC+ACB)=65, ,在在OBCOBC中中,BOC=180,BOC=180-(OBC+OCB)=180-(OBC+OCB)=180-65-65=115=115. .答案答案: :1151151212126.6.如图所示如图所示,BD,BD平分平分ABC,AB=BC,ABC,AB=BC,点点P P在在BDBD上上,PMAD,PNCD,M,N,PMAD,PNCD,M,N为垂足为垂足. .求证求证:PM=PN.:PM=PN.【证明证明】在在ABDABD和和CBDCBD中中, ,AB=BC,ABD=CBD,BD=BD,AB=BC,ABD=CBD,BD=BD,ABDABDCBD(SAS),ADB=CDB.CBD(SAS),ADB=CDB.又又PMAD,PNCD,PM=PN.PMAD,PNCD,PM=PN.【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图, ,已知已知D,ED,E分别是分别是ABCABC的的BC,ACBC,AC边上一点边上一点,AE=AB,DB=DE.,AE=AB,DB=DE.求证求证:AD:AD是是ABCABC的角平分线的角平分线. .提示提示: :BD,DEBD,DE不是点不是点D D到角两边的距离到角两边的距离, ,不能直接得到不能直接得到ADAD平分平分BAC.BAC.
