1、 对数学核心素养的对数学核心素养的 初步认识初步认识1 1核心素养的培养，在本质上与以人为本或以学生发展为本的理念是一致的。为了便于理解，我们可以将核心素养抽象为这样几句话：核心素养是后天习得的、与特定情境有关核心素养是后天习得的、与特定情境有关的，而不是随时随地都可以表达出来的东西的，而不是随时随地都可以表达出来的东西；是通过人的行为表现出来的，因此是可监；是通过人的行为表现出来的，因此是可监测的知识、能力和态度；涉及人与社会、人测的知识、能力和态度；涉及人与社会、人与自己、人与工具三个方面，最终要落实在与自己、人与工具三个方面，最终要落实在人即受教育者身上。人即受教育者身上。2 23 34
2、 4全面发全面发展的人展的人学会学习学会学习健康生活健康生活责任担当责任担当实践创新实践创新人文底蕴人文底蕴科学精神科学精神乐学善学乐学善学勤于反思勤于反思信息意识信息意识珍爱生命珍爱生命健全人格健全人格自我管理自我管理人文积淀人文积淀人文情怀人文情怀审美情趣审美情趣社会责任社会责任国家认同国家认同国际理解国际理解劳动意识劳动意识问题解决问题解决技术应用技术应用理性思维理性思维批判质疑批判质疑勇于探究勇于探究自主发展自主发展社会参与社会参与文化基础文化基础5 5具有数学具有数学素养的人素养的人思考自学思考自学合作交流合作交流创新实践创新实践数学抽象数学抽象 运算推理运算推理 数学模数学模型型
3、直观想直观想象象 数据分数据分析析 转化转化思想思想数学概念数学概念数学规律数学规律数学关系数学关系核心素养怎么形成？既是途径手核心素养怎么形成？既是途径手段又是目标段又是目标核心素养从哪里来？核心素养从哪里来？核心素养内涵核心素养内涵是什么？是什么？个人发展个人发展思想能力思想能力数学认知数学认知核心素养到哪里核心素养到哪里去？去？核心素养的外在核心素养的外在表现表现6 6我所理解的核心素养（独立思考）我所理解的核心素养（独立思考）以前：以以前：以“双基双基”（知识技能）为载体（知识技能）为载体发展能力发展能力以后：以以后：以“四基四基”“”“四能四能”为载体为载体培养情感态度培养情感态度价
4、值观价值观把把“以知识为导向的教学以知识为导向的教学”转变为转变为“以核心素养为导以核心素养为导向的教学向的教学”，即：从，即：从“以知识为本以知识为本” “以学生发以学生发展为本展为本”或者说：或者说：“知识核心时代知识核心时代” “素养核心素养核心时代时代”7 71. 1. 什么是数学核心素养？什么是数学核心素养？高中数学课程标准将高中阶段的数学核心素养定义为：具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力。那么，设定数学核心素养的标准又是什么呢？我们可以这样认为，数学教育的终极目标是，一个人学习数学之后，即便这个人未来从事的工作和数学无关，也应当会用数学也应当
5、会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界。数学的语言表达世界。所谓数学的眼光，本质就是抽象，抽象使得数学具有一般性；所谓数学的思维，本质就是推理，推理使得数学具有严谨性；所谓数学的语言，主要是数学模型，模型使得数学的应用具有广泛性。8 8数学教学活动应当秉承这样的基本理念数学教学活动应当秉承这样的基本理念把握数学内容的本质；创设合把握数学内容的本质；创设合适的教学情境，提出合理的问适的教学情境，提出合理的问题；启发学生独立思考，鼓励题；启发学生独立思考，鼓励学生与他人交流；让学生在掌学生与他人交流；让学生在掌握知识技能的
6、同时，感悟数学握知识技能的同时，感悟数学的本质；让学生积累数学思维的本质；让学生积累数学思维的经验，形成和发展数学核心的经验，形成和发展数学核心素养。素养。9 9教师要在学科教学中帮助学生掌握知识、提教师要在学科教学中帮助学生掌握知识、提高能力、发展素养高能力、发展素养 要形成学科核心素养是终极目标，在本质上，这样的目标不是教师短时间“教”出来的，而是学生领悟出来的，是长期经验的积累，是在一个过程中慢慢形成的。这就需要把常态教学与核心素养的培养结合把常态教学与核心素养的培养结合在一起在一起，老师们在备课时可以将核心素养的要求呈现出来。比如：在教学目标中，教师在设想过程性目标时，不仅要说“经历什
7、么”“探究什么”，还应该明确“得到什么”，比如说，形成“几何直观”素养。与此同时，教师备课不能仅局限于某一堂课，而应当把相对成逻辑体系的知识整合在一起，思考通过这些课程让学生掌握什么样的知识和能力，培养什么素养，然后再考虑每堂课怎样体现。1010如何将学科核心素养培养贯串于教学中如何将学科核心素养培养贯串于教学中1. 1. 数学抽象：让学生学会数学抽象：让学生学会“用数学的眼睛看用数学的眼睛看”2. 2. 逻辑推理：让学生学会逻辑推理：让学生学会“用数学的思维想用数学的思维想”3. 3. 数学模型：让学生学会数学模型：让学生学会“用数学的语言说用数学的语言说”1111数学抽象：让学生学会数学抽
8、象：让学生学会“用数学的眼睛看用数学的眼睛看”义务教育数学课程标准中提到的核心词，如符号意识、数感，甚至几何直观和空间想象，都可以归到数学抽象这个素养中。小学阶段通过抽象得到的是基本概念，还包括关系和法则。抽象的方法有两种：对应和内涵。对应的方法就是给研究对象起个名字，内涵的方法就是给研究对象明确定义。我建议老师们在一、二年级的教学中采用对应的方法，重在让学生感悟；以后可以逐渐采用内涵的方法，重在让学生理解.比如：启发学生理解“数是什么？数的本质是什么？表示数的关键是什么？”时，在让学生理解基本概念、关系和规律的同时，教师一定要知道这些内容涉及“符号意识”和“数感”这两个核心素养。1212逻辑
9、推理：让学生学会逻辑推理：让学生学会“用数学的思维想用数学的思维想”一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎。在数学教学中，教师可以引导学生通过归纳推理探究成因，比如：探究计算方法规定的缘由。在混合运算中，为什么要先乘除后加减？对于“3+26=3+12=18”这样的算式，可以举例说明：“操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排。问现在操场上有多少名同学？”其计算的缘由可以理解为：现在同学数=原来同学数+后来同学数=3+26，因此可以得到先乘除后加减的结论。教师可以让学生感悟，混合运算是讲两个或者两个以上的故事，先乘除后加减的规定就
10、是一个故事、一个故事地计算。教师要在引导学生逻辑推理的过程中，逐渐帮助他们建立数学的思维模式，这就是会用数学的思维想。在教学中，如果学生讨论不清楚或者教师讲不明白，那就举例说明。一个好老师的头脑中应该有很多例子，甚至能随时根据需要想出一些例子来。但所有的应用题必须是在生活中能够发生的，不能硬编。1313数学模型：让学生学会数学模型：让学生学会“用数学的语言说用数学的语言说”义务教育数学课程标准的核心词还有模型思想、数据分析观念等，这都是数学模型素养。数学模型是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识与方法构建模型、解决问题的过程。也就是说，数学模型是用数学语言讲述现实世界的故事，
11、是沟通数学与现实世界的桥梁。因此数学模型是一个核心素养。数学建模突出学生系统地运用数学知识解决实际问题的过程，因此，教师在数学教学活动中培养学生数学模型核心素养，能够帮助学生感悟数学与现实之间的关联，使其加深对数学内容的理解，逐步积累数学实践经验，进而提升应用能力，增强创新意识。1414如何在教学评价中考查学科核心素养如何在教学评价中考查学科核心素养在基于核心素养的学科教学中，评价与考核很重要，除了考查学生知识技能的获得，还要关注学生学科素养的形成。1. 1. 不强调计算速度：重思考深度、轻技巧训练不强调计算速度：重思考深度、轻技巧训练2. 2. 监测内容要指向学科核心素养：关注学生的思维监测
12、内容要指向学科核心素养：关注学生的思维品质品质3. 3. 采用满意原则：考查学生的思维过程采用满意原则：考查学生的思维过程1515不强调计算速度：重思考深度、轻技巧训练不强调计算速度：重思考深度、轻技巧训练我认为，小学数学过分强调计算速度是没有道理的，速度的训练是导致学生课业负担加重的主要原因。我们在后来的基础教育质量监测中，尝试减少题量或者是延长测试时间。素养培养是慢功夫。学校不能动辄考核教师，否则只会导致教师也要求学生拼命练习，通过反复做题训练速度，培养应试技巧。数学学习是需要思考的，教师的一项重要责任，就是要引导和引导和启发学生学会思考、敢于思考、善于思考。启发学生学会思考、敢于思考、善
13、于思考。1616监测内容要指向学科核心素养：关注学生的监测内容要指向学科核心素养：关注学生的思维品质思维品质以前的测试主要考查学生对知识点了解、理解、掌握的程度，在基础教育质量监测中，我们要求监测内容中要蕴含数学素养，比如：考查学生对概念的理解，以及学生的逻辑推理能力、运算能力、空间想象力等，尤其是要关注学生的思维品质，考查学生的思维能力。有这样一道题目。五年一班和五年二班举行跳绳比赛，每班派10人参加比赛。已经赛完9人，将派最后1名同学上场。五年一班可以在甲、乙两名同学中选出。这两名同学最近成绩是：甲（21、35、39、23、40、25）、乙（27、29、31、33、28、32），这两名同学
14、的平均分差不多，你建议让哪位同学上场比赛？理由是什么？学生的答案很有意思，城市的孩子大部分都答乙，因为乙的成绩比较稳定；但是郊区有一些孩子生活经验丰富，认为得看赛完九次之后的成绩，如果五年一班输了，那就可以让甲参加比赛，因为甲的成绩跳跃比较大，冲一冲没准这次就赢了。这时候我们发现，学生的思维能力是与生活阅历有关的。1717采用满意原则：考查学生的思维过程采用满意原则：考查学生的思维过程我们可以通过开放题来考查学生的思维过程，开放题应当采用加分原则。我曾经给小学四年级出过这样一道题：有两个居民区，中间有一条道路连接，现在要在路边建一个超市，你建议建在哪里？为什么？大部分学生答应该建在中间位置，因
15、为大家走得一样远，这样的回答有道理，可得满分；有的学生答要看居民区人的多少，应该离人多的居民区近一点，这样的回答更好了，可以多加两分；还有的学生答需调查哪个居民区去超市的人多，按比例来建，这样的回答可以再多加两分。只要学生答得更好，就可以给他加分。在这样的测试中，我们不能仅仅通过结果判断学生答案的对和错，重要的是判断学生的思维过程是否有道理，是否合乎逻辑；只要学生的思维过程与得到的结论是一致的就应该满意，这就是“满意原则”，如果答得更好或者更深度可以再加分。由于开放题的答案是不确定的，这就对我们的老师提出了更高的要求，教师不仅要能出题，还要有判断思维是否有逻辑的能力。因此，教师在日常教学中要教
16、会学生们思考问题，让学生在掌握所学知识技能的同时，积累思维的和实践的经验，形成数学核心素养。1818例子例子三角形内角和三角形内角和知识：三角形内角和是知识：三角形内角和是180180。能力：测量、剪拼、折叠能力：测量、剪拼、折叠结论；为什么？证明。结论；为什么？证明。情感态度：求真求美情感态度：求真求美真的是真的是180180吗？吗？各种各样的三角形，所有三角形的内角和都是各种各样的三角形，所有三角形的内角和都是180180？有意思！真美！有意思！真美！欣赏：三角形外角和、三线分别交于一点欣赏：三角形外角和、三线分别交于一点神奇神奇课例：课例：神奇的三角形神奇的三角形 （王开杰，（王开杰，2
17、015.112015.11期）期）引发自主探究：四边形、圆引发自主探究：四边形、圆（兴趣、学会学习）（兴趣、学会学习）1919二、主动探索、实施二、主动探索、实施实施核心素养的关键是实施核心素养的关键是把把“以知识为导向的教学以知识为导向的教学”转变为转变为“以核心素养为导向以核心素养为导向的教学的教学”“数学好玩数学好玩” 你感觉到了吗？你感觉到了吗？2020（一）好的呈现形式（一）好的呈现形式 唤醒学生的最好办法是唤醒学生的最好办法是：向他们提供有向他们提供有吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、吸引力的数学游戏、智力题、魔术、笑话、悖论、打油诗悖论、打油诗，或那些呆板的教师认为无意或那些
18、呆板的教师认为无意义而避开的其他东西。义而避开的其他东西。 美美 马丁马丁. .加德纳（加德纳（M.GardnerM.Gardner）2121几个案例：几个案例：1.1.风车转转转风车转转转；（王俊，；（王俊，2006.062006.06期）期）2.2.字母表示数（李培芳，字母表示数（李培芳，2015.042015.04期）期）3.3.神奇三角形（王开杰，神奇三角形（王开杰，2015.112015.11期）期）4.4.七桥问题（一笔画，万里春，七桥问题（一笔画，万里春，2014.032014.03期）期）5.5.2424点与角谷猜想（点与角谷猜想（数学黑洞，姚新付数学黑洞，姚新付，2009.1
19、12009.11期）期）6.6.实践性作业（荣玲，实践性作业（荣玲，2008.122008.12）2222u1.1.数学游戏数学游戏“2424点点”（比赛（比赛；车牌号），抢；车牌号），抢3030，明，明7 7暗暗7 7；幻方；幻方；3 3阶、阶、4 4阶、阶、5 5阶；欣赏（阶；欣赏（2014.2014.期）期）数独数独：规则简单，入门容易；但是难度不一，分很：规则简单，入门容易；但是难度不一，分很多级。网上有很多介绍、题目，甚至有在线软件。多级。网上有很多介绍、题目，甚至有在线软件。电脑游戏：挖地雷，俄罗斯方块电脑游戏：挖地雷，俄罗斯方块七巧板七巧板（2014.2014.期）（北师新教材一
20、下）期）（北师新教材一下）；折纸折纸（北师新教材一下，折飞机）（北师新教材一下，折飞机）魔方魔方2323u2.2.智力题智力题侦查员过桥侦查员过桥；u3.3.活泼的、多样的形式活泼的、多样的形式数学数学魔术魔术、谜语、相声、笑话、谜语、相声、笑话数学数学诗。诗。“山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾。把酒吃山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾。把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐。，酒杀尔，杀不死，乐尔乐。”（？）数学故事数学故事：第一次数学危机第一次数学危机；阿凡提分马（北师版；阿凡提分马（北师版实验教材六上）实验教材六上）哲思数学课哲思数学课深入思考深入思考P46P46快乐数学快乐数学 节（孔凡哲，节（孔凡哲， 2
21、014.062014.06期）期）2424u4.4.猜想、悖论猜想、悖论回文数与猜想回文数与猜想，数学黑洞数学黑洞猜想：哥德巴赫猜想；四色定理猜想：哥德巴赫猜想；四色定理悖论：理发师悖论悖论：理发师悖论；世界是不存在的世界是不存在的u5.5.数学数学美美比例美比例美（构图美构图美）：）：对称；对称；0.6180.618与高跟鞋，与高跟鞋，数学数学与建筑。与建筑。逻辑美、悬念美、组合美、奇异美、抽象美、简逻辑美、悬念美、组合美、奇异美、抽象美、简洁美、创新美洁美、创新美（和谐美：（和谐美：e e-i-i+1=0 ）2525u6.6.数学文化数学文化郑毓信、李铁安等专家的阐释；郑毓信、李铁安等专家
22、的阐释；张齐华、姚新付、邵汉民等的研究与实践张齐华、姚新付、邵汉民等的研究与实践 （2009.03 2009.03 、7-87-8、1111期；期；2010.042010.04期；期；2017.032017.03期期）u7.7.综合与实践综合与实践一周、一个月甚至一学期才能完成的一周、一个月甚至一学期才能完成的“长作业长作业”。 （荣玲，（荣玲，2008.122008.12期）期）；大树有多高（；大树有多高（2014.052014.05期）期）美国一二年级学生就能研究鲸鱼、写报告，我们的美国一二年级学生就能研究鲸鱼、写报告，我们的学生就不能做研究吗？这是大的问题学生就不能做研究吗？这是大的问题
23、创新！创新！2626u8.8.数学阅读数学阅读。科普类的书。科普类的书。（是否适合小学（是否适合小学生阅读？）生阅读？）27272828（二二）数学）数学自自身的魅力身的魅力1.1.数学化：数学化：情境情境数学化数学化应用应用，抽象化、数量化抽象化、数量化访谈类节目：你幸福吗？访谈类节目：你幸福吗？幸福指数（量化）；幸福指数（量化）；收入分配是否公平：基尼系数收入分配是否公平：基尼系数生活水平状况：恩格尔系数生活水平状况：恩格尔系数2929数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学是研究数量关系和空间形式的科学。这个体育场比那个体育场大。这个体育场比那个体育场大。观察（物理）观察（物理） 大多少
24、呢？大多少呢？数量化（精确度量）数量化（精确度量）“呀，这个电视塔真高啊！呀，这个电视塔真高啊！”问：问：“有多高呀？有多高呀？” 估测估测不能瞎估不能瞎估寻找参照物（标准）寻找参照物（标准）个性化标准个性化标准统一标准统一标准。数学是模式的科学。数学是模式的科学。模型的建立（模型思想）模型的建立（模型思想）加法（减法、乘法、除法）模型。加法（减法、乘法、除法）模型。 如乘法模型：几个几，倍，面积，组合。如乘法模型：几个几，倍，面积，组合。30302.2.三大特性：三大特性：（1 1）高度的抽象性：）高度的抽象性：例：减法的初步认识（刘加霞）例：减法的初步认识（刘加霞）分数的认识：一张正方形纸
25、，横着对折、竖着分数的认识：一张正方形纸，横着对折、竖着对折、斜着对折对折、斜着对折1/21/2定义另一种运算，如定义另一种运算，如 ：a a b=ab=a2 2+b+b2 2 质数与合数；分解质因数（唯一性）质数与合数；分解质因数（唯一性）3131（2 2）严密的逻辑性：）严密的逻辑性：三角形内角和（量、折、拼三角形内角和（量、折、拼证明）；计算的步证明）；计算的步骤（每一步都有根有据骤（每一步都有根有据有根据思考的习惯）有根据思考的习惯）数学的确定性。如数学的确定性。如0 0不能作除数。不能作除数。确定性的丧失：估算、估测、估计；概率。确定性的丧失：估算、估测、估计；概率。（3 3）广泛的
26、应用性：）广泛的应用性：华罗庚：华罗庚：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。”32323.3.数学思想方法：数学思想方法：基本数学思想：抽象、推理、模型、审美。基本数学思想：抽象、推理、模型、审美。由由“数学抽象的思想数学抽象的思想”派生出来的有：分类思想，集派生出来的有：分类思想，集合思想，合思想，“变中有不变变中有不变”思想，符号表示思想，对应思想，符号表示思想，对应思想，有限与无限的思想，等等。思想，有限与无限的思想，等等。由由“数学推理的思想数学推理的思想”派生出来的有：归
27、纳的思想，派生出来的有：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化演绎的思想，公理化思想，数形结合的思想，转换化归的思想，联想类比的思想，普遍联系的思想，逐步归的思想，联想类比的思想，普遍联系的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。3333由由“数学建模的思想数学建模的思想”派生出来的有：简化的思派生出来的有：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，统计的思想，等等。化的思想，随机的思想，统计的思想，等等。由由“数学审美的思想数学审美的思想
28、”派生出来的有：简洁的思派生出来的有：简洁的思想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以想，对称的思想，统一的思想，和谐的思想，以简驭繁的思想，简驭繁的思想，“透过现象看本质透过现象看本质”的思想，等的思想，等等。等。 （顾沛小学数学教学也要注重渗透（顾沛小学数学教学也要注重渗透数学思想，数学思想，2012.7-82012.7-8期）期）34344.4.数学的发展和规律：数学的发展和规律：（1 1）数域的扩充。）数域的扩充。朱乐平朱乐平教学教学“分数的初步认识分数的初步认识”：用：用1 1、2 2写算式：写算式：1+21+2，2-11-22-11-2，1 12 2。（2 2）优化）优化优胜劣汰
29、优胜劣汰。如，如，记数法记数法。9+9+几几：数小棒、扳指头数数，特殊方数小棒、扳指头数数，特殊方法（法（5+75+7），凑十法，规律法），凑十法，规律法。进位加法（乘法）进位加法（乘法）。运算律。运算律探索与发现（除法有分配律吗？）探索与发现（除法有分配律吗？）注重过程、体验。如用古罗马数字注重过程、体验。如用古罗马数字记记数数。3535（3 3）量的发展：古代量的规定的随意性）量的发展：古代量的规定的随意性小范小范围的统一（秦始皇）围的统一（秦始皇）国际上的统一国际上的统一逐步精逐步精确化：光速确化：光速原子（原子（2015.062015.06期）期）（4 4）三角形中的规律：稳定性（唯一
30、性）；三边）三角形中的规律：稳定性（唯一性）；三边关系；内角和；三线各自交于一点（高、中线、角关系；内角和；三线各自交于一点（高、中线、角平分线）平分线）；内角和与外角和都是常数；内角和与外角和都是常数（5 5）数学发展中的困惑：三次数学危机（无理数）数学发展中的困惑：三次数学危机（无理数、无穷小量、理发师悖论），尺规作图三大难题；、无穷小量、理发师悖论），尺规作图三大难题；芝诺悖论（神行太保追乌龟不及）芝诺悖论（神行太保追乌龟不及）。（6 6）数学中的奥妙：风车转转转；数学黑洞）数学中的奥妙：风车转转转；数学黑洞36365.5.其他其他（1 1）三角形分形结构三角形分形结构“科赫雪花科赫雪花
31、”。此雪花曲线的周长是无限的，而其面积是有限的此雪花曲线的周长是无限的，而其面积是有限的（为原三角形的（为原三角形的8/58/5倍）。倍）。3737（2 2）“谢尔宾斯基三角形谢尔宾斯基三角形”。在在正三角形正三角形中不断中不断挖去挖去“中心三角形中心三角形”（即以原三（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形）角形各边的中点为顶点的三角形）后后剩下的图形剩下的图形。它的神奇在于它的神奇在于：该：该三角形的面积越趋近于零，而它三角形的面积越趋近于零，而它的周长越趋近于无限大。的周长越趋近于无限大。3838（3 3）哥尼斯堡）哥尼斯堡七桥问题；七桥问题；（一笔画）（一笔画）一笔画的起源、发展及其价值
32、一笔画的起源、发展及其价值（2013.012013.01期）期）课堂教学实录：课堂教学实录：趣味与文化相融合趣味与文化相融合（万里春（万里春，2014.032014.03期）期）3939增设实践问题，更新作业模式增设实践问题，更新作业模式 一次数学作业模式改革的实验一次数学作业模式改革的实验 （荣玲，（荣玲，2008.122008.12）布置周末家庭作业：在家长陪同下，认真观察布置周末家庭作业：在家长陪同下，认真观察交叉路口的状况，寻找数学问题并进行解答。交叉路口的状况，寻找数学问题并进行解答。学生全部按时完成。学生发现的问题及解答情学生全部按时完成。学生发现的问题及解答情况与平时课堂表现大致
33、吻合，展现出的优点和况与平时课堂表现大致吻合，展现出的优点和暴露出的不足较之以往的作业更明显。暴露出的不足较之以往的作业更明显。典型作业主要有以下几种典型作业主要有以下几种: :4040作业一：松龄路的宽度为作业一：松龄路的宽度为3030米，每次绿灯的时米，每次绿灯的时间为间为5050秒，要想顺利通过马路，行人的最低速秒，要想顺利通过马路，行人的最低速度是多少？度是多少？学生的解答是：学生的解答是：303050=0.650=0.6（米（米/ /秒）。秒）。分析：分析：有有2/32/3以上的学生提出此类问题。他们以上的学生提出此类问题。他们设计的问题有机械模仿书本的痕迹，虽无创意，设计的问题有机
34、械模仿书本的痕迹，虽无创意，但亦无错误。老师只需稍加引导，将学生的思但亦无错误。老师只需稍加引导，将学生的思维打开，其综合能力将会普遍提升。维打开，其综合能力将会普遍提升。4141作业二：松龄路南侧非机动车道的宽度是作业二：松龄路南侧非机动车道的宽度是5 5米，米，机动车道的宽度是机动车道的宽度是2020米，那么松龄路上非机动米，那么松龄路上非机动车道的宽度是机动车道的几分之几？车道的宽度是机动车道的几分之几？学生的答案为学生的答案为1 12 2。分析：分析：可取之处在于，学生突破了总是围绕可取之处在于，学生突破了总是围绕“路路程、速度与时间程、速度与时间” ” 设计问题的思维定势。设计问题的
35、思维定势。 还设计了一个思维陷阱：因为非机动车道有还设计了一个思维陷阱：因为非机动车道有两条，而这一点学生在读题目时很容易忽视，以两条，而这一点学生在读题目时很容易忽视，以致得出致得出5 520=1/420=1/4的错误答案。然而，两条非机的错误答案。然而，两条非机动车道的宽度相同吗？题目中并未给出，这是该动车道的宽度相同吗？题目中并未给出，这是该生思维不严密之处。生思维不严密之处。4242作业三：每当绿灯变成红灯前都要闪烁两次。每次作业三：每当绿灯变成红灯前都要闪烁两次。每次闪烁间隔闪烁间隔1 1秒，马路的宽度是秒，马路的宽度是3030米，市区限速是米，市区限速是3030千千米米/ /小时。
36、当汽车在绿灯开始闪烁时到达路口，司机小时。当汽车在绿灯开始闪烁时到达路口，司机是否应当停车？是否应当停车？答：应当停车。因为汽车要在两秒内通过答：应当停车。因为汽车要在两秒内通过3030米宽的米宽的路口，速度最小为路口，速度最小为30302=15(2=15(米米/ /秒秒) )，即，即5454千米千米/ /小时。小时。54305430，因此不停车就必然会超速。，因此不停车就必然会超速。分析：分析：本题设计得丝丝入扣、条理清晰。更为难得本题设计得丝丝入扣、条理清晰。更为难得的是：学生能将这道信息量丰富的题目用精练的语的是：学生能将这道信息量丰富的题目用精练的语言描述出来。言描述出来。 从题目的构
37、思可知，该生在设计时倾从题目的构思可知，该生在设计时倾注了不少心血。如注了不少心血。如“闪烁两次闪烁两次”的时间究竟是多少，不的时间究竟是多少，不能凭空设想，而是要做调查，无形中增加了设计的难度。能凭空设想，而是要做调查，无形中增加了设计的难度。4343作业四：松龄路的宽度是作业四：松龄路的宽度是3030米，一位老奶奶要在米，一位老奶奶要在十字路口处通过松龄路。十字路口处通过松龄路。（1 1）老奶奶步行的速度是）老奶奶步行的速度是0.50.5米米/ /秒，绿灯的时间是秒，绿灯的时间是5050秒，老奶奶能否顺利通过路口秒，老奶奶能否顺利通过路口（2 2）如果有人扶老奶奶过马路，速度最小应当是）如
38、果有人扶老奶奶过马路，速度最小应当是多少？多少？（3 3）如果你遇到老奶奶过马路的情况，会选择以）如果你遇到老奶奶过马路的情况，会选择以怎样的方式帮老奶奶通过路口？怎样的方式帮老奶奶通过路口？4444答：（答：（1 1）50500.5=250.5=25（米），（米），25302530，因此老奶，因此老奶奶自己不能顺利通过马路。（奶自己不能顺利通过马路。（2 2）要想扶老奶奶顺）要想扶老奶奶顺利通过马路，速度最小为利通过马路，速度最小为303050=0.650=0.6（米（米/ /秒）。秒）。（3 3）选择帮老奶奶通过路口的方式，该生想法很）选择帮老奶奶通过路口的方式，该生想法很有趣，他说，可以
39、背老奶奶过去或者用车推老奶有趣，他说，可以背老奶奶过去或者用车推老奶奶过去，因为这两种方式都比扶老奶奶过马路的奶过去，因为这两种方式都比扶老奶奶过马路的速度快。速度快。分析：分析：独到之处在于：将尊老爱幼的传统美德独到之处在于：将尊老爱幼的传统美德融于题目之中；最后一问是开放性问题，既打融于题目之中；最后一问是开放性问题，既打破了数学问题的思维方式，又提高了题目检测的破了数学问题的思维方式，又提高了题目检测的范围。范围。4545作业五：松龄路和文化路的宽度均为作业五：松龄路和文化路的宽度均为3030米，南北米，南北和东西走向的红绿灯时间始终都是和东西走向的红绿灯时间始终都是5050秒，你认为秒
40、，你认为这种设计方式合理吗？如果合理，说明你的理由；这种设计方式合理吗？如果合理，说明你的理由；如果不合理，请说出你的理由和设计方案。如果不合理，请说出你的理由和设计方案。答：不合理。原因是两条路的宽度相同不代表车答：不合理。原因是两条路的宽度相同不代表车流量相同。该生认为红绿灯时间的长短应根据车流量相同。该生认为红绿灯时间的长短应根据车流量而不是路面宽度来设计。他通过观察发现，流量而不是路面宽度来设计。他通过观察发现，松龄路的车流量明显要高于文化路。松龄路的车流量明显要高于文化路。4646车流量大小也和时间段有关，一般上下班高峰期车流量大小也和时间段有关，一般上下班高峰期车流量较大，其余时间
41、较小。但红绿灯全天都按车流量较大，其余时间较小。但红绿灯全天都按5050秒的间隔交替变换，所以不合理。秒的间隔交替变换，所以不合理。该生认为：设置红绿灯的时间间隔应事先进行统该生认为：设置红绿灯的时间间隔应事先进行统计，根据统计结果分别对两条路的红绿灯程序按计，根据统计结果分别对两条路的红绿灯程序按时间段进行设置。时间段进行设置。分析：分析：可取之处在于，跳出了数学题就是进行数可取之处在于，跳出了数学题就是进行数学运算的思维定势，将数学的运算与运筹、抽象学运算的思维定势，将数学的运算与运筹、抽象与具体统一起来，并且将统计分析、统筹安排、与具体统一起来，并且将统计分析、统筹安排、规划设计等数学观
42、念与具体实际结合起来。尽管规划设计等数学观念与具体实际结合起来。尽管学生的认识还比较浅显，但仍不失为一次飞跃。学生的认识还比较浅显，但仍不失为一次飞跃。4747总结：总结：通过以上展示的学生作业来看，我认为本次实通过以上展示的学生作业来看，我认为本次实验总体上是成功的。验总体上是成功的。学生通过实际考察设计的问题，比老师在课堂学生通过实际考察设计的问题，比老师在课堂上根据教学需要而设计的问题更加丰富多彩。上根据教学需要而设计的问题更加丰富多彩。学生在思维、知识、能力等方面都表现的淋漓学生在思维、知识、能力等方面都表现的淋漓尽致，教师能比较全面地把握学生的共性及个尽致，教师能比较全面地把握学生的
43、共性及个性，方便在教学中因材施教和因势利导。性，方便在教学中因材施教和因势利导。家长的参与既有美中不足之处，也有无心插柳家长的参与既有美中不足之处，也有无心插柳之得。之得。4848出于安全考虑，我让家长陪同。因此，作业中出于安全考虑，我让家长陪同。因此，作业中未出现一例学生设计问题带有认知错误的情况，未出现一例学生设计问题带有认知错误的情况，这与学生的真实情况不符。这与学生的真实情况不符。作业中的闪光之处不可避免地出现了家长指导作业中的闪光之处不可避免地出现了家长指导的痕迹，或多或少超出了学生的实际能力。的痕迹，或多或少超出了学生的实际能力。值得欣慰的是，通过事后和学生交流，学生的值得欣慰的是
44、，通过事后和学生交流，学生的不足之处大部分得以纠正，闪光之处也被逐步不足之处大部分得以纠正，闪光之处也被逐步内化吸收，学生的实践能力和数学素养都得以内化吸收，学生的实践能力和数学素养都得以全面提升。全面提升。 【返回返回】4949一次不期而遇的一次不期而遇的探究探究（王俊，王俊，2006.062006.06期）期）学习三位数加减法，学生经常抄错数。于是，用心编学习三位数加减法，学生经常抄错数。于是，用心编了了“471-174+417471-174+417”，放在一组练习题之首。，放在一组练习题之首。 没想到，这道题的结果是没想到，这道题的结果是714714！想寻个究竟，但转念一想：为什么不把探
45、究的机会让想寻个究竟，但转念一想：为什么不把探究的机会让给学生呢？这不是一个绝佳的教学资源吗？给学生呢？这不是一个绝佳的教学资源吗？一、特征的发现一、特征的发现师：这道题有趣在哪里？师：这道题有趣在哪里？师：谁来给这种题目起个名字？师：谁来给这种题目起个名字？生：就叫它生：就叫它“风车转转转风车转转转”吧。吧。5050师：师：“在数学王国里，像这样的在数学王国里，像这样的风车转转转风车转转转的算式的算式还有哪些呢？王老师给大家三天的时间，看谁能写出这还有哪些呢？王老师给大家三天的时间，看谁能写出这样的算式。样的算式。” 二、算例的搜举二、算例的搜举学生马上行动，甚至放弃课间玩耍时间。半天不到，
46、一学生马上行动，甚至放弃课间玩耍时间。半天不到，一大堆算式：大堆算式：624-426+264=462 321-213+123=231624-426+264=462 321-213+123=231876-768+678=786 735-537+375=573876-768+678=786 735-537+375=573915-519+195=591 915-519+195=591 每发现一个算式，学生都是一次欢呼雀跃，那种激动与每发现一个算式，学生都是一次欢呼雀跃，那种激动与快乐绝不亚于哥伦布发现新大陆。快乐绝不亚于哥伦布发现新大陆。5151感到惊喜的同时（我也不知共有多少个这样的算式），感到惊
47、喜的同时（我也不知共有多少个这样的算式），还有还有“阴谋阴谋”得逞的窃喜得逞的窃喜这些小家伙，平时多练几道题，他们总是一副无辜受难这些小家伙，平时多练几道题，他们总是一副无辜受难的样子，现在好了，一个个都抢着做题了。要知道，他的样子，现在好了，一个个都抢着做题了。要知道，他们要找到一个正确的们要找到一个正确的“风车转转转风车转转转”，那得做多少道计，那得做多少道计算题呀？算题呀？其实很多时候，教师只要转换一下思维方式，就可以让其实很多时候，教师只要转换一下思维方式，就可以让学生把消极被动的学习变成积极主动的学习学生把消极被动的学习变成积极主动的学习 。三、规律的总结三、规律的总结三天后，一共汇
48、报了近三天后，一共汇报了近2020道算式。道算式。继续引导：那么多的算式，到底有没有内在的规律？除继续引导：那么多的算式，到底有没有内在的规律？除了这些算式，还有没有其他的算式？怎样利用规律找全了这些算式，还有没有其他的算式？怎样利用规律找全所有的算式呢？所有的算式呢？ 5252为了鼓励探究积极性，设立了为了鼓励探究积极性，设立了“探索荣誉奖探索荣誉奖”；由于；由于问题有难度，建议自由组成合作小组课外探究问题有难度，建议自由组成合作小组课外探究 。没想到，他们还真的总结出规律，而且还是本质规律没想到，他们还真的总结出规律，而且还是本质规律三个数字是等差关系，公差是三个数字是等差关系，公差是1
49、1、2 2、3 3、4 4的三个的三个数字都可以组成数字都可以组成“风车转转转风车转转转”的算式。的算式。 当学生为拿到当学生为拿到“探索荣誉奖探索荣誉奖”而欢欣鼓舞时，又提出而欢欣鼓舞时，又提出下一个探索目标：为什么会有这样的规律呢？有没有下一个探索目标：为什么会有这样的规律呢？有没有不符合这个规律的算式呢？不符合这个规律的算式呢？于是，孩子们又开始了下一轮的探索于是，孩子们又开始了下一轮的探索 【返回返回】5353随便想一个自然数（非0），如果它是偶数，把它除以2；如果它是奇数，把它先乘3再加1。按照这样的方法一直算下去。计算过程结果一定是？5454邀你阅读邀你阅读5555猜想5656一起
50、来算一起来算2424点吧！点吧！一次快乐的班级数学活动一次快乐的班级数学活动（姚新付姚新付）一一、必答题、必答题1.1.比谁算的题数多比谁算的题数多。对象：全班。时间：对象：全班。时间：5 5分钟。分钟。形式：笔试，每题只需写一种方法，综合式、分步形式：笔试，每题只需写一种方法，综合式、分步列式均可。共列式均可。共1010题，依次是（题，依次是（6 6 6 66 6 6 6）（）（2 5 6 102 5 6 10）（2 3 9 92 3 9 9）（）（5 6 J Q5 6 J Q）（）（4 5 6 74 5 6 7）（）（5 5 5 55 5 5 5）（）（4 5 4 5 7 K7 K）（）（
