1、1可编辑2可编辑1. 气体分子的速率分布律气体分子的速率分布律一、速率分布函数一、速率分布函数分子速率分布图分子速率分布图)/(vNNovvvvSN：分子总数：分子总数分子速率分布图分子速率分布图3可编辑N 为速率在为速率在 区间的分子数区间的分子数. vvv表示速率在表示速率在 区间的分区间的分子数占总数的百分比子数占总数的百分比 .NSN vvvvvvvvvdd1lim1lim)(00NNNNNNf分布函数分布函数v)(vfovvv dSd 表示在温度为表示在温度为 的平衡的平衡状态下，速率在状态下，速率在 附近单位附近单位速率区间速率区间 的分子数占总数的的分子数占总数的百分比百分比 .
2、v物理意义物理意义T4可编辑 表示速率在表示速率在 区间的分子数占总分子数的区间的分子数占总分子数的百分比百分比 .d vvv0d( )d1NNfN0vv 归一化归一化条件条件v)(vfo1vS2vSfNNdd)(dvv速率位于速率位于 内分子数内分子数d vvvd( )dNNfvv5可编辑 速率位于速率位于 区间的分子数区间的分子数12vv21( )dNN fvvvv2112()( )dNSfN vvvvv v速率位于速率位于 区间的分子数占总数的百分比区间的分子数占总数的百分比12vv二、麦克斯韦速率分布函数二、麦克斯韦速率分布函数23222( ) 4()e2mkTmfkTvvv麦氏麦氏分
3、布函数分布函数23 222d4()ed2mkTNmNkTvvv6可编辑 反映理想气体在热动反映理想气体在热动平衡条件下，各速率区间平衡条件下，各速率区间分子数占总分子数的百分分子数占总分子数的百分比的规律比的规律 .vvNddNf)(v)(vfo三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值三、用麦克斯韦速率分布函数求平均值 三种统计速率三种统计速率v)(vfopvmaxfpv（1）最概然速率最概然速率pd ( )0dfv vvv7可编辑 根据分布函数求得根据分布函数求得p21.41kTkTmmvAA,MmNRN kMRT41. 1pv 气体在一定温度下分布在最概然气体在一定温度下分布在最概然速率速率 附
4、近单位速率间隔内的相对附近单位速率间隔内的相对分子数最多分子数最多 .pv物理意义物理意义2）平均速率）平均速率v1122ddddnniiNNNNNvvvvv8可编辑 00d( )dNNNfNNvvvvv08( )dkTfmvvvvMRTmkT60. 160. 1vv)(vfo3）方均根速率）方均根速率2v22200d( )dNNNfNNvvvvvmkT32v9可编辑 2pvvv2rms33kTRTmMvv1.601.60kTRTmMvp22k TR TmMvp2kTmv8kTmv23kTmv10可编辑 N2 分子在不同温分子在不同温度下的速率分布度下的速率分布KT30011pv2pvKT12
5、002v)(vfo 同一温度下不同同一温度下不同气体的速率分布气体的速率分布2H2O0pvpHvv)(vfo11可编辑12可编辑13可编辑14可编辑15可编辑 麦克斯韦速率分布中最概然速率麦克斯韦速率分布中最概然速率 的概念的概念 下面哪种表述正确？下面哪种表述正确？（A） 是气体分子中大部分分子所具有的速率是气体分子中大部分分子所具有的速率.（B） 是速率最大的速度值是速率最大的速度值.（C） 是麦克斯韦速率分布函数的最大值是麦克斯韦速率分布函数的最大值.（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大率最大.pvpvpvpv讨论讨论16可编辑 1
6、H0.002kg molM1O0.032kg molM118.31J KmolR300KT 例例 计算在计算在 时，氢气和氧气分子的方均时，氢气和氧气分子的方均根速率根速率 .rmsv27 Crms3RTMv31rms1.9310 m sv氢气分子氢气分子1rms483m sv氧气分子氧气分子17可编辑 例例 已知分子数已知分子数 ，分子质量，分子质量 ，分布函数，分布函数 求求 1） 速率在速率在 间的分子数；间的分子数； 2）速率）速率在在 间所有分子动能之和间所有分子动能之和 . pvv( )f vNmpvvv d)(dNfN 速率在速率在 间的分子数间的分子数d vvvp21( )d2
7、mNfvvvv2）p()dN fvvvv1）18可编辑 例例 如图示两条如图示两条 曲线分别表示氢气和曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线，氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图从图上数据求出氢气和氧气的最可几速率上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .( )f vv)(vf1sm/v2000op22p22(H )(O )324(O )(H )2mmvvp2kTmv22(H )(O )mmp2p2(H )(O )vvp2(H )2000m/svp2(O )500m/sv19可编辑( n为分子数密度为分子数密度)说明下列各量的物理意义：说明下列各量的物理意义：1. ( )
8、f v dv2.( )Nf v dv3.( )nf v dv214.( )vvf v dv215.( )vvNf v dv06.( )f v dv207.( )v f v dv20可编辑 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数占速率区间内的分子数占总分子数的比率。总分子数的比率。 分布在速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。 单位体积内分子速率分布在速率单位体积内分子速率分布在速率 v 附近附近 v v + dv 速率区间内的分子数。速率区间内的分子数。1. ( )dNf v dvN2.( )Nf v dvdN
9、3.( )N dNdNnf v dvVNVNdvdNvf )(21可编辑2211()()4.( )vN vvN vdNf v dvN 分布在有限速率区间分布在有限速率区间v1 v2 内的分子数占总分内的分子数占总分子数的比率。子数的比率。2211()()5.( )vN vvN vNf v dvdN 分布在有限速率区间分布在有限速率区间 v1 v2 内的分子数。内的分子数。06.( )1f v dv 分布在分布在 0 速率区间速率区间内的分子数占总分子数的比率。内的分子数占总分子数的比率。（ 归一化条件）归一化条件）2207.( )v f v dvv v2 的平均值。的平均值。22可编辑四、麦克
10、斯韦速度分布律四、麦克斯韦速度分布律设总分子数设总分子数N，速度分量区间，速度分量区间 vx vx+dvx ，该速度分量区间内分子数该速度分量区间内分子数 dNvxdNvxN= g(vx)dvx速度分量分布函数速度分量分布函数g(vx)=m2 kT1/2e -m v /2kT2x同理对同理对 y、z 分量分量 g(vx)dvx=1 + - ,xyz 23可编辑 区间区间 v v + dv ，分子数，分子数dNv速度在区间速度在区间 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvzdNvN= g( v ) dv =g(vx) g(vy) g(vz) dvx dvydvzg( v
11、 )=m2 kT3/2 e - m v /2kT2平均速度平均速度 vixNiN = vxdNvx/N = vx g(vx)dvx = 0+ - vx =同理对同理对 y、z 分量，故平均速度为零分量，故平均速度为零24可编辑 222()3 22( )()2xyzmvvvkTmg vekT麦克斯韦麦克斯韦速度速度分布函数分布函数xvzvyvovdv24dwv dv222()3 22( )()2xyzmvvvkTxyzdNg v dwNmedv dv dvkT25可编辑 五、误差函数五、误差函数212200()2xxxmkTmNNekT21220()2xxmkTxmNedkT0 xx讨论如何计算
12、速度的 分量介于 到某一给定值范围内的分子数xx0分量26可编辑1212()2()2xxmxkTmkT1212kTmxdxd 122xdxkTddxm211220022xxxmkTNNedxkTm220022( )2xxxxNNedxedxNerf x27可编辑六、统计规律性和涨落现象六、统计规律性和涨落现象什么是统计规律性什么是统计规律性(statistical regularity) 大量偶然性大量偶然性从从整体上整体上所体现出来的所体现出来的必然性必然性例例. 扔硬币扔硬币对于由大量分子组成的热力学系统从微观对于由大量分子组成的热力学系统从微观上加以研究时，必须用统计的方法上加以研究时，
13、必须用统计的方法 .统计规律性统计规律性28可编辑从入口投入小球从入口投入小球与钉碰撞与钉碰撞落入狭槽落入狭槽为清楚起见为清楚起见 , 从正面来从正面来观察。观察。( 偶然偶然 )隔板隔板铁钉铁钉29可编辑 大量偶然事件整体所遵大量偶然事件整体所遵循的规律循的规律 统计规律。统计规律。再投入小球：再投入小球： 经一定段时间后经一定段时间后 , 大量小大量小球落入狭槽。球落入狭槽。分布情况：分布情况：中间多，两边少。中间多，两边少。重复几次重复几次 ，结果相似。，结果相似。 单个小球运动是随机的单个小球运动是随机的 ,大量小球运动分布是确定的。大量小球运动分布是确定的。小球数按空间小球数按空间位
14、置位置 分布曲线分布曲线30可编辑 统计的基本概念统计的基本概念1. 概率概率 如果如果N次试验中出现次试验中出现A事件的次数为事件的次数为NA,当当N时，比值时，比值NA/N称为出现称为出现A事件的事件的概率概率。( )limANNP AN概率的性质概率的性质:(1) 概率取值域为概率取值域为0( )1P A 统计规律特点统计规律特点: （1）只对大量偶然的事件才有意义）只对大量偶然的事件才有意义. （2）它是不同于个体规律的整体规律）它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变量变到质变). (3) 大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。 31可编辑(2) 各
15、种可能发生的事件的概率总和等于各种可能发生的事件的概率总和等于1.()1AiiiiiNP AN几率归一化条件几率归一化条件(3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和二互斥事件的概率等于分事件概率之和()( )( )P ABP AP B(4) 二相容事件的概率等于分事件概率之积二相容事件的概率等于分事件概率之积( , )( ) ( )P A BP A P B2022-5-153233可编辑2. 概率分布函数概率分布函数随机变量随机变量在一定条件下在一定条件下, 变量以确定的概率变量以确定的概率取各种不相同的值。取各种不相同的值。1. 离散型随机变量离散型随机变量取值有限、分立取值有限、分立表示方
16、式表示方式 SSPPP2121 10(1,2, )1SiiiPiSP有2. 连续型随机变量连续型随机变量取值无限、连续取值无限、连续34可编辑随机变量随机变量X的的概率密度概率密度( )( )dP xxdx变量取值在变量取值在xx+dx间间隔内的概率隔内的概率概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。( )1x dx又称为又称为概率分布函数概率分布函数（简称（简称分布函数分布函数）。）。()X35可编辑3. 统计平均值统计平均值算术平均值为算术平均值为iiiiiNNNN统计平均值为统计平均值为limlim()iiNiiNiiNNNNP对于离散型对于
17、离散型随机变量随机变量 随机变量的统计平均值等于一切可能状态随机变量的统计平均值等于一切可能状态的概率与其相应的取值的概率与其相应的取值 乘积的总和。乘积的总和。i对于连续型随机变量对于连续型随机变量 统计平均值为统计平均值为( )xxx dx36可编辑“涨落涨落”现现象象-测量值与统计值之间总有偏离测量值与统计值之间总有偏离 处在平衡态的系统的宏观量，如压强处在平衡态的系统的宏观量，如压强P，不随，不随时间改变，时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，壁的情况完全一样， 分子数越多，涨落就越小。分子数越多，涨落就越小。布朗运动是可观测的涨
18、落现象之一。布朗运动是可观测的涨落现象之一。涨落现象涨落现象37可编辑2 1/2() 1NNN 可以证明可以证明 在粒子数可自由出入的某空间范围内的粒在粒子数可自由出入的某空间范围内的粒子数的相对涨落反比于系统中粒子数子数的相对涨落反比于系统中粒子数N的平方根。的平方根。粒子数越少，涨落现象越明显。粒子数越少，涨落现象越明显。应用：应用：小镜子的小角度小镜子的小角度振荡振荡涨落电流的涨落电流的热噪声热噪声38可编辑2. 用分子射线实验验证用分子射线实验验证麦克斯韦速度分布律麦克斯韦速度分布律实验装置实验装置lHg金属蒸汽金属蒸汽显示屏显示屏狭狭缝缝接抽气泵接抽气泵llvv2测定气体分子速率分布
19、的实验测定气体分子速率分布的实验39可编辑兰媚尔实兰媚尔实验验（装置置于真空之中）（装置置于真空之中）实验装置实验装置淀积屏淀积屏P速率筛速率筛SWW狭缝屏狭缝屏分子源分子源 40可编辑41可编辑奥地利物理学家奥地利物理学家 玻耳茨曼玻耳茨曼（1844-1906）玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布42可编辑若气体分子处于恒定的若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中外力场（如重力场）中气体分子在空间位气体分子在空间位置不再呈均匀分布置不再呈均匀分布?气体分子分布规律如何气体分子分布规律如何一一 、 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律3. 玻尔兹曼分布律玻尔兹曼分布律 重力重力场中微粒按高度的分布场中微粒按高度
20、的分布43可编辑如气体分子处于外力场中，分子能量如气体分子处于外力场中，分子能量 E = Ep+ Ek分子势能分子势能在麦克斯韦速度分布律中，在麦克斯韦速度分布律中，kTmve22 因子因子kTEke 分子动能分子动能理想气体分子理想气体分子仅有动能仅有动能麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数麦克斯韦速度分布可以看作是无外场中分子数按能量的分布按能量的分布222()3 22()2xyzmvvvkTxyzdNmedv dv dvNkT44可编辑玻尔兹曼将麦氏分布推广为：玻尔兹曼将麦氏分布推广为： 在温度为在温度为T的平衡态下，任何系统的微观粒子的平衡态下，任何系统的微观粒子（经典粒子）按能量
21、分布都与（经典粒子）按能量分布都与 成正比。成正比。kTEe kTEe 玻尔兹曼因子玻尔兹曼因子经典粒子按能量的分布函数为：经典粒子按能量的分布函数为：kTECeEf )(麦克斯韦麦克斯韦玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布（MB分布）分布）45可编辑外力场中，粒子分布不仅按速率区外力场中，粒子分布不仅按速率区vv+dv间分布，间分布，还应按位置区间还应按位置区间xx+dx、 yy+dy、 zz+dz分布分布该区间内的粒子数为：该区间内的粒子数为：E kTxyzdNCedv dv dv dxdydz玻尔兹曼玻尔兹曼分布律分布律能量越低的粒子出现的概率越大，能量越低的粒子出现的概率越大，随着能量升高，粒子出
22、现的概率按指数率减小。随着能量升高，粒子出现的概率按指数率减小。对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：对速度区间积分可得分布在位置区间的分子数为：222() 2pxyzEkTm vvvkTxyzdNCedxdydzedv dv dv+ 46可编辑1pEkTdNC edxdydzn则分子数密度则分子数密度pEkTdNnC edxdydz0pEkTnn e粒子数按势能分布粒子数按势能分布0,0nCEp 时时为势能等于零处的分子数密度为势能等于零处的分子数密度222() 2pxyzEkTm vvvkTxyzdNCedxdydzedv dv dv+ 47可编辑 按近代理论，粒子所具有的能量在有些
23、情况下只按近代理论，粒子所具有的能量在有些情况下只能取一系列分立值能取一系列分立值E1 ,E2 ,Ei ,EN 能级能级kTEiieAN 处于处于Ei状态状态的粒子数的粒子数常数常数对于两个任意能级对于两个任意能级kTEEeNN)(2121 1212,EENN如果则在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。在正常状态下，粒子总是优先占据低能级状态。粒子数分布服从玻尔兹曼分布粒子数分布服从玻尔兹曼分布48可编辑为准确描述为准确描述玻耳兹曼统计玻耳兹曼统计，引入一概念，引入一概念 - 微观状态微观状态微观状态：微观状态：一气体分子处于一气体分子处于速度区间速度区间 vx vx+dvx ， vy v
24、y+dvy ，vz vz+dvz ，位置区间位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dz，称该，称该 分子处于一种微观状态分子处于一种微观状态, dvx dvy dvz dxdydz 所所 定的区域称为定的区域称为状态区间状态区间。 49可编辑 玻耳兹曼统计：玻耳兹曼统计：温度温度T 的平衡状态下，任何系统的的平衡状态下，任何系统的 微观粒子按状态的分布，即在某一微观粒子按状态的分布，即在某一 状态区间的粒子数与该状态区间的粒子数与该 状态区间的状态区间的 一个粒子的能量一个粒子的能量 E有关，而且与有关，而且与 e -E /kT 成正比。成正比。玻耳兹曼因子玻耳兹曼因子其它情形，如原子
25、其它情形，如原子处于不同能级的处于不同能级的原子数目原子数目E0E3E2E1 ni e -E /kTi50可编辑二、重力场中粒子按高度的分布二、重力场中粒子按高度的分布Ek =21m（vx2+ vy2+ vz2）代入上式，归一化代入上式，归一化分子数分子数 dN 处于位置区间处于位置区间 x x+dx，y y+dy，z z+dzdN e -E /kT dx dy dz pdNdx dy dz=C e -E /kT p令令 Ep =0 处处 气体密度气体密度 n0 重力场中的气体分子按位置分布重力场中的气体分子按位置分布dN e -（E +E ） /kT dvx dvy dvz dx dy dz
26、 k p51可编辑0pEkTnn epEmgh0mgh kTnn e由气体状态方程由气体状态方程PnkT00,Pn kT0mgh kTPPe0mgh kTnn e重力场中粒子按高度的分布规律重力场中粒子按高度的分布规律式中式中P0为为n=0处的大气压强，处的大气压强，P为为h处的大气压强，处的大气压强，m是大气分子质量。是大气分子质量。52可编辑大气密度和压强随高度增加按指数规律减小大气密度和压强随高度增加按指数规律减小（高空空气稀薄，气压低）（高空空气稀薄，气压低）0mgh kTPPe0mgh kTnn emolAAMmNkNR0molMghRTPPe两边取对数两边取对数0lnmolPRTh
27、MgP测知地面和高空处的压强与温度，测知地面和高空处的压强与温度，可估算所在高空离地面的高度。可估算所在高空离地面的高度。0mgh kTPPe恒温气压公式恒温气压公式53可编辑 恒温气压公式（高度计）恒温气压公式（高度计）设温度不随高度变化设温度不随高度变化 P = P0 e - gh /RT根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化，根据压强变化测高度，实际温度也随高度变化，测大气温度有一定的范围，是近似测量。测大气温度有一定的范围，是近似测量。54可编辑例例 氢原子基态能级氢原子基态能级E1=-13.6eV，第一激发态能级，第一激发态能级E2=-3.4eV，求出在室温，求出在室温T=270C
28、时原子处于第一激时原子处于第一激发态与基态的数目比。发态与基态的数目比。解：解：211623()2110.2 1.6 101.38 10300394.2101.58 10EEkTNeNee在室温下，氢原子几乎都处于基态。在室温下，氢原子几乎都处于基态。55可编辑4. 能量按自由度均分定理能量按自由度均分定理一、自由度一、自由度2kt11322niimkTXv222213xyzvvvv22211112222xyzmmmkTvvvyzxo单原子分子平均能量单原子分子平均能量kT21356可编辑刚刚性性双双原子分子原子分子 平均平动动能平均平动动能222kt111222CxCyCzmmmvvv分子平
29、均转动动能分子平均转动动能22kr1122yzJJ57可编辑非刚非刚性性双双原子分子原子分子1m2m*Cyzxktkr分子平均能量分子平均能量221122vCxkxv分子平均振动能量分子平均振动能量ktkrv非刚性分子平均能量非刚性分子平均能量 自由度自由度 分子能量中独立的速度和坐标的二次分子能量中独立的速度和坐标的二次方项数目叫做分子能量自由度的数目方项数目叫做分子能量自由度的数目, 简称自由度简称自由度，用符号用符号 表示表示.n58可编辑ntrv 自由度数目自由度数目 平动平动 转动转动 振动振动单单原子分子原子分子 3 0 3双双原子分子原子分子 3 2 5多多原子分子原子分子 3
30、3 6刚性刚性分子能量自由度分子能量自由度trn分子分子自由度自由度平动平动转动转动总总59可编辑60可编辑61可编辑二、能量均分定理（玻尔兹曼假设）二、能量均分定理（玻尔兹曼假设）气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平气体处于平衡态时，分子任何一个自由度的平均能量都相等，均为均能量都相等，均为 ，这就是，这就是能量按自由能量按自由度均分定理度均分定理 .12kT 分子的平均能量分子的平均能量kTi2三、三、理想气体的内能和摩尔热容量理想气体的内能和摩尔热容量 理想气体的内能理想气体的内能 ：分子动能和分子内原子间的势能之和分子动能和分子内原子间的势能之和 . RTiNE2A 1 mol 理想气体的内能理想气体的内能 ：62可编辑 理想气体的内能理想气体的内能molmM2m iERTMdd2m iER TM 理想气体内能变化理想气体内能变化 ,m2ViCR ,m22piCR ,m,m2pVCiiC 定体摩尔热容定体摩尔热容 定压摩尔热容定压摩尔热容 摩尔热容比摩尔热容比2022-5-1563
