1、教师教师: : 崔冉冉崔冉冉河南工业大学理学院河南工业大学理学院教材：教材：概率论与数理统计第三版王松桂 等编 科学出版社参考书：参考书：1.1.概率论与数理统计浙江大学 盛骤等 编高等教育出版社2. 概率论与数理统计魏振军 编中国统计出版社序序序序序序 言言言言言言概率论是研究什么的？ 人们所观察到的现象大体上分成两类：人们所观察到的现象大体上分成两类： 1.1.确定性现象或必然现象确定性现象或必然现象 事前可以预知结果的：事前可以预知结果的：即在某些确即在某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生，或根据它过去的状态，完全可以预知其将来的或根据
2、它过去的状态，完全可以预知其将来的发展状态。发展状态。 2.2.偶然性现象或随机现象偶然性现象或随机现象 事前不能预知结果：事前不能预知结果：即在相同的即在相同的条件下重复进行试验时，每次所得到的结果未条件下重复进行试验时，每次所得到的结果未必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯必相同，或即使知道它过去的状态，也不能肯定它将来的状态。定它将来的状态。 概率论起源概率论起源 概率统计是一门古老的学科，它起源于十七世纪资本主义上升的初期。物质生活的丰富，人们开始重视精神娱乐。在桥牌活动中，经常要判断某种花色在对方手中的分配；在掷色子中，要判断哪点出现的次数最多。概率论与数理统计正是从研究这类问题
3、开始的。 尽管发展较早，但形成一门严谨的学科是在本世纪三十年代，前苏联数学家柯尔莫奇洛夫给出了概率的公理化定义后，才得以迅速发展。随着计算机的问世，六十年代后，形成了许多新的统计分支：时间序列分析，统计推断等等。目前它几乎遍及所有的学科技术领域。 第一章第一章 随机事件随机事件 1.1 1.1基本概念基本概念1.1.1 1.1.1 随机试验与事件随机试验与事件1.1.2 1.1.2 随机事件及其运算随机事件及其运算 1.1.1 1.1.1 随机试验与事件随机试验与事件随机试验（试验）的特点：随机试验（试验）的特点：1.1.可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行； 2.2.每次试验之前无
4、法确定具体是哪种结果出每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果。现，但能确定所有的可能结果。 试验常用试验常用“E E”表示表示 E E1 1: : 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; ;E E2 2 ：工商管理部门抽查产品是否合格；：工商管理部门抽查产品是否合格；E E3 3: : 观察某城市某个月内交通事故发生的次数观察某城市某个月内交通事故发生的次数; ;E E4 4 ：已知物体长度在：已知物体长度在a a和和b b之间，测量其长度；之间，测量其长度；E E5 5: : 对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验, ,观察其使用寿命观察其使用寿命;
5、 ;E E6 6: : 对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验, ,观察其使用寿命是否小观察其使用寿命是否小 于于200200小时。小时。（随机）试验的例子（随机）试验的例子样本空间样本空间：试验的试验的所有可能结果所组成所有可能结果所组成的集合称为样本空间。记为：的集合称为样本空间。记为：样本点样本点: : 试验的单个结果或样本空间试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。的单元素称为样本点。 E E1 1: : 掷一颗骰子，观察所掷的点数是几掷一颗骰子，观察所掷的点数是几; ;E E2 2 ：工商管理部门抽查产品是否合格；：工商管理部门抽查产品是否合格； 合格品，不合格品合格品，不合格品 E
6、E3 3: : 观察某市某月内交通事故发生的次数观察某市某月内交通事故发生的次数; ;E E4 4 ：物体长度在物体长度在a a和和b b之间，测量其长度；之间，测量其长度；E E5 5: : 对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验, ,观察其使用寿命观察其使用寿命; ;E E6 6: : 对某只灯泡做试验对某只灯泡做试验, ,观察其使用寿命是否小观察其使用寿命是否小 于于200200小时。小时。 小于小于200200小时，不小于小时，不小于200200小时小时 （随机）试验的例子11, 2,., 62 30,1, 2,.4 ;l alb5 ;0t t6随机事件随机事件：样本空间的任意一个样本空间的
7、任意一个子集子集称为随机事件称为随机事件, , 简称简称“事件事件”. .记作记作A A、B B、C C。 任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集. .基本事件基本事件：一个随机事件只含有一个试验结果。：一个随机事件只含有一个试验结果。事件事件A A发生发生当且仅当试验的结果是子集当且仅当试验的结果是子集A A中的元素。中的元素。两个特殊事件两个特殊事件: : 1.1. 必然事件必然事件 ：样本空间包含了所有的样本：样本空间包含了所有的样本点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发生。生。2.2. 不可能事件不可能事件
8、 ：不包含任何的样本点，也是样本：不包含任何的样本点，也是样本空间的一个子集，在每次试验中总不发生。空间的一个子集，在每次试验中总不发生。注意注意：样本点和基本事件的区别。：样本点和基本事件的区别。 解：解： 为基本事件为基本事件 例例1.1.1 1.1.1 掷一颗色子，用掷一颗色子，用 表示所掷点数。表示所掷点数。B B表示表示“偶数点偶数点”，C C表示表示“奇数奇数点点”，D D表示表示“四点或四点以上四点或四点以上”。 写出样本空间，指出哪些是基本事件，写出样本空间，指出哪些是基本事件，表示表示B B，C C，D D。,1,.,6iAii1, 2,., 6 ,1,.,6iAii2,4,
9、6B 1,3,5C 4,5,6D 1.1.21.1.2、事件的关系与运算、事件的关系与运算 既然事件是一个集合，因此有关既然事件是一个集合，因此有关事件间的关系、运算及运算规则也就按事件间的关系、运算及运算规则也就按集合间的关系、运算及运算规则来处理集合间的关系、运算及运算规则来处理。 是试验是试验E E的样本空间，的样本空间，A A，B B，C C 是事是事件件1.1.包含关系：包含关系：“ “ 事件事件 A A发生必有事件发生必有事件B B发发生生”记为记为 A A B B，称，称 A A包含于包含于B B。 A AB B A A B B且且B B A.A.推广：推广：n n个事件个事件A
10、 A1 1, A, A2 2, A, An n至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作iniA13.3.积事件积事件: :事件事件A A与事件与事件B B同时发生，记作同时发生，记作 A A B BABAB A A和和B B的公共部分的公共部分推广：推广：n n个事件个事件A A1 1, A, A2 2, A, An n同时发生，记作同时发生，记作 A A1 1A A2 2AAn n 互互斥的事件（也称互不相容事件）：斥的事件（也称互不相容事件）： 即事件即事件A A与事件与事件B B不可能同时发生。不可能同时发生。ABAB 4.4.差事件差事件 ：A AB B称为称为A A与与B B的差事件
11、的差事件, ,表示事件表示事件A A发发 生而事件生而事件B B不发生不发生A A去除去除A A和和B B的公共部分的公共部分 互逆的互逆的事件事件： A A B B , , 且且ABAB BABAAAB易见的对立事件，称为记作;注意注意：对立一定互斥，互斥不一定对立：对立一定互斥，互斥不一定对立事件的运算事件的运算1 1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2 2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC)3 3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC)4 4、对偶、对偶(De Morgan)(De Morgan)律律： .,kkkkkkkk
12、AAAABAABBABA可推广例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A A、B B、C C的的运算关系表示下列事件：运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA某人向目标射击，某人向目标射击，以以A A表示事件表示事件“命中目标命中目标”，P P（A A）= =？考虑事件在一次试
13、验中发生可能性的大小的数考虑事件在一次试验中发生可能性的大小的数字度量字度量概率。概率。 1.2 1.2 事件的概率事件的概率定义定义1.2.11.2.1 在相同条件下，事件在相同条件下，事件A A在在n n次重复试验次重复试验中中发生发生m m次，则次，则称称比值比值m/nm/n称为事件称为事件A A在在n n次试验次试验中中发生发生的的频率频率，记为，记为f fn n(A).(A). 1.2.1 1.2.1 事件的频率事件的频率 频率的性质：频率的性质： (1) 1) 非负性；非负性； 0 0 f fn n(A) (A) 1 1； (2) (2) 规范性：规范性： f fn n( )( )
14、1 1； f fn n( ( )=0 )=0 (3) (3) 可加性：若可加性：若ABAB ，则则 f fn n(A(A B)B) f fn n(A) (A) f fn n(B).(B).注意注意：称为：称为“n n次试验发生的频率次试验发生的频率”，是因为随着，是因为随着n n的取值不的取值不同，同， f fn n(A)(A)的值有可能不同。的值有可能不同。历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实验者实验者 n nn nH H f fn n(H)(H)De Morgan 2048 1061 De Morgan 2048 1061 0.51810.5181 Bu
15、ffon 4040 2048 Buffon 4040 2048 0.50690.5069K. Pearson 12000 5981 K. Pearson 12000 5981 0.49840.4984K. Pearson 24000 12012 K. Pearson 24000 12012 0.50050.5005 从表中不难发现从表中不难发现：事件：事件A A在在n n次试验中发生的频率次试验中发生的频率具有随机波动性。当具有随机波动性。当n n较小时，波动的幅度较大；当较小时，波动的幅度较大；当n n较较大时，波动的幅度较大；最后随着大时，波动的幅度较大；最后随着n n的逐渐增大，频率的逐
16、渐增大，频率f fn n(A)(A)逐渐稳定于固定值逐渐稳定于固定值0.5.0.5. 实践证明实践证明：当试验次数：当试验次数n n增大时，增大时， f fn n(A) (A) 逐渐逐渐 趋向一个稳定值趋向一个稳定值。可将此稳定值记作可将此稳定值记作P(A)P(A)，作为，作为事件事件A A的概率。的概率。 但是在一定条件下做重复试验，其结果但是在一定条件下做重复试验，其结果可能不同；并且没有必要，不可能对每个事件都可能不同；并且没有必要，不可能对每个事件都做大量的试验，从中得到频率的稳定值。做大量的试验，从中得到频率的稳定值。 我们从频率的性质出发，给出度量事件我们从频率的性质出发，给出度量
17、事件发生的可能性大小的量发生的可能性大小的量概率概率的定义及性质。的定义及性质。1.2.2. 1.2.2. 概率的公理化定义概率的公理化定义 定义定义1.2.21.2.2 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A，定义一个实数P(A)与之对应，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性： P(A) 0；(2) 规范性： P()1； (3) 可列可加性：若事件A1，A2，, 两两互斥，即AiAj，(ij), i , j1, 2, , 有 P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率概率。概率的性质：概率的性质：(1) P()=0 ； (2) 有限可加性有限可加性：
18、设事件A1，A2，An 两两斥，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有 P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An); (3) 互补性互补性：P(A)1 P(A);(4)单调不减性单调不减性：若事件 ，则 P(B-A)=P(B)-P(A) ，P(B)P(A)注意注意：一般情况下，：一般情况下， P(B-A)=P(B)-P(AB) AB(5) 加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；(6) 可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P( )P(AB ) . AB
19、某市有甲某市有甲, ,乙乙, ,丙三种报纸丙三种报纸, ,订每种报纸的人数订每种报纸的人数分别占全体市民人数的分别占全体市民人数的30%,30%,其中有其中有10%10%的人同的人同时定甲时定甲, ,乙两种报纸乙两种报纸. .没有人同时订甲乙或乙没有人同时订甲乙或乙丙报纸丙报纸. .求从该市任选一人求从该市任选一人, ,他至少订有一种他至少订有一种报纸的概率报纸的概率. .%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解: :设设A,B,CA,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲, ,乙乙, ,丙丙报报例例 在在1 1
20、1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解: :设设A=A=取到的数能被取到的数能被2 2整除整除;B=B=取到的数能被取到的数能被3 3整除整除 21)(AP103)(BP故故)()()()() 1 (ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPA
21、PBAP52若某试验若某试验E E满足：满足：1.1.有限性：样本空间有限性：样本空间 2.2.等可能性：等可能性：则称则称E E为古典概型也叫为古典概型也叫等可能等可能概型。概型。1.3 1.3 古典概型古典概型,.,21n)(.)()(21nPPP 古典概型中的概率的求法古典概型中的概率的求法:试验E的结果有有限种：样本点是有限个: 1 1，, n n = 1 1 2 2 n n i i 是基本事件，且各自发生的概率相等。于是，有 1=P()=P( 1=P()=P( 1 1 2 2 n n) =P( =P( 1 1)+P()+P( 2 2 )+P()+P( n n) = =n n P(P(
22、 i i), ), i i=1,2,=1,2,n n。从而， P(P( i i)= 1/n)= 1/n，i i=1,2,=1,2,n n. . 因此，若事件因此，若事件A A 包含包含 k k 个基本事件，即个基本事件，即,21kiiiA则则.)()(1基本事件总数中包含基本事件数AnkPAPkrir例例1 1: : 掷色子两次，求两次之和为掷色子两次，求两次之和为7 7的概率。的概率。解：解： = (1,1),(1,2),(1,6) (2,1), , (6,6)A=(1,6),(6,1),(2,5)(5,2),(3,4),(4,3)61( )366kP An古典概型的两类基本问题古典概型的两
23、类基本问题乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法。（也可推广到分若干步）加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。（也可推广到若干途径）这两公式的思想贯穿着整个概率问题的求解。复习：排列与组合的基本概念复习：排列与组合的基本概念1 1、抽取问题、抽取问题 例例2 2：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。 求A=抽到两只甲类三极管的概率，按下列三种方案抽取三极管两只：(1).随机抽两只；(2).无放回抽两只；(3).有放回抽两
24、只。 解解： 222464262(1), ( )5CknCkCP AnC4 32(2)6 5,4 3, ( )6 55knkP An4 44(3)6 6,4 4, ( )6 69knkP An 例例3 3：有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。不放回抽两只。求下列事件的概率：B=抽到两只同类, C=至少抽到一只甲类,D=抽到两只不同类。解：解：B=甲甲 乙乙（两种情况互斥）C=乙乙的补事件，D是B的补事件， 2 1114( )116 51515P C 例例4 4 有外观相同的三极管6只，按电流放大系数分类，4只属甲类，2只属乙类。有放回抽5次，求E=恰有2次抽到甲
25、的概率。解：解： ,65n2224425 Ck3225)62()64()(CnkEP延伸到一般：延伸到一般：设设N N件产品中有件产品中有K K件甲类（次品），件甲类（次品），N N- -K K件乙类件乙类（正品）（正品）, , K K 0,P(B)0时，则 P(AB)P(A)P(B|A). P(AB)P(B)P(A|B).称为事件A、B的概率乘法公式乘法公式。还可推广到三个事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1). 例例 1.4.1.4.3:3: 一批灯泡共一批灯泡共100100
26、只，其中只，其中1010只是次只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求求: : 第三次才取到正品的概率。第三次才取到正品的概率。 解：解：设设 A Ai i =第第 i i 次取到正品次取到正品, , i i=1,2,3=1,2,3。 A A =第三次才取到正品第三次才取到正品 。则。则: : 。故故，0083.0989099910010)|()|()()()( . 213121321321AAAPAAPAPAAAPAPAAAA 例例 1010个纸团有个纸团有3 3个奖，个奖，1010个人各抽个人各抽1 1个（无放个（无放回的抽），回的抽），
27、A Ai i=第第i i个人抽中奖个人抽中奖 。则。则 (3) B=前2个人都抽中奖 )(103)()1(1iAPAP（抽中奖的概率与次序无关）(2) A= 前2个人都没抽中奖15/7)9/6()10/7()|()()()(12121AAPAPAAPAP15/ 1) 9/2()10/3 ()|()()()(12121AAPAPAAPBP(4)C=前两个人恰有一个抽中奖15/7)()()()(21212121AAPAAPAAAAPCP可见:P(B)+P(C)+P(D)=1 把要考虑的事件化为要考虑事件与若干个两两互斥事件的交事件的并来考虑. (5) D= 第2个人抽中奖(第1人可能抽中也可能不中
28、)2121AAAAD10/3)9/3()10/7()9/2()10/3()|()()|()()()()(1211212121AAPAPAAPAPAAPAAPDP21212112)(AAAAAAAA=(6) E=第3个人抽中奖3212121213)(AAAAAAAAAAE10/3.) 8/1 ()9/2()10/3(.)|()|()()()()()()(213121321321321321AAAPAAPAPAAAPAAAPAAAPAAAPEP1.4.31.4.3全概率公式全概率公式定义定义1.4.21.4.2 事件组事件组B B1 1，B B2 2，B Bn n (n(n可为可为 ) )，称为，
29、称为样本空间样本空间 的一个划分的一个划分，若满足：，若满足：1(1);(2), (), ,1,2,., .niiijBB Biji jn 定理定理1.4.1 1.4.1 设设B B1 1，, B, Bn n是是的一个划分，且的一个划分，且P(BP(Bi i)0)0，(i(i1 1，n)n)，则对任何事件则对任何事件A A 有有 niiiBAPBPAP1)|()()( 它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于: : 在较复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算P P( (A A) )不容易不容易, , 但总可以适当地构造一组两两互但总可以适当地构造一组两两互斥的斥的B Bi i , ,
30、 使使A A伴随着某个伴随着某个B Bi i 的出现而出现，的出现而出现，且每个且每个 P( P( A AB Bi i ) ) 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 P( P( ABABi i ) ) 之和计算之和计算 P(P(A A) ). .例例1.4.51.4.5：一批同型号的螺钉由编号为一批同型号的螺钉由编号为I,II,IIII,II,III的三的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为的比例分别为35%,40%, 25%35%,40%, 25%。各台机器生产的螺钉。各台机器生产的螺钉的次品率分别为的次品率分别为3%, 2%
31、3%, 2%和和1%1%。求该批螺钉中的次品。求该批螺钉中的次品率。率。 解：解：设 A=螺钉是次品, B1=螺钉由I号机器生产, B2=螺钉由II号机器生产, B3=螺钉由III号机器生产。则P(P(B B1 1)=0.35)=0.35，P(P(B B2 2)=0.40)=0.40，P(P(B B3 3)=0.25, )=0.25, P(P(A A| |B B1 1)=0.03)=0.03，P(P(A A| |B B2 2)=0.02)=0.02，P(P(A A| |B B3 3)=0.01)=0.01。由全概率公式，得由全概率公式，得)|()()()()()()()(31321321iii
32、BAPBPABPABPABPBBBAPAPAP021. 001. 025. 002. 040. 003. 035. 0 思考思考：上例中，若已知取到的是次品，则求是：上例中，若已知取到的是次品，则求是第第I I台机器生产的概率是多少？台机器生产的概率是多少？)()|()()|()()()|(311111jjjBPBAPBPBAPAPABPABP. 425)|( 218)|(32ABPABP，. 5 . 001. 025. 002. 040. 003. 035. 003. 035. 0定理定理1.4.2 1.4.2 设设B B1 1，, B, Bn n是是的一个划分，且的一个划分，且P(BP(B
33、i i) 0) 0，(i(i1 1，n)n)，则对任何事件则对任何事件A A ，有有 ),.,1( ,)|()()|()()|(1niBAPBPBAPBPABPnjjjiii称为称为贝叶斯公式贝叶斯公式。1.4.4 1.4.4 贝叶斯公式贝叶斯公式条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式1.5 1.5 事件的独立性事件的独立性两事件独立两事件独立 定义定义1.5.1 1.5.1 设A、B是两事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 则称事件A与B相互独立。表明事件B的发生不影响A的发生。等价于： P(AB)=P(A|B)P(B)P(A)P
34、(B)例例1 1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A A= = 抽到抽到K K , , B B=抽到黑色的牌抽到黑色的牌 。问事件。问事件A A, , B B是否独立？是否独立？解：解：由于由于 P P( (A A) = 4/52 = 1/13,) = 4/52 = 1/13, P P( (B B) = 26/52 = ) = 26/52 = 1/21/2， P(P(ABAB) = 2/52 = ) = 2/52 = 1/261/26 故故, , P P( (ABAB) = ) = P P( (A A) )P P( (B B). ). 这说明事件
35、这说明事件A, BA, B独立。独立。 思考：互斥和独立之间的联系：思考：互斥和独立之间的联系： 若若A A、B B互斥，且互斥，且P P( (A A)0, )0, P P( (B B)0, )0, 则则 A A与与B B不独立。不独立。P(AB)=0P(AB)=0，P(A) P(A) 0,P(B) 0, P(AB) 0,P(B) 0, P(AB) P(A)P(B)P(A)P(B) 其逆否命题是：其逆否命题是：若若A A与与B B独立，且独立，且 P P( (A A)0, )0, P P( (B B)0, )0, 则则 A A与与B B一定不互斥。一定不互斥。 请问：请问：能否在样本空间能否在
36、样本空间中找到两个事件，中找到两个事件， 它们既相互独立又互斥它们既相互独立又互斥? ? ，且且因因为为 , 0)()()(PPP所以，所以，与与独立且互斥。独立且互斥。不难发现不难发现: : ( (或或)与任何事件都独立。与任何事件都独立。可以定理定理1.5.1 1.5.1 以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。证明证明: 仅证A与 B独立。P(A B)= P(A A B) = P(A) P(AB) = P(A) P(A) P(B) = P(A)1 P(B) = P(A)P(B),概率的性质概率的性质A A与与
37、B B独立独立独立。与故， BA多个事件相互独立多个事件相互独立定义定义1.5.2 1.5.2 设A1，A2，An是n n个事件个事件，如果对任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 则称n n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。对于三个事件对于三个事件A A, , B B, , C C，若若 P P( (ABAB)= )= P P( (A A) )P P( (B B) )，P P( (ACAC)= )= P P( (A A) )P P( (C C) , ) , P P( (BCBC)=
38、)= P P( (B B) )P P( (C C) , ) , P P( (ABCABC)= )= P P( (A A) )P P( (B B) )P P( (C C) ) 个个等式同时成立，称事件等式同时成立，称事件A A, , B B, , C C相互独立。相互独立。n n个事件相互独立要满足等式的个数为个事件相互独立要满足等式的个数为43323CC12.32nCCCnnnnn事件独立性的应用事件独立性的应用在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用例例 如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。设设A-LA-L
39、至至R R为通路为通路,A,Ai i-第第i i个继电器通个继电器通,i=1,2,5,i=1,2,5)()|(52413AAAAPAAP422pp )()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp例例1.5.21.5.2 验收验收100100件产品方案如下，从中任取件产品方案如下，从中任取3 3件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，件进行独立测试，如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收此批产品。设一件次品经测试后被断则拒绝接收此批产品。设一件
40、次品经测试后被断定为次品的概率为定为次品的概率为0.950.95，一件正品经测试后被断，一件正品经测试后被断定为正品的概率为定为正品的概率为0.990.99，并知这，并知这100100件产品恰有件产品恰有4 4件次品。求该批产品能被接收的概率。件次品。求该批产品能被接收的概率。 解解: : 设设 A A=该批产品被接收该批产品被接收 ， B Bi i=取出取出3 3件产品中恰有件产品中恰有i i件是次品件是次品 ， i i = 0,1,2,3= 0,1,2,3。 则则。 )(, )(, )(, )(31003433100196242310029614131003960CCBPCCCBPCCCB
41、PCCBP因因三次测试相互独立，故三次测试相互独立，故 P(P(A A| |B B0 0)=0.99)=0.993 3， P(P(A A| |B B1 1)=0.99)=0.992 2(1-0.95), (1-0.95), P( P(A A| |B B2 2)=0.99(1-0.95)=0.99(1-0.95)2 2, , P( P(A A| |B B3 3)= (1-0.95)= (1-0.95)3 3。 由全概率公式由全概率公式, , 得得。8629.0)()|()(30 iiiBPBAPAP例例1.5.31.5.3 若干人独立地向一移动目标射击若干人独立地向一移动目标射击, ,每人每人击
42、中目标的概率都是击中目标的概率都是0.60.6。求至少需要多少人。求至少需要多少人, , 才能以才能以0.990.99以上的概率击中目标以上的概率击中目标? ?解：解：设至少需要设至少需要 n n 个人才能以个人才能以0.990.99以上的概率以上的概率击中目标。击中目标。 令令A A=目标被击中目标被击中,A Ai i =第第i i人击中目标人击中目标, , i i=1,2,=1,2,n n。则。则A A1 1, ,A A2 2,A An n 相互独立。故，相互独立。故， 也相互独立。也相互独立。nAAA,21因因 A A= =A A1 1A A2 2A An n， 得得 P(P(A A)=
43、 P()= P(A A1 1A A2 2A An n) ). )(1)(12121nnAAAPAAAP.4 .01)6 .01 (1 )()()(1 )( , 2121nnnnAPAPAPAPAAA得得相相互互独独立立，因因问题化成了求最小的问题化成了求最小的 n n, , 使使1-0.41-0.4n n 0.99 0.99。解不等式，得解不等式，得. 6 026.54 .0ln01.0lnnn，故故第一章第一章 小结小结本章由六个概念（随机试验、样本空间、事件、概率本章由六个概念（随机试验、样本空间、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法、条件概率、独立性），四个公式（加法
44、公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成概型）组成第二章第二章 随机变量随机变量 随机变量随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 2.1 2.1 随机变量的定义随机变量的定义 关于随机变量关于随机变量( (及向量及向量) )的研究，是概的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变有关的某个或某
45、些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从量也可以说：随机事件是从静态静态的观点来研的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种究随机现象，而随机变量则是一种动态动态的观点，的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随机变量 在实际问题中，随机试验的结果可用在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示数量来表示: :
46、一方面，有些试验，其结果一方面，有些试验，其结果与数有关与数有关( (试验结果就是一个数试验结果就是一个数) )； 另一另一方面，有些试验，其结果看起来与数值方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，无关， 但可引进一个变量来表示试验的但可引进一个变量来表示试验的各种结果。各种结果。 即即, , 试验结果可以试验结果可以数量化数量化。从而转化到数域上去考虑问题从而转化到数域上去考虑问题, ,就可以把就可以把高数中的思想概念应用过来高数中的思想概念应用过来. . 定义定义2.1.1.2.1.1. 设设=是试验的样本空间，是试验的样本空间，如果对每个如果对每个, ,总有一个实数总有一个实数X(X()
47、 )与之与之对应，则称对应，则称上的实值函数上的实值函数X(X() )为为E E的一个的一个随机变量随机变量。随机变量。随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、 、 等表示。等表示。 顾名思义，随机变量就是顾名思义，随机变量就是“其值随机会而定其值随机会而定”的的变量，正如随机事件是变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定其发生与否随机会而定”的事的事件件 一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一要看机会，即有一 定的概率最简单的例子如掷骰子，定的概率最简单的例子如掷骰子，掷出的点数掷出的点数X X是一个随机变量，它可以
48、取是一个随机变量，它可以取1 1，6 6等等6 6个个值到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道因此又可值到底是哪一个，要等掷了骰子以后才知道因此又可以说，随机变量就是试验结果的函数以说，随机变量就是试验结果的函数. . 随机变量概念的产生是概率论发展史随机变量概念的产生是概率论发展史上重大的事件。引入随机变量后，对随机现象上重大的事件。引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩充到对随机变量及其取值规律的研究。究扩充到对随机变量及其取值规律的研究。 1.1.在投篮试验中，用在投篮试验中，用0 0 表示投篮未中，表示投篮未中，1
49、1 表示罚篮命中，表示罚篮命中，3 3 表示三分线外表示三分线外远投命中，远投命中，2 2 表示三分线内投篮命中。表示三分线内投篮命中。2.2. 在掷硬币试验中，用在掷硬币试验中，用1 1 表示带国徽表示带国徽或人头的一面朝上，或人头的一面朝上，0 0 表示另一面表示另一面朝上朝上. . 3. 3. 一部电梯一年内出现故障的次数一部电梯一年内出现故障的次数。 用用 i=i=电梯一年内发生电梯一年内发生i i次故次故障障,i=0,1,i=0,1, 样本空间样本空间=i i，=0,1,2,=0,1,2, 令令 X(X(i)=i, i)=i, i=0,1,2i=0,1,2X X（）的值域为）的值域为
50、0,1,20,1,2，4. 4. 用用 X X 表示单位时间内某信号台收到呼叫的表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则次数，则 X X 是一个随机变量。事件是一个随机变量。事件 收到呼叫收到呼叫 X X 1 1； 没有收到呼叫没有收到呼叫 X X=0=0连续型奇异型（混合型）非离散型离散型随机变量随机变量随机变量所有取值可所有取值可以逐个列举以逐个列举全部可能取值不仅有无全部可能取值不仅有无穷多，而且不能一一穷多，而且不能一一列举，充满某些区间。列举，充满某些区间。2.2 2.2 离散型随机变量离散型随机变量随机变量的分类例如：例如：“取到次品的个数取到次品的个数”，“收到的呼叫数收到的呼叫
