1、1.51.5全称量词与存在量词课标阐释思维脉络1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.(数学抽象)2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法.(逻辑推理)3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.(逻辑推理)激趣诱思知识点拨在某个城市中有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自
2、己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”问题,如果我们学习了全称量词命题与存在量词命题的知识,就可以通过逻辑进行分析了.激趣诱思知识点拨知识点一、全称量词与全称量词命题(1)概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)表示:全称量词命题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为xM,p(x).名师点析 对全称量词与全称量词命题的理解:从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的
3、所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定.常见的全称量词还有“一切”“任给”等.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“x,yR,x2+y20”.全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.激趣诱思知识点拨(3)全称量词命题的真假判断要判定全称量词命题“xM,r(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明r(x)成立;要判定全称量词命题“xM,r(x)”是假命题,只需举出一个反例,即在集合M中找到一个元素x0,
4、使得r(x0)不成立,那么这个全称量词命题就是假命题.激趣诱思知识点拨微思考给出下列命题:所有的矩形都是平行四边形;对任意一个xR,都有x20;每一个菱形的对角线都垂直;自然数是正整数.(1)上述命题中的“所有的”“任意一个”“每一个”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示:这些短语一般在指定的范围内都表示整体或全部,这样的词叫做全称量词.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.(2)命题是全称量词命题吗?它的量词是什么?提示:是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等).即所有的自然数都是正整数.激趣诱思知识点拨微练习用量词符号表示下列全称量词命题,并判断其真假:(1)任意一个实数乘以
5、0都等于0;(2)自然数的平方是正数;(3)任意两个有理数的和仍是有理数.解:(1)xR,x0=0,是真命题.(2)xN,x20,当x=0时,不成立,故是假命题.(3)x,yQ,x+yQ,是真命题.激趣诱思知识点拨知识点二、存在量词与存在量词命题(1)概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.(2)表示:存在量词命题“存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为xM,p(x).名师点析 对存在量词与存在量词命题的理解:从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题.常见的存在量词还有“
6、有些”“有一个”“对某个”“有的”等.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“a,bR,使(a+b)2=(a-b)2”.含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.激趣诱思知识点拨(3)存在量词命题的真假判断要判断存在量词命题“xM,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可.要判断一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明p(x)都不成立.激趣诱思知识点拨微思考给出下列命题:有些矩形不是平行四边形;存在一个xR,使得
7、x20;至少有一个菱形的对角线不垂直;有的自然数不是正整数.上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题?提示:这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.激趣诱思知识点拨微判断判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.()(2)全称量词命题一定含有全称量词,存在量词命题一定含有存在量词.()答案:(1)(2)激趣诱思知识点拨微练习(1)下列存在量词命题是假命题的是()A.存在xQ,使2x-x3=0B.存在xR,使x2+
8、x+1=0C.有的素数是偶数D.有的有理数没有倒数(2)命题“有些长方形是正方形”含有的量词是,该量词是量词(填“全称”或“存在”).答案:(1)B(2)有些存在激趣诱思知识点拨知识点三、全称量词命题和存在量词命题的否定激趣诱思知识点拨名师点析 1.写全称量词命题的否定的方法(1)更换量词,将全称量词换为存在量词.(2)将结论否定.2.写存在量词命题的否定的方法(1)将存在量词改写为全称量词.(2)将结论否定.3.写全称量词命题的否定和存在量词命题的否定的注意点(1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题,给出全称量词命题的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的
9、性质是对全称量词命题否定的关键.(2)存在量词命题的否定是一个全称量词命题,给出存在量词命题的否定时既要否定存在量词,又要否定性质,所以找出存在量词,明确命题所提供的性质是对存在量词命题否定的关键.激趣诱思知识点拨微思考已知命题:所有的矩形都是平行四边形;每一个自然数都是正整数;存在一个xR,使得x20;至少有一个菱形的对角线不垂直.这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题?提示:是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题.是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题.激趣诱思知识点拨微练习(1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180”的否定为()A.存在一个三角形的内角和等于180B.所有
10、三角形的内角和都等于180C.所有三角形的内角和都不等于180D.很多三角形的内角和不等于180(2)命题“xZ,4x-1是奇数”的否定是.答案:(1)B(2)xZ,4x-1不是奇数探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测全称量词命题与存在量词命题的辨析全称量词命题与存在量词命题的辨析例1判断下列语句是全称量词命题,还是存在量词命题.(1)对任意的nZ,2n+1是奇数;(2)有些三角形不是等腰三角形;(3)有的实数是无限不循环小数;(4)所有的正方形都是矩形;分析有全称量词的是全称量词命题,有存在量词的是存在量词命题,当没有时,要结合命题的具体意义进行判断.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂
11、检测解:(1)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.(2)含有存在量词“有些”,故为存在量词命题.(3)含有存在量词“有的”,故为存在量词命题.(4)含有全称量词“所有”,故为全称量词命题.(5)含有全称量词“任意”,故为全称量词命题.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是,是存在量词命题的是(填序号).正方形的四条边相等;有两个角是45的三角形是等腰直角三角形;正数的平方根不等于0;至少有一个正整数是偶数.解析:是全称量词命题,是存在量词命题.答案:
12、探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测全称量词命题与存在量词命题的真假判断全称量词命题与存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假.(1)xR,x2+1 ;(2),R,(-)2=(+)2;(3)存在一个数既是偶数又是负数;(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示;(5)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.分析对于全称量词命题,判断为真,需要证明,判断为假,举出反例;对于存在量词命题,判断为真,举出特例,判断为假,需要证明.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)真命题,因为x20,所以x2+11,x2+1 恒成立.(2)真命题,例如=0,=1,符合题意.(3)真命题,如数
13、-2,-4等,就既是偶数又是负数.(4)假命题,如边长为1的正方形的对角线长为 ,它的长度就不是有理数.(5)假命题,因为该方程的判别式=-310,故无实数解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法(1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假.(2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假.探究一探究
14、二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假.(1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示;(3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立.解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题.(1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数.(2)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为 就不能用正有理数表示.(3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式=-31x-1;(2)q:三角形有且仅有一个外接圆;(3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180;(4)s:有些质数是奇数.分析先判断
15、每个命题是全称量词命题还是存在量词命题,再写出相应的否定.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)p:存在正数x,使 x-1.(2)q:存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆.(3)r:所有三角形的内角和小于或等于180.(4)s:所有的质数都不是奇数.反思感悟 1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定.2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定.探究一探究二探究三探究四素
16、养形成当堂检测变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假.(2)q:所有的正方形都是矩形;(3)r:xR,x2+3x+70;(4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测根据命题的真假求参数的取值范围根据命题的真假求参数的取值范围例4已知命题“xR,x2+ax+10”是假命题,求实数a的取值范围.分析若全称量词命题为假命题,通常转化为其否定形式存在量词命题为真命题来解决;同理,若存在量词命题为假命题,通常转化为其否定形式全称量词命题为真命题来解决.解:因为全称量词命题“xR,x2+ax+10”的否定形式为“xR,x2
17、+ax+10,解得a2.所以实数a的取值范围是a|a2.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟 求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“xM,af(x)(或af(x)max(或af(x)(或af(x)min(或a0”,求实数a的取值范围.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)由题意知0,则a2-40,得-2a2.所以实数a的取值范围为a|-2a2.(2)因为全称量词命题“x0,x2+ax+10”的否定形式为:“x0,x2+ax+10”.由“命题真,其否定假;命题假,其否定真”可知,这个否定形式的命题是真命题.由于函数f(x)=x2+ax+1的图象是开口向
18、上的抛物线,借助二次函数解得a-2,所以实数a的取值范围是a|aa2+b2,则p的否定形式为()A.p:xR,xa2+b2B.p:xR,xa2+b2C.p:xR,xa2+b2D.p:xR,x0B.xR,x2+2x0D.xR,x(x-1)=6解析:xR,x20,故排除A;取x=0,则x2+2x=0,故排除B;答案:D探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.下列语句:被7整除的数都是奇数;|x-1|2;存在实数a使方程x2-ax+1=0成立;等腰梯形的对角线相等.其中是全称量词命题且为真命题的序号是.解析:全称量词命题有,其中是假命题,如70.答案:探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测4.判断下列命题的真假.(1)有一些三角形的两个内角相等;(2)xR,x2+2x+40,所以不存在xR,使x2+2x+40.故该命题是假命题.(3)该命题是全称量词命题.xZ,由于2x-1是整数,且不能被2整除,所以2x-1是奇数,故该命题是真命题.
