1、A组20152019年浙江中考题组考点一二次函数解析式1.(2018杭州,9,3分)四位同学在研究函数y=x2+bx+c(b,c是常数),甲发现当x=1时,函数有最小值;乙发现-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案答案B假设甲和丙发现的结论正确,则解得该函数的解析式为y=x2-2x+4.若-1是方程x2+bx+c=0的一个根,则x=-1是函数y=x2+bx+c的一个零点,当x=-1时,y=x2-2x+4=70,乙发现的结论不正确.当x=2时,y=x2-2x+4
2、=4,丁发现的结论正确.四位同学中只有一位发现的结论是错误的,假设成立.故选B.21,243,4bcb2,4,bc 思路分析思路分析假设两位同学发现的结论正确,用这两位同学发现的结论去验证另外两位同学发现的结论,只要找出一个正确,一个错误,即可得出正确选项(本题选择甲和丙发现的结论正确,先求出b、c的值,然后利用二次函数图象上点的坐标特征验证乙和丁发现的结论).解题关键解题关键本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征,利用二次函数的性质求出b、c的值是解题的关键.2.(2017绍兴,8,4分)矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴,点A的坐标为(2,1).一张透明纸上画有一个点和一条抛
3、物线,平移透明纸,使纸上的点与点A重合,此时抛物线的函数表达式为y=x2,再次平移透明纸,使纸上的点与点C重合,则此时抛物线的函数表达式变为()A.y=x2+8x+14B.y=x2-8x+14C.y=x2+4x+3D.y=x2-4x+3答案答案A如图,A(2,1),则可得C(-2,-1).一点从A(2,1)平移到C(-2,-1),需要向左平移4个单位,向下平移2个单位,则所求表达式为y=(x+4)2-2=x2+8x+14,故选A.3.(2019宁波,22,10分)如图,已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2,3).(1)求a的值和图象的顶点坐标;(2)点Q(m,n)在该二次函数图象
4、上.当m=2时,求n的值;若点Q到y轴的距离小于2,请根据图象直接写出n的取值范围.解析解析(1)把P(-2,3)代入y=x2+ax+3,得3=(-2)2-2a+3,解得a=2.y=x2+2x+3=(x+1)2+2,顶点坐标为(-1,2).(2)把x=2代入y=x2+2x+3,求得y=11,当m=2时,n=11.2n11.4.(2019杭州,22,12分)设二次函数y=(x-x1)(x-x2)(x1,x2是实数).(1)甲求得当x=0时,y=0;当x=1时,y=0;乙求得当x=时,y=-.若甲求得的结果都正确,你认为乙求得的结果正确吗?说明理由;(2)写出二次函数图象的对称轴,并求该函数的最小
5、值(用含x1,x2的代数式表示);(3)已知二次函数的图象经过(0,m)和(1,n)两点(m,n是实数),当0 x1x21时,求证:0mn.1212116解析解析(1)乙求得的结果不正确,理由如下:根据题意,知图象经过点(0,0),(1,0).所以y=x(x-1).当x=时,y=-,所以乙求得的结果不正确.(2)函数图象的对称轴为直线x=.当x=时,函数有最小值M,M=-.(3)证明:因为y=(x-x1)(x-x2),所以m=x1x2,n=(1-x1)(1-x2),所以mn=x1x2(1-x1)(1-x2)=(x1-)(x2-)12121121412122xx122xx1212xxx1222x
6、xx212()4xx21x22x=.因为0 x1x21,所以结合y=x(1-x)的图象可知0-+,0-+,所以0mn,因为x1x2,所以0mn|b|,在同一平面直角坐标系中,二次函数y1=ax2+bx与一次函数y2=ax+b的大致图象不可能是()答案答案D由解得或故二次函数y=ax2+bx与一次函数y=ax+b(a0)在同一平面直角坐标系中的交点为或点(1,a+b).在A中,由一次函数图象可知a0,b0.由二次函数图象可知,a0,-0,b0,故A不符合题意.在B中,由一次函数图象可知,a0,b0,b|b|,知a+b0.故选项B不符合题意.在C中,由一次函数图象可知,a0,b0,由二次函数图象知
7、,a0,b0,a+b0,故C不符合题意.在D中,由一次函数图象可知a0,二次函数图象可知,a0.又|a|b|,则a+b0,故选项D符合题意.2,yaxbxyaxb,0bxay 1,xyab,0baba4.(2019绍兴,7,4分)在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位答案答案By=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16).y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16).所以将抛物线y=(x
8、+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5),故选B.5.(2019嘉兴,10,3分)小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的性质时,有如下结论:这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上;存在一个m的值,使得函数图象与x轴有两个交点,且这两个交点与函数图象的顶点构成等腰直角三角形;点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上,若x12m,则y1y2;当-1x2时,y随x的增大而增大,则m的取值范围为m2.其中错误结论的序号是()A.B.C.D.答案答案C二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)图象的顶点坐标为(m,-m+1),当x=m时,
9、y=-m+1,这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上,故结论正确.假设存在一个m的值,使得函数图象与x轴有两个交点,且这两个交点与函数图象的顶点构成等腰直角三角形,令y=0,得-(x-m)2-m+1=0,其中m2m,1m1m1mm.二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)的图象的对称轴为直线x=m,且x1x2,点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离,-1y2,故结论错误.当-1x2时,y随x的增大而增大,且-10,m2+10,顶点在第一象限.故选A.思路分析思路分析根据配方法得出顶点坐标,从而判断出顶点所在的象限.8.(2017金华,6,4分)对于二次函数y=-(x-1)2+2的图
10、象与性质,下列说法正确的是()A.对称轴是直线x=1,最小值是2B.对称轴是直线x=1,最大值是2C.对称轴是直线x=-1,最小值是2D.对称轴是直线x=-1,最大值是2答案答案By=-(x-1)2+2,抛物线开口向下,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,当x=1时,y有最大值2,故选B.9.(2018湖州,10,3分)在平面直角坐标系xOy中,已知点M,N的坐标分别为(-1,2),(2,1),若抛物线y=ax2-x+2(a0)与线段MN有两个不同的交点,则a的取值范围是()A.a-1或aB.aD.a-1或a14131413141314答案答案A由已知得线段MN的方程为y=-x+,-1x
11、2,1y2,把代入抛物线方程得3ax2-2x+1=0,由题意得方程3ax2-2a+1=0在-1x2上有两个不等实根,设y=3ax2-2x+1,当a0时,解得a;当a0时,解得a-1.综上所述,a-1或a,故选A.13532( 2)120,330,1230,112,3aaaa 14132( 2)120,330,1230,112,3aaaa 141310.(2017丽水,8,3分)将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是()A.向左平移1个单位B.向右平移3个单位C.向上平移3个单位D.向下平移1个单位答案答案DA.平移后,得y=(x+1)2,图象经过A点,故A
12、不符合题意;B.平移后,得y=(x-3)2,图象经过A点,故B不符合题意;C.平移后,得y=x2+3,图象经过A点,故C不符合题意;D.平移后,得y=x2-1,图象不经过A点,故D符合题意.故选D.关键提示关键提示本题主要考查了函数图象的平移,解题的关键是熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.11.(2016绍兴,9,4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1x3)有交点,则c的值不可能是()A.4B.6C.8D.10答案答案A抛物线过点A(2,6),4+2b+c=6,b=.抛物线的对称轴与线段y=0(1x3)有交点,1-3,-6b-
13、2,即-6-2,解得6c14,则c的值不可能是4,故选A.22c2 1b22c12.(2016温州,10,4分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=4,BC=2.P是AB边上一动点,PDAC于点D,点E在P的右侧,且PE=1,连接CE.P从点A出发,沿AB方向运动,当E到达点B时,P停止运动.在整个运动过程中,图中阴影部分面积S1+S2的大小变化情况是()A.一直减小B.一直不变C.先减小后增大D.先增大后减小答案答案C作CFAB于F.在RtABC中,ACB=90,BC=2,AC=4,AB=2,CF=.易知APDABC.设PD=x,则AD=2x,AP=x,BE=2-1-x,S1=x2,S2=
14、(2-1-x)=4-2x,S1+S2=x2-2x+4-=(x-1)2+3-.根据二次函数的图象及性质可知,当x1时,S1+S2随x增大而增大.故选C.54555551255455255255255关键提示关键提示这是一道关于面积变化的题目,需设立变量表示出面积,进而利用相关函数性质解题.13.(2018湖州,15,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是.答案答案-2解析解析四边形ABOC是正方形,AO与BC相互垂直平分且相等.抛物线y=ax2+
15、bx的对称轴为直线x=-,点B的坐标为.把B的坐标代入y=ax2中,得-=a,即b2+2b=0,b0,b=-2.故b=-2.2ba,22bbaa2ba22ba14.(2019台州,23,12分)已知函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(-2,4).(1)求b,c满足的关系式;(2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当b的值变化时,求n关于m的函数解析式;(3)若该函数的图象不经过第三象限,当-5x1时,函数的最大值与最小值之差为16,求b的值.解析解析(1)将点(-2,4)代入y=x2+bx+c,得-2b+c=0,c=2b.(2)m=-,n=,n=,n=2b-m2=-4m-m2
16、.(3)y=x2+bx+2b=-+2b,其图象的对称轴为x=-,当b0时,c0,函数图象不经过第三象限,则c=0.此时y=x2,当-5x1时,函数的最小值是0,最大值是25,最大值与最小值之差为25,不符合题意,舍去.当b0时,c0,函数图象不经过第三象限,则b2-8b0,0b8,-4x=-0,2b244cb284bb22bx24b2b2b当-5x1时,函数有最小值-+2b,当-4-2时,函数有最大值1+3b,当-2-0时,函数有最大值25-3b.当最大值为1+3b时,1+3b+-2b=16,b=6或b=-10,4b8,b=6;当最大值为25-3b时,25-3b+-2b=16,b=2或b=18
17、,0b4,b=2.综上所述,b=2或b=6.24b2b2b24b24b15.(2018温州,21,10分)如图,抛物线y=ax2+bx(a0)交x轴正半轴于点A,直线y=2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x=2,交x轴于点B.(1)求a,b的值;(2)P是第一象限内抛物线上的一点,且在对称轴的右侧,连接OP,BP.设点P的横坐标为m,OBP的面积为S,记K=,求K关于m的函数表达式及K的范围.Sm解析解析(1)将x=2代入y=2x,得y=4,M(2,4),由题意得(2)如图,过点P作PHx轴于点H,点P的横坐标为m,抛物线的解析式为y=-x2+4x,PH=-m2+4m.B(2,
18、0),OB=2,2,2424,baab1,4.ab S=OBPH=2(-m2+4m)=-m2+4m,K=-m+4,K随着m的增大而减小.易得A(4,0),又M(2,4),2m4.0K2.1212Sm思路分析思路分析(1)根据已知求得点M(2,4),由点M为抛物线的顶点列出关于a、b的方程组,求解即可;(2)作PHx轴于H,根据三角形的面积公式求得S=-m2+4m,根据K=可得K关于m的函数解析式,再结合点P的位置得出m的范围,利用一次函数的性质可得结果.Sm方法总结方法总结本题主要考查抛物线的性质,解题的关键是用待定系数法求抛物线解析式及一次函数的性质的应用.考点三二次函数综合1.(2015金
19、华,8,3分)图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥拱可以近似看成抛物线y=-(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有ACx轴.若OA=10米,则桥面离水面的高度AC为()A.16米B.米C.16米D.米1400940174740154答案答案B把x=-10代入y=-(x-80)2+16得,y=-,故选B.14001742.(2016台州,16,5分)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数.小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球.假设两个小球离手时离地高度相同,在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离
20、地高度.第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同,则t=.答案答案1.6解析解析各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度,设这个最大高度为h,又设小球抛出后时间为x秒,高度为y,则y=a(x-1.1)2+h.由题意,得a(t-1.1)2+h=a(t-1-1.1)2+h,解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.故填1.6.方法指导方法指导先构建二次函数,再利用方程思想解决问题.3.(2016衢州,15,4分)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则
21、这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为m2.答案答案144解析解析如图,设总占地面积为Sm2,CD的长度为xm,由题意知AB=CD=EF=GH=xm,BH=(48-4x)m,易知0 x0,n0,求m,n的值.12解析解析(1)令y=0,则-x2+2x+6=0,x1=-2,x2=6,A(-2,0),B(6,0).由函数图象得,当y0时,-2x6.(2)由题意得B1(6,m),B2(6-n,m),B3(-n,m),函数图象的对称轴为直线x=2.点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,=2,n=1,m=-(-1)2+2(-1)+6=,m,n的值分别为,1.12262 6()2nn 12727
22、26.(2019嘉兴,24,12分)某农作物的生长率p与温度t()有如下关系:如图1,当10t25时可近似用函数p=t-刻画;当25t37时可近似用函数p=-(t-h)2+0.4刻画.(1)求h的值;(2)按照经验,该作物提前上市的天数m(天)与生长率p满足函数关系,部分数据如下:150151160生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m(天)051015请运用已学的知识,求m关于p的函数表达式;请用含t的代数式表示m;(3)天气寒冷,大棚加温可改变农作物生长速度.在(2)的条件下,原计划大棚恒温20时,每天的成本为200元,该作物30天后上市时,根据市场调查:每提前一天上市售出(
23、一次售完),销售额可增加600元.因此给大棚继续加温,加温后每天成本w(元)与大棚温度t()之间的关系如图2.问提前上市多少天时增加的利润最大?并求这个最大利润(农作物上市售出后大棚暂停使用).解析解析(1)把(25,0.3)代入p=-(t-h)2+0.4,得h=29或h=21.h25,h=29.(2)由表格可知m是p的一次函数,m=100p-20.当10t25时,p=t-,把p代入m=100p-20得m=100-20=2t-40,当25t37时,p=-(t-29)2+0.4,把p代入m=100p-20得m=100-20=-(t-29)2+20.(3)当20t25时,由(20,200),(25
24、,300)得w=20t-200.增加利润为600m+20030-w(30-m)=40t2-600t-4000.当t=25时,增加利润的最大值为6000元.当25t37时,w=300.11601501511505t116021(29)0.4160t58增加利润为600m+20030-w(30-m)=900(t-29)2+15000=-(t-29)2+15000.当t=29时,增加利润的最大值为15000元.综上所述,当t=29时,提前上市20天,增加的利润最大,为15000元.58112527.(2019金华,23,10分)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x
25、轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点.(1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数;(2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标;(3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围.解析解析(1)当m=0时,二次函数的表达式为y=-x2+2,函数图象如图所示.当x=0时,y=2,当x=1时,y=1,抛物线经过点(0,2)和(1,1),观察图象可知:好点有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),共5个.(2)当m=3时,二次函数解析式为y=-(
26、x-3)2+5,其图象如图所示.当x=1时,y=1,当x=2时,y=4,当x=4时,y=4,抛物线经过(1,1),(2,4),(4,4),结合图象可知,抛物线上的好点坐标分别为(1,1),(2,4),(4,4).(3)如图,抛物线的顶点P的坐标为(m,m+2),抛物线的顶点P在直线y=x+2上,点P在正方形内部,0m2,如图,E(2,1),F(2,2),观察图象可知,当点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点时,抛物线与线段EF有交点(点F除外),当抛物线经过点E时,-(2-m)2+m+2=1,解得m=或(舍去),当抛物线经过点F时,-(2-m)2+m+2=2,解得m
27、=1或4(舍去),当m1时,顶点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点.5132513251328.(2017温州,22,10分)如图,过抛物线y=x2-2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C.已知点A的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标;(2)在AB上任取一点P,连接OP,作点C关于直线OP的对称点D.连接BD,求BD的最小值;当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数表达式.14解析解析(1)对称轴是直线x=-=-=4.点A,B关于直线x=4对称,点A的横坐标为-2,点B的横坐标为10.当x=10时,y=5,点
28、B的坐标为(10,5).(2)如图,连接OD,OB.点C,D关于直线OP对称,OD=OC=5.OD+BDOB,BDOB-OD=5-5,当点D在线段OB上时,BD有最小值5-5.2ba212455如图,连接OD,设抛物线的对称轴交x轴于点F,交BC于点H.OD=5,OF=4,DF=3,D(4,3),DH=HF-DF=2.设CP=a,则PD=PC=a,PH=4-a,在RtPHD中,(4-a)2+22=a2,a=,P.设直线PD的函数表达式为y=kx+b(k0),解得525,5255,243.kbkb4,325.3kb 直线PD的函数表达式为y=-x+.432539.(2018衢州,23,10分)某
29、游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方向喷出的水柱恰好在水池中心的装饰物处汇合,如图所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐标系.(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式;(2)王师傅在水池内维修设备期间,喷水管意外喷水,为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内?(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后水柱的最
30、大高度.解析解析(1)由题意可知抛物线的顶点为(3,5),设y=a(x-3)2+5,将(8,0)代入得a=-,y=-(x-3)2+5(0 x8).(2)当y=1.8时,1.8=-(x-3)2+5,可得x1=7,x2=-1(舍去),所以王师傅必须站在离水池中心7米以内.(3)由y=-(x-3)2+5可得原抛物线与y轴的交点为,装饰物高度不变,新抛物线也过点.喷出水柱的形状不变,151521616555yxx 或1515160,5160,5a=-.直径扩大到32米,新抛物线过点(16,0).设新抛物线解析式为y新=-x2+bx+c(0 x-(x-b)2+4b+1,根据图象,写出x的取值范围;(3)
31、如图2,点A的坐标为(5,0),点M在AOB内,若点C,D都在二次函数图象上,试比较y1与y2的大小.11,4y23,4y解析解析(1)易得点M的坐标是(b,4b+1),把x=b代入y=4x+1中,得y=4b+1,点M在直线y=4x+1上.(2)直线y=mx+5与y轴交于点B,点B的坐标为(0,5).又B(0,5)在抛物线上,5=-(0-b)2+4b+1,解得b=2,二次函数的表达式为y=-(x-2)2+9,当y=0时,得x1=5,x2=-1(舍),A(5,0).观察图象可得,当m+5-(x-b)2+4b+1时,x的取值范围为x5.(3)如图,设直线y=4x+1与直线AB交于点E,与y轴交于点
32、F,解方程组得点E,易得F(0,1),点M在AOB内,0b.当点C,D关于抛物线对称轴(直线x=b)对称时,b-=-b,b=.又二次函数图象开口向下,顶点M在直线y=4x+1上,结合图象可知当0by2;41,5,yxyx 4,521,5xy4 21,5 54514341212当b=时,y1=y2;当b时,y10)与y轴交于点A,过点A作x轴的平行线交抛物线于点M,P为抛物线的顶点,若直线OP交直线AM于点B,且M为线段AB的中点,则a的值为.83答案答案2解析解析分别过点P、B向x轴引垂线,垂足分别为C、D.由题可知抛物线的对称轴是直线x=-=1,点A,根据对称性,得点M,又因为M为线段AB的
33、中点,所以点B.易证OPCOBD,得=,又BD=,所以PC=,所以点P.把点P的坐标代入抛物线解析式,得a=2.2ba80,382,384,3OCODPCBD148383142321,3思路分析思路分析根据对称性和解析式特点,求出A、B、M的坐标,再根据三角形相似,求出点P的坐标,代入抛物线解析式求出a.4.(2019云南,21,8分)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.(1)求k的值;(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.解析解析(1)抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称
34、轴是y轴,x=-=0,即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.(2分)当k=2时,二次函数解析式为y=x2+6,它的图象与x轴无交点,不满足题意,舍去.当k=-3时,二次函数解析式为y=x2-9,它的图象与x轴有两个交点,满足题意.k=-3.(4分)(2)点P到y轴的距离为2,点P的横坐标为-2或2.又点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.(6分)点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).(8分)262kk易错警示易错警示(1)抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为x=-.(2)点P(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为
35、|x|,二者容易混淆,从而导致失分.2ba考点二二次函数的图象与性质1.(2019内蒙古呼和浩特,3,3分)二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一坐标系中的大致图象可能是()答案答案D直线y=ax+a=a(x+1)恒过点(-1,0),选项C,D可能正确,选项C中,抛物线y=ax2开口向下,则a0,矛盾,选项C错.故选D.解题关键解题关键得到直线y=ax+a恒过点(-1,0)是解本题的关键.x-2-1012y=ax2+bx+ctm-2-2n2.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表:且当x=-时,与其对应的
36、函数值y0.有下列结论:abc0;-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为(3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x=,-=,b=-a,当x=-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,m),(2,n),m=n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a,4a-4,错误.故选C.0 121212122ba121214121412831283203方法指导方
37、法指导本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键.3.(2017内蒙古包头,11,3分)已知一次函数y1=4x,二次函数y2=2x2+2.在实数范围内,对于x的同一个值,这两个函数所对应的函数值为y1与y2,则下列关系正确的是()A.y1y2B.y1y2C.y1y2D.y1y2答案答案Dy2-y1=2x2-4x+2=2(x-1)2,无论x取何值,(x-1)20,y2y1,故选D.一题多解一题多解根据函数图象可以看出对于同一个x的值,都有y1y2.4.(2018山东滨州,10,3分)如图,若二次函数y=
38、ax2+bx+c(a0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(-1,0),则二次函数的最大值为a+b+c;a-b+c0;b2-4ac0时,-1x0,故错误;因为点A与点B关于直线x=1对称,所以A(3,0),根据题中图象可知,当y0时,-1x3,故正确.故选B.5.(2017湖北武汉,16,3分)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2m3,则a的取值范围是.答案答案-3a-2或a1312解析解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得,am2+(a2-1)m-a=0.解得m=,m1=,m2=-a,2m3,2
39、3或2-a3,解得a或-3a-2.2222(1)(1)42aaaa22(1)(1)2aaa1a1a1312思路分析思路分析把交点坐标代入二次函数解析式,可得到关于m的一元二次方程,利用公式法将m用含a的式子表示出来,再根据2m3,解不等式即可.6.(2018内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x-2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.(1)求直线l的解析式;(2)若直线x=m(m0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当ODAC时,求线段DE的长;(3)取点G(0,-1),连接AG
40、,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使BAP=BCO-BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.1232解析解析(1)当y=0时,x2+x-2=0,解得x1=1,x2=-4.A(-4,0),B(1,0).当x=0时,y=-2,C(0,-2).设直线l的解析式为y=kx+b(k0),解得直线l的解析式为y=-x-2.(3分)(2)ODAC,ADO=90,ADO=AOC=90.DAO=OAC,AODACO.=.123240,2,kbb 1,22.kb 12AOACADAOAO=4,OC=2,在RtAOC中,AC=2.=,AD=.设直线x=m(m0)与x轴交于点F,则DFOC,=,A
41、F=,OF=OA-AF=,m=-.直线x=m(m0)交抛物线于点E,交直线l于点D,D,E,DE=-m-2-=-m2-2m=.(7分)(3)假设存在点P,使BAP=BCO-BAG.A(-4,0),B(1,0),C(0,-2),AB=5,BC=.22AOOC5AOACADAO8 55AFAOADAC16545451,22mm213,222mmm12213222mm1232255在RtAOC中,AC=2,AB2=AC2+BC2,ACB=90,ACO+BCO=90.ACO+BAC=90,BCO=BAC,BAP=BAC-BAG.BAP=GAC.过点G作GMAC于点M,过点P作PNx轴于点N,在RtPA
42、N和RtGAM中,tanBAP=tanGAC,=,即GMAN=AMPN.G(0,-1),C(0,-2),OG=CG=1.OA=4,在RtAOG中,AG=.设AM=x,则CM=2-x.GM2=AG2-AM2=CG2-CM2,5PNANGMAM175()2-x2=1-(2-x)2,解得x=,AM=,GM=.设P,PN=n2+n-2,AN=n+4.(n+4)=.解得n1=-4(舍去),n2=.当n=时,n2+n-2=.P.存在点P,使BAP=BCO-BAG.(12分)1759 559 552 55213,222nnn12322 559 55213222nn1391391232988113 98,9
43、8113 98,9 81思路分析思路分析(1)求出A,C两点坐标,用待定系数法求直线l的解析式;(2)由ODAC易得ACOAOD,再求得AD的长,即可求出点D的横坐标,用m表示出线段DE,代入m=-,可得DE=;(3)由题意证得ACB=90,根据等角的余角相等可得BAC=BCO,进而可得BAP=GAC,作GMAC,PNx轴,构造RtPAN,RtGAM,由正切的定义可得GMAN=AMPN,分别表示出各线段的长,可求得点P的坐标.453225考点三二次函数综合1.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定
44、所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则()A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确答案答案D抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)可以看作抛物线y=-x(x-3)(0 x3)沿y轴向上平移c个单位形成的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0 x3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2沿y轴向下平移c个单位形成的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0 x3)有唯一公共点.当直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,0+2-c=0,c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)
45、时,3+2-c=0,c=5,根据图象可得当20)经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.(1)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;(2)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值;(3)点Q在抛物线上,当AM+2QM的最小值为时,求b的值.1,2Qby233 24解析解析(1)抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),1+b+c=0,即c=-b-1,当b=2时,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,抛物线的顶点坐标为(1,-4).(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-bx-b-1,点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上,yD=b2-bb-b-
46、1=-b-1.由b0,得b0,-b-10,2b点D(b,-b-1)在第四象限,且在抛物线对称轴x=的右侧.如图,过点D作DEx轴,垂足为E,则点E(b,0),AE=b+1,DE=b+1,AE=DE,在RtADE中,ADE=DAE=45,AD=AE,又已知AM=AD,m=5,5-(-1)=(b+1),b=3-1.(3)点Q在抛物线y=x2-bx-b-1上,yQ=-b-b-1=-,可知点Q在第四象限,且在直线x=b的右侧,2b2221,2Qby212b12b2b3413,224bb考虑到AM+2QM=2,可取点N(0,1),如图,过点Q作直线AN的垂线,垂足为G,QG与x轴相交于点M,222AMQ
47、M有GAM=45,得AM=GM,则此时点M满足题意.过点Q作QHx轴于点H,则点H,在RtMQH中,可知QMH=MQH=45,QH=MH,QM=MH,点M(m,0),0-=-m,解得m=-.AM+2QM=,+2-=.b=4.221,02b2324b12b2b14233 2421( 1)24b 212b124b33 24思路分析思路分析(1)根据抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),可得1+b+c=0,当b=2时,c=-3,即y=x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点坐标为(1,-4).(2)由(1)知,c=-b-1,则y=x2-bx-b-1,根据点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-
48、b-1上,可得yD=b2-bb-b-1=-b-1,过点D作DEx轴,可得AE=b+1,DE=b+1,AD=AE,最后根据AM=AD,m=5得出b=3-1.(3)首先确定点Q,取点N(0,1),过点Q作直线AN的垂线,根据题意确定符合条件时点M的位置,依据QH=MH,得出m=-,最后根据AM+2QM=,得出b=4.2213,224bb2b14233 24解题关键解题关键在第(3)问中确定点M的位置及求得m=-是解题的关键.2b14解题技巧解题技巧对于学生而言,第(3)问难点在于两个参数m,b同时存在,用b表示MH时,只要抓住点Q在抛物线上这一特点以及QH=MH这个条件就可求得m=-.2b143.
49、(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2.(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=-x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.若AP=AQ,求点P的横坐标;若PA=PQ,直接写出点P的横坐标;(3)如图2,MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME,NE均与y轴不平行.若MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系.43解析解析(1)将C1
50、先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2.或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2.(2)如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D,C1:y=(x-1)2-4,A(3,0),直线y=-x+b经过A(3,0),b=4,D(0,4),则易知D(0,-4),直线AD的解析式为y=x-4,由得x1=3,x2=,xQ=,xP=xQ=,点P的横坐标为.43432(1)4,443yxyx13131313点P的横坐标为-.详解:由得x1=-,x2=3,故B.设点P的横坐标为a,点P在线段AB上,点P的坐标为,232(1)4,44,3yxyx 737 64,397
