1、Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 本课程是一门现代数学基础课程，介绍拓扑本课程是一门现代数学基础课程，介绍拓扑学的比较容易掌握和比较有应用价值的基础概学的比较容易掌握和比较有应用价值的基础概念和基本方法。念和基本方法。 通过这门课程的学习，使学生在掌握拓扑学通过这门课程的学习，使学生在掌握拓扑学基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整基本知识的基础上，掌握拓扑学研究问题的整体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学体性、抽象性及高度概括性，力求活跃其数学思想，从而培养学生运用较高
2、层次的数学观点思想，从而培养学生运用较高层次的数学观点和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、和数学知识，能对实际问题进行分析、归纳、提炼和解决，提高他们的数学素养。提炼和解决，提高他们的数学素养。课课 程程 要要 求求Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 掌握拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、掌握拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性质。掌握连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。性质。掌握连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。掌握几个重要的拓扑性质的可积性、可商
3、性和遗传性。掌握几个重要的拓扑性质的可积性、可商性和遗传性。拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性拓扑空间、度量空间和连续映射的定义、例子、性质。连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。几个重质。连通性，可数性，分离性，紧性等拓扑性质。几个重要的拓扑性质的可积性和遗传性。要的拓扑性质的可积性和遗传性。教教 学学 目目 标标教教 学学 要要 点点Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。第三部分：几类重要的拓扑性质第三部分：几类重要的拓扑性质(28(28学时学时) ) 连通性连通性,
4、 局部连通性局部连通性, 道路连通性道路连通性, 可数性公理可数性公理, 分离性公理分离性公理, 紧性紧性, 度量空间的紧性与可数性等内容度量空间的紧性与可数性等内容.教教 学学 安安 排排第一部分：预备知识第一部分：预备知识(4 (4学时）学时） 拓扑学的起源拓扑学的起源, 集合的运算等预备知识集合的运算等预备知识.第二部分：第二部分： 拓扑空间与连续映射拓扑空间与连续映射(16(16学时学时) ) 拓扑空间拓扑空间, 度量空间度量空间, 连续映射连续映射, 基基, 邻域邻域, 闭包、内闭包、内部与边界部与边界, 拓扑空间中的序列拓扑空间中的序列, 子空间拓扑子空间拓扑, 有限积拓扑有限积拓
5、扑, 商映射等商映射等.Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。教教 材材熊金城熊金城点集拓扑学讲义点集拓扑学讲义 高等教育出版社高等教育出版社 参参 考考 资资 料料1 1、陈奕培陈奕培. . 一般拓扑学一般拓扑学, ,厦门大学出版社厦门大学出版社2 2、梁基华等梁基华等拓扑学基础拓扑学基础, ,高等教育出版社高等教育出版社3 3、王敬庚王敬庚. . 直观拓扑直观拓扑, ,北京师范大学出版社北京师范大学出版社4 4、 美美 斯蒂芬斯蒂芬 巴尔巴尔. . 拓扑实验拓扑实验 上海教育出版
6、社上海教育出版社 Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。1. 端正学习态度端正学习态度,保证出勤保证出勤,不得无故旷课不得无故旷课.2. 认真并按时完成作业认真并按时完成作业.3. 阅读理解五篇左右本课程相关的论文阅读理解五篇左右本课程相关的论文. (其中包括外文论文一篇其中包括外文论文一篇).4. 平时表现以平时表现以20%记录学期总成绩。记录学期总成绩。5. 考试考试: 开卷考试，占学期总成绩开卷考试，占学期总成绩80%。考核要求考核要求Department of Mathema
7、tics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。哥尼斯堡哥尼斯堡七桥问题七桥问题 四色问题四色问题Mbius带带Euler示性数示性数1736年欧拉年欧拉解决七桥问题解决七桥问题1976年年9月四月四色问题得到解决色问题得到解决Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 哥尼斯堡哥尼斯堡是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。十八世纪在这条河上建有十八世纪在这条河上建有七座桥七座桥，将河中间的
8、两个岛和河，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步岸联结起来。人们闲暇时经常在这上边散步哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 一天有人提出：一天有人提出：能不能每座桥能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的都只走一遍，最后又回到原来的位置。位置。 这个问题看起来很简单这个问题看起来很简单,有很有趣的问题吸引了大家有很有趣的问题吸引了大家. 很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确理想的答案还不那么容易来要得到一个明确理想的答案还不那么容易哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡七桥问题哥尼斯堡七桥问题 Dep
9、artment of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉欧拉，欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出欧拉经过一番思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。了解答。 而把七座桥看而把七座桥看作这四个点之间的作这四个点之间的连线连线。那么这个问题就简化成，。那么这个问题就简化成，能不能用一能不能用一笔就把这个图形画出来。笔就把这个图形画出来。 经过进一步的分析，欧拉得出结论经过进一步的分析，欧拉得出结论不可能每座桥
10、都走一不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。这是拓扑学的图形所应具有的条件。这是拓扑学的“先声先声”。他把两座小岛和河的两岸分别看作他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点四个点，Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。Euler示性数示性数 对于一个多面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，对于一个多面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可
11、如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面。那么像这样，表面经过连续变形可变为球变为一个球面。那么像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做面的多面体，叫做简单多面体简单多面体。棱柱、棱锥、正多面体等。棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体。一切凸多面体都是简单多面体。 欧拉定理告诉我们，欧拉定理告诉我们，简单多面体的顶点数简单多面体的顶点数V、棱数、棱数E及面数及面数F间间有关系：有关系：V+F-E=2。Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。四色
12、问题四色问题 四色问题又称四色猜想，是世界四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一近代三大数学难题之一 ,四色问题的内容是：四色问题的内容是： “任何一张地图只用四种颜色就能任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的使具有共同边界的国家着上不同的颜色。颜色。” “将平面任意地细分为不相重迭将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。的数字。” Department of Mathematics本文档所提供的信息仅
13、供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 数学史上正式提出数学史上正式提出“四色问题四色问题”的时间是在的时间是在1852年。当时年。当时伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦的大学的一名学生法朗西斯向他的老师、著名数学家、伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，伦敦大学数学教授莫根提出了这个问题，可是莫根无法解答，求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个求助于其它数学家，也没有得到答案。于是从那时起，这个问题便成为数学界的一个问题便成为数学界的一个“悬案悬案”。 一直到二十年前的一直到二十年前的1976年年9
14、月，月，美国数学会通告美国数学会通告正式正式宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的宣布了一件震撼全球数学界的消息：美国伊利诺斯大学的两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了两位教授阿贝尔和哈根，利用电子计算机证明了“四色问四色问题题”这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题这个猜想是完全正确的！他们将普通地图的四色问题转化为转化为2000个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计个特殊图的四色问题，然后在电子计算机上计算了足足算了足足1200个小时，最后成功地证明了四色问题。个小时，最后成功地证明了四色问题。Department of Mathematics本文档所提供的信息
15、仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。Mbius带带 数学上流传着这样一个故事：数学上流传着这样一个故事： 先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。一种颜色，不留下任何空白。 这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合圈有两个面，势必要涂完一个
16、面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？的纸圈儿呢？Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 “麦比乌斯圈麦比乌斯圈”变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之变成了拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工一。麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路
17、，避免车辆行人的拥堵。路，避免车辆行人的拥堵。 Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。拓扑的来源拓扑的来源 “拓扑（拓扑（Topology）”一次来自希腊文，它的一次来自希腊文，它的原意是原意是“形状的研究形状的研究”。拓扑学时几何学的一个分。拓扑学时几何学的一个分支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性支，它研究在拓扑变换下能够保持不变的几何属性拓扑属性。拓扑属性。拓拓 扑扑 学学 的的 形形 成成 和和 发发 展展 拓扑学拓扑学是研究图形在保持连续状态下变形时是研究图形在保持
18、连续状态下变形时的那些不变的性质，也成为的那些不变的性质，也成为“橡皮板几何学橡皮板几何学”。Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。例子：例子： 设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块设想一块高质量的橡皮，它的表面是欧几里的平面，这块橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在橡皮可以任意被拉伸、压缩，但是不能够被扭转或折叠。在橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。橡皮的表面上有由结点、弧、环、面组成的可能任意图形。 我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮
19、进行这些变换的过程我们对橡皮进行拉伸、压缩，在橡皮进行这些变换的过程中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想中，图形的一些属性消失，一些属性将继续保持存在。设想象皮表面有一个多边形，里面有一个点。象皮表面有一个多边形，里面有一个点。 当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的当拉伸、压缩橡皮时，点依旧在多边形中，点和多边形的位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所位置关系不会发生变化，但是多边形的面积会发生变化。所以：以：“点的内置点的内置”是拓扑属性，而是拓扑属性，而面积面积不是拓扑属性，拉伸不是拓扑属性，拉伸和压缩就是和压缩就是拓扑变换。拓扑变换。Depar
20、tment of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之在地图上仅用距离和方向参数描述地图上的目标之间的关系总是不圆满的。间的关系总是不圆满的。 因为图上两点之间的距离和方向会随着地图投影的不因为图上两点之间的距离和方向会随着地图投影的不同而发生变化，故仅用距离和方向参数还不能够确切地表同而发生变化，故仅用距离和方向参数还不能够确切地表示它们之间的空间关系。（如下图）示它们之间的空间关系。（如下图）拓扑还是描述目标间关系需要拓扑还是描述目标间关系需要Longitud
21、e/Latitude投影Gauss-Krivger投影Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎从上图可以看出，用拓扑关系表示，不论怎么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。么变化，其邻接、关联、包含等关系都不改变。拓扑关系能够从拓扑关系能够从质质的方面和的方面和整体整体的概念上反映空的概念上反映空间实体的空间结构关系。间实体的空间结构关系。 研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将研究拓扑关系对于地图数据处理和正确显示将是十分重要的。是十分重要
22、的。Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析黎曼创立黎曼几何以后把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。函数论的基础，更加促进了拓扑学的进展。 拓扑学的发展的促进拓扑学的发展的促进二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了扑学开拓了新的面貌。拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述
23、的问题都可以应用集合来论述。要精确化描述的问题都可以应用集合来论述。 Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。 拓扑学发展到今天，在理论上已经分成了两拓扑学发展到今天，在理论上已经分成了两个分支：个分支： 点集拓扑学偏重于用分析的方法来研究，或点集拓扑学偏重于用分析的方法来研究，或者叫做者叫做分析拓扑学分析拓扑学 代数拓扑是偏重于用代数方法来研究。代数拓扑是偏重于用代数方法来研究。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。分方程和其他许多数学分支中都有广泛的应用。 这两个分支现在又有统一的趋势这两个分支现在又有统一的趋势Department of Mathematics本文档所提供的信息仅供参考之用，不能作为科学依据，请勿模仿。文档如有不当之处，请联系本人或网站删除。
