1、函数的奇偶性 在日常生活中，有非常多的轴对称现象，在日常生活中，有非常多的轴对称现象，如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几如人与镜中的影关于镜面对称，请同学们举几个例子。个例子。 除了轴对称外，有除了轴对称外，有些是关于某点对称，如些是关于某点对称，如风扇的叶子，如图：风扇的叶子，如图：它关于什么对称？它关于什么对称？ 而我们所学习的函数图像也有类似的对称现象，请看下面的函数图像。观察下面两组图像，它们是否也有对称性呢？xyO1-1f(x)=xf(x)=x2 2（1）（2）yxO)0(1)(xxxfx0-x0f x 3f x -xxf(-2)=(-2)2=4 f(2)=4例如：函数例如：函
2、数f(x)=xf(x)=x2 2 ，如下：，如下： f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2 f(-1)=f(1)f(-2)=f(2)f(-x)=f(x)结论结论:当自变量当自变量x任取定义域任取定义域中的一对相反数时中的一对相反数时,对应的对应的函数值相等，即函数值相等，即f(-x)=f(x)例如：对于函数例如：对于函数f(x)=xf(x)=x3 3有有 f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8 f(-x)=(-x)3=-x3f(-1)= - f(1)f(-2)= - f(2)f(-x)= - f(x)-xx结论结论:
3、当自变量任取定义域中的当自变量任取定义域中的两个相反数时两个相反数时,对应的函数值也对应的函数值也互为相反数互为相反数,即即f(-x)=-f(x)函数奇偶性的定义: 偶函数定义偶函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个任意一个x x, ,都有f(-x)=f(x)f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义奇函数定义: : 如果对于函数f(x)定义域内的任意一个任意一个x x, , 都有f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.理解定义的图像如图所示4 , 2,)(2xxxfyox4-2为偶函数吗？能说4 , 2,)(2xxxf函数
4、具有奇偶性的前提是什么？函数具有奇偶性的前提是什么？函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称对于奇、偶函数定义的几点说明:(2) 定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的先决条件。 （3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就 是说函数f(x) 具有奇偶性。在线测试在线测试1、对于定义在对于定义在R上的函数上的函数f(x)，下列判断是否正确？，下列判断是否正确？（1）若）若f(x)是偶函数，则是偶函数，则f
5、(-2)=f(2) ( )（2）若）若f(-2)=f(2)，则函数，则函数f(x)是偶函数（是偶函数（ ）（3）若）若f(-2)f(2)，则函数，则函数f(x)不是偶函数（不是偶函数（ ）2、已知函数、已知函数f(x)是偶函数，且是偶函数，且f（3）=3，则，则f(-3)=（ ）A、-3 B、3 C、0 D、无法确定、无法确定3、下列四个结论：下列四个结论：偶函数的图像一定与偶函数的图像一定与y轴相交；轴相交；奇函数的图像一定过原点；奇函数的图像一定过原点；偶函数的图像关于偶函数的图像关于y轴对称；轴对称；奇函数奇函数y=f(x)(x)的图像必过（的图像必过（-a,f(a)）表述正确的个数是表
6、述正确的个数是A、1 B、 2 C、3 D、4v4、已知函数f(x)是奇函数，且f(3)=3，则f(-3)等于（ ） A、-3 B、3 C、0 D、无法确定v5、已知函数f(x)=x3，-5x5，则下列结论正确的是（ ）（A） 函数f(x)是奇函数（B）函数f(x)的图像关于原点中心对称（C）函数定义域中由无数多个x，使得f(-x)=-f(x)（D）函数f(x)的定义域是关于原点对称的区域例例1.根据下列函数图象根据下列函数图象,判断函数奇偶性判断函数奇偶性.2( )2f xx yxyx2( )2f xxxyx( )21f xxyx( )2f xxy,1x 典例详解典例详解xoy(a,f(a)
7、(-a,f(-a)-aa奇函数的图象关于原点对称，反过来，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数那么这个函数是奇函数.xoy-aa(a,f(a)(-a,f(-a)偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称，反过轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于来，如果一个函数的图象关于y轴轴对称，那么这个函数是偶函数对称，那么这个函数是偶函数.oyx例例2 已知函数已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的轴右边的图象如图，画出图象如图，画出y=f(x)在在 y轴左边的图象。轴左边的图象。 第一课时【互动探究案】
8、例2、已知函数y=f(x)是偶函数，且知道x 0是的图像，请作出另一半图象。yx例3. 判断下列函数的奇偶性(1) f(x)=x3+x (2) f(x)=3x4+6x2 +a解: 定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x) = -x3-x = -(x3+x) 即 f(-x)= - f(x) f(x)为奇函数解: 定义域为R f(-x)=3(-x)4+6(-x)2 +a =3x4+6x2 +a 即 f(-x)= f(x) f(x)为偶函数 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤: 先求出定义域，看定义域是否关于原点对称.再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否成立.用定义法判断函数奇
9、偶性解题步骤用定义法判断函数奇偶性解题步骤:(1)先确定函数定义域先确定函数定义域,并判断并判断定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称;(2)求求f(-x)，找，找 f(x)与与f(-x)的关系的关系;若若f(-x)=f(x),则则f(x)是偶函数是偶函数;若若f(-x)= - f(x),则则f(x)是奇函数是奇函数.(3)作出结论作出结论.f(x)是偶函数或奇函数或非奇非偶函是偶函数或奇函数或非奇非偶函数或即是奇函数又是偶函数。数或即是奇函数又是偶函数。练习: 说出下列函数的奇偶性:f(x)=x4 _ f(x)=x _ f(x)=x -2 _ f(x)=x5 _f(x)=x -3 _
10、f(x)= x -1 _奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数 对于形如 f(x)=x n ( ) 的函数，在定义域R内: 若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。Zn思考1：函数f(x)=2x+1是奇函数吗？是偶函数吗？xy012f(x)=2x+1-1分析：函数的定义域为R 但是f(-x)=2(-x)+1 = -2x+1 f(-x) - f(x)且f(-x) f(x) f(x)既不是奇函数也不是偶函数。（也称为非奇非偶函数） 如右图所示：图像既不关于原点对称也不关于y轴对称。 (1) f(x)= (2) f(x)=x2 x- 4 , 4) 解: 定义域不关于原点 对 称 或 f(
11、-4)=(-4)2 =16; f(4)在定义域里没有意义. f(x)为非奇非偶函数x解: 定义域为 0 ,+) 定义域不关于原点对称 f(x)为非奇非偶函数思考2：以下两个函数是奇函数吗？是偶函数吗？思考3：在前面的几个函数中有的是奇函数，有的是偶函数，也有非奇非偶函数。那么有没有这样的函数，它既是奇函数又是偶函数呢？有。例如：函数 f(x)=0是不是只有这一个呢？若不是，请举例说明。xy01f(x)=0-1奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数 根据奇偶性, 函数可划分为四类: 1奇偶性定义奇偶性定义:对于函数对于函数f(x),在它的定义域内，在它的定义域内， 若有若有f(-x)=-f(x), 则则f(x)叫做奇函数；叫做奇函数； 若有若有f(-x)=f(x), 则则f(x)叫做偶函数。叫做偶函数。 2图象性质图象性质: 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y轴对称轴对称. 3判断奇偶性方法：判断奇偶性方法：图象法，定义法。图象法，定义法。 4定义域关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提是函数具有奇偶性的前提
