1、 中国科学院中国科学院大学大学 20202020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（科目名称：高等数学（乙乙） 考生须知：考生须知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、一、 选择题选择题 (本题满分 50 分，每小题 5 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。) （1）设sin2 ,0( ) =,0
2、xex xf xaxb x 处处连续，处处可导。则, a b取值为（ ） 。 （A）2,0ab （B）1,0ab （C）2,1ab （D）0,0ab （2） 下列一元函数积分公式中，错误的是（ ） 。 （A）2200(sin )d(cos )dfxxfxx （B）2200(sin ,cos )d(cos ,sin )dfxxxfxxx （C）200(sin )d2(sin )dfxxfxx （D）200(cos )d2(cos )dfxxfxx （3）1220d=(2) 1x xxx（ ） 。 （A） （B）2 （C）3 （D）4 （4）下列级数不收敛不收敛的是（ ） 。 （A）1121543
3、nnnn （B）1221nnnn （C）1231nnn （D）1cos(| 1)nnqnx q 科目名称：高等数学（乙） 第 1 页 共 4 页 （5）下列说法完全正确的是（ ） 。 （A）令1(1) , 0( )1 , 0 xxxf xx ，则0为( )f x的第二类间断点。 （B）令2( )lim,1nxnxnxx ef xxRe，则( )f x为连续函数。 （C）令1, ( )0 xD xx为有理数， 为无理数 ，则( )D x为偶函数，但不是周期函数。 （D）设( )f x为0,1上单调非减函数且(0)0f，(1)1f，则( )f x可以取到0,1上的任何一个值。 （6）下列极限正确的
4、是（ ） 。 （A）2lim sin10nn，nN。 （B）30tansinlim1sinxxxx。 （C）1111lim1 2 32 3 4(1) (2)3nnnn ，nN。 （D）1lim (arctan )22xxx。 （7）考虑半径为(01)aa的圆222xya，过点(0,1)P做该圆的两条不同切线，切点分别为A和B，若PAB为等边三角形，则该圆的半径为（ ） 。 （A）33 （B）22 (C) 12 (D) 13 （8）2221100 xxydxedy（ ） 。 （A）(1)4e （B）(1)2e （C）1e （D） （9）2222lnLxy dxyxxyxy dy（ ） ，其中L表
5、示矩形区域 ABCD边界沿逆时针方向,A(3,2),B(6,2),C(6,4),D(3,4)。 （A）50 （B）52 （C）28 （D）56 科目名称：高等数学（乙） 第 2 页 共 4 页 （10）设函数12( ),( )y xyx为二阶常系数线性齐次微分方程( )( )( )0y xpy xqy x的两 个特解，则12( ), ( )y xy x的线性组合能构成该方程通解的充分条件是（ ） 。 （A）1122( )( )( )( )0y x yxy x yx。 （B）1122( )( )( )( )0y x yxy x yx。 （C）1221( )( )( ) ( )0y x yxy x
6、 y x。 （D）1221( )( )( ) ( )0y x yxy x y x。 二二、(本题满分本题满分 10 分分) 求过点:(0,1, 1)P，与平面:350 xyz 平行且与直线 32230:210 xyzlxyz 共面的直线方程。 三三、(本题满分本题满分 10 分分) 设方程0 xyyx，求导函数( )y x。 四四、(本题满分本题满分 10 分分) 求如下心形曲线2sinsin2 ,2coscos2 (02 )xtt yttt 的长度。 科目名称：高等数学（乙） 第 3 页 共 4 页 五五、(本题满分本题满分 10 分分) 令曲线C为圆柱面2210 xz 与平面10 xyz
7、的交线, 求C到原点的最大和最小距离。 六六、(本题满分本题满分 10 分分) （1）证明：2111arctanarctanarctan22121nnn。 （2）求级数211arctan2nn的和。 七七、(本题满分本题满分 10 分分) 求下列常微分方程初值问题的解：( ) + , 02yxy xxxy；(1) 2 y。 八八、(本题满分本题满分 10 分分) 计算第二型曲面积分222(22)Sxyz dydz，其中S为半球面221xyz被锥面22xyz截下部分的内侧。 九九、(本题满分本题满分 10 分分) （1）求幂级数1nnnx的收敛域与和函数； （2）求级数1213nnn之和。 十十、(本题满分本题满分 10 分分) （1）证明：111ln(1)1nnn ，nN。 （2）令111ln2nann ，证明：na收敛。 十十一一、 (本题满分本题满分 10 分分) 设三阶连续可微函数( ) 0f x， 其中(0,1)x。 并且( ) = 0f x在区间(0,1)内存在两个相异实根。 证明：存在(0,1)，使得( )0f。 科目名称：高等数学（乙） 第 4 页 共 4 页
