1、重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学2017年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：理学院 学科、专业名称：统计学考试科目（代码）：数理统计（820）(A) （试题共 4 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一、简答与证明（共30分）设来自总体为的样本。1. 给出分布与正态分布的关系，并利用此关系证明：服从分布，并指出该分布的自由度。 （10分）2. 利用F分布与分布的关系，证明：并计算 。 （10分） 3.令 为 的无偏估计，求；并给出 的分布（不证明），利用t分布、 正态分布、 分布的关系，证明：（10分） 第 1 页二
2、、计算题（共60分）1. （40分）设来自总体为的样本。（1） 当的时候，求的极大似然估计，并判断是否为的 无偏估计。（15分）（2） 当的时候，求的Fisher信息量，给出的无偏估计的C-R下界。（7分）（3） 当的时候，求的最大似然估计，并给出的密度函数。（10分）（4） 有三个不同的估计的时候，若三个都为无偏估计，怎样判断其优劣，若至少有一个不是无偏估计的时候，怎样判断其优劣，给出你的方法。（6分）（5） 当的时候，对于假设检验问题：，给出拒绝域的形式，不用计算。（2分）2. （20分）设来自总体为的样本，已知 显著性水平 ，（1） 对于假设检验问题：，给出检验统计量，并给出拒绝域，当，
3、样本均值为7.8的时候，是否拒绝原假设。（10分）第 2 页（2） 给出的双侧置信区间，并给出假设检验问题：的拒绝域，说明两者的关系。（10分）3、 应用题（共40分）1. （20分）某厂使用两种不同的原料A、B生产同一类型产品，随机选择使 用原料A生产的样品22件，测得平均质量为2.36（kg），样本标准差为0.57（kg），取使用原料B生产的样品24件，测得平均质量为2.55（kg）,样本标准差为0.48（kg），设产品质量服从正态分布，两样本独立。（1） 若有经验说明，两总体方差相等，在时候，问能否认为使用原材料B生产的平均质量较使用原料A生产的平均质量显著大。（10分）（2） 若对于两
4、总体方差没有任何的经验信息，怎样检验两总体均值是否有显著差异？给出你的方法。（10分）2.（20分）某厂有四个车间生产同一种产品，为了考查四个车间产品中某元素含量是否一致，特在每个车间生产的产品中各抽取相同数量的样品进行测量，结果如下：车间某元素含量（%）A1A2A3A42.84 2.95 2.73 3.18 3.04 2.90 3.08 2.983.18 3.26 3.48 3.35 3.30 3.06 3.24 3.412.99 3.10 3.19 3.27 2.86 3.13 3.04 2.942.96 3.24 3.36 3.11 3.15 3.18 3.30 3.06（1） 假定数据
5、满足方差分析的条件，给出总偏差平方和，因子平方和 和误差平方和的计算公式及其之间的关系。（8分）（2） 在（1）的条件下，完成下表 （6分）方差分析表来源平方和自由度均方F比因子A误差e5081.5-总和T9685.875-第 3 页（3） 比较各车间产品中元素含量的均值有无显著差异。 （4分）（4） 给出总体方差的无偏估计量。（2分）四、案例分析（20分） 高老师为了解08级统一班同学毕业四年后收入情况，在班级群里发出消息，调查班上同学现在的年收入情况，该班毕业31人，群里有28人，有13人回复，具体回复如下：同学1：年收入10万，税前；同学2：年20万同学3：年收入5万，税后；同学4：月净
6、收入3200，公积金850，年终绩效2.4万，无其他收入；同学5：10.4万；同学6：4.5万；同学7：1520万同学8：约15万；同学9：5-6万；同学10：7万同学11：10-12万；同学12：约17万；同学13：80,000。（1） 对调查数据，我们一般需要进行一些预处理（如数据的单位是否一致、是否同一种类型数据、是否具有可比性、是否有缺失值、是否奇异值等），请对上述实际调查数据进行预处理，形成结构化的数据表（行表示样本，列表示年收入），以便后续的统计分析。（10分）（2） 利用处理后的数据，可以进行哪些描述性统计分析来对该班同学的年收入进行评价。（5分）（3） 若该班第14位同学的年税后收入为200万，能否用平均值来描述收入分布的特征？若不妥，请给出更好的数字特征。（5分）试题可能用到：第 4 页
