1、 生活中的轴对称（优生集训）生活中的轴对称（优生集训） 一、综合题一、综合题 1生活中，有人喜欢把传送的便条折成“”形状，折叠过程按图、的顺序进行（其中阴影部分表示纸条的反面） ：如果由信纸折成的长方形纸条（图）长为厘米，分别回答下列问题： （1）如果长方形纸条的宽为厘米，并且开始折叠时起点与点的距离为厘米，那么在图中， 厘米； 在图中， 厘米 （2）如果长方形纸条的宽为厘米，现不但要折成图的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点与点的距离（结果用表示） 2在数轴上, 已知在纸面上有一数轴 (如图), 折叠纸面. （1）若 1 表示的点与
2、-1 表示的点重合, 则-2 表示的点与何数表示的点重合; （2）若- 1 表示的点与 5 表示的点重合, 0 表示的点与何数表示的点重合; （3）若- 1 表示的点与 5 表示的点之间的线段对折 2 次, 展开后, 请写出所有的折点表示的数? 3如图，从数轴上的原点开始，先向左移动 1cm 到达 A 点，再向左移动 4cm 到达 B 点，然后向右移动 10cm 到达 C 点 （1）用 1 单位长度表示 1cm，请你在题中所给的数轴上表示出 A、B、C 三点的位置； （2）把这条数轴在数 m 处对折，使表示11 和 2017 两数的点恰好互相重合，则与 B 点重合的点所表示的数是 ，m （3）
3、把点 C 到点 A 的距离记为 CA，点 B 到点 A 的距离记为 BA， CABA cm； 若点 B 以每秒 3cm 的速度向左移动，同时 A、C 以每秒 1cm、5cm 的速度向右移动，设移动时间为 t（t0）秒，试探究 CAAB 的值是否会随着 t 的变化而改变？请说明理由 4如图，将一张长方形纸片沿 EF 对折，使 AB 落在 的位置； （1）若1的度数为 a，试求2的度数（用含 a 的代数式表示） ； （2）如图，再将纸片沿 GH 对折，使得 CD 落在 的位置. 若 ，1的度数为 a，试求3的度数（用含 a 的代数式表示） ： 若 ，3的度数比1的度数大 20，试计算1的度数. 5
4、如图，已知直线 AB射线 CD，CEB=110。P 是射线 EB 上一动点，过点 P 作 PQEC交射线CD 于点 Q，连接 CP，作PCF=PCQ，交直线 AB 于点 F，CG 平分ECF。 （1）若点 P，F，G 都在点 E 的右侧、 求PCC的度数； 若 EGC-ECG=30，求CPQ的度数。 （不能使用“三角形的内角和是 180”直接解题） （2）在点 P 的运动过程中，是否存在这样的情形。使ECC：EFC=3：2？若存在，直接写出CPQ的度数；若不存在，请说明理由。 6问题解决： （1）问题情境：如图 1 所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 A、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，
5、才能使从 A、B 到 P 的距离之和最短？请画出点 P 的位置； （2）问题理解：如图 2，在ABC中，ABAC，AD 平分BAC，点 E 是 AC 边的中点，点 P是线段 AD 上的动点，画出 PCPE 取得最小值时点 P 的位置； （3）问题运用：如图 3，在ABC中，ABAC13，BC10，AD12，AD 是BAC的平分线，当点 E、P 分别是 AC 和 AD 上的动点时，求 PCPE 的最小值 7已知：直线 ab，点 A，B 在直线 a 上，点 C，D 在直线 b 上， 图 3 图 4 （1）连接 AD，BC，BE 平分ABC，DE 平分ADC，且 BE，DE 所在的直线交于点 E 如
6、图 1，若ABC60，ADC70，则BED 的度数为 ； 如图 2，设ABC，ADC，则BED 的度数为 （用含有 ， 的式子表示） （2）如图 3，EF 平分MEN，NP 平分END，EQ/NP，则FEQ 和BME 的数量关系是 。 （3）如图 4，若BAP BAC，DCP ACD，且 AE 平分BAP，CF 平分DCP，猜想E+F 的结果并且证明你的结论； 8如图，AD BC，BAD的平分线交 BC 于点 GBCD90 （1）试说明：BAGBGA： （2）如图 2，BCD的平分线交 AD 于点 E 交射线 GA 于点 F， 写出AFC，BAG的数量关系，并说明理由 若ABG55，则AFC
7、（3）如图 3，线段 AG 上有点 P，满足ABP3PBG，过点 C 作 CHAG若在直线 AG 上取一点 M，使PBMDCH，则 的值是 9教材呈现：如图是华师版七年级下册数学教材第 76 页的部分内容 如图，已知ABC分别用1、2、3表示ABC的三个内角，证明1+2+3180 解：延长 BC 至点 E，以点 C 为顶点，在 BE 的上侧作DCE2，则 CDBA（同位角相等，两直线平行） （1）请根据教材提示，结合图一，将证明过程补充完整 （2）结论应用： 如图二，在ABC中，A60，BP 平分ABC，CP 平分ACB，求BPC的度数 如图三，将ABC的A折叠，使点 A 落在ABC外的 A1
8、处，折痕为 DE若A，BDA1，CEA1，则 、 满足的等量关系为 （用含 、 的代数式表示） 10如图，在等边 中，已知点 在直线 上（不与点 、 重合） ，点 在直线 上，且 图 1 图 2 （1）若点 为线段 的中点时，求证： ； （2）若 的边长为 2， 求 的长 11已知长方形纸片 ABCD，点 E 在边 AB 上，点 F、G 在边 CD 上，连接 EF、EG将BEG 对折，点 B 落在直线 EG 上的点 B处，得折痕 EM；将AEF 对折，点 A 落在直线 EF 上的点 A处，得折痕 EN （1）如图 1，若点 F 与点 G 重合，求MEN 的度数； （2）如图 2，若点 G 在点
9、 F 的右侧，且FEG30，求MEN 的度数； （3）若MEN，请直接用含 的式子表示FEG 的大小 12如图 1，将一段长为 60cm 绳子 AB 拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计） ，使绳子与自身一部分重叠. （1）若将绳子 AB 沿 M、N 点折叠，点 A、B 分别落在 、 处. 如图 2，若 、 恰好重合于点 处，MN= cm； 如图 3，若点 落在点 的左侧，且 ，MN= cm； 若 ，MN= cm.（用含 n 的代数式表示） （2）如图 4，若将绳子 AB 沿 N 点折叠后，点 B 落在 处，在重合部分 上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比
10、为 3：4：5，直接写出 AN 所有可能的长度. 13已知长方形纸片 ABCD，点 E 在边 AB 上，点 F、G 在边 CD 上，连接 EF、EG，将BEG对折，点 B 落在直线 EG 上的点 B处，得折痕 EM；将AEF对折，点 A 落在直线 EF 上的点 A处，得折痕 EN （1）如图 1，若点 F 与点 G 重合，求MEN的度数； （2）如图 2，若点 G 在点 F 的右侧，且FEG30，求MEN的度数； 14利用折纸可以作出角平分线 （1）如图 1，若AOB58，则BOC （2）折叠长方形纸片，OC，OD 均是折痕，折叠后，点 A 落在点 A，点 B 落在点 B，连接OA 如图 2，
11、当点 B在 OA上时，判断AOC与BOD的关系，并说明理由； 如图 3，当点 B在COA的内部时，连接 OB，若AOC44，BOD61，求AOB的度数 15如图， 与 的角平分线交于点 P （1）若 ， ，求 的度数； （2）猜想 ， ， 的等量关系 16 阅读思考：小迪在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示，探索过程如下： 如图 1 所示，线段 的长度可表示为： ，于是他归纳出这样的结论：如果点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，当 时， （较大数一较小数）. （1）尝试应用： 如图 2 所示，计算： ， ； 把一条数轴在数 m 对应的点处对折，使
12、表示-20 和 2020 两数的点恰好互相重合，求数 m 的值； （2）问题解决： 如图 3 所示，点 P 表示数 x，点 M 表示数 ，点 N 表示数 ，且 ，求出点 P 和点 N 分别表示的数； 在上述的条件下，是否存在点 Q，使 ？若存在，请直接写出点 Q 所表示的数；若不存在，请说明理由. 17阅读思考： 小芬在学习过程中，发现“数轴上两点间的距离”可以用“表示这两点数的差”来表示，探索过程如下：如图 1 所示，线段 AB，BC，CD 的长度可表示为：AB341，BC54（1） ，CD3（1）（4） ，于是他归纳出这样的结论：如果点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，当 ba
13、 时，ABba（较大数较小数）. （1）尝试应用： 如图 2 所示，计算：OE ，EF ； 把一条数轴在数 m 处对折，使表示18 和 2020 两数的点恰好互相重合，则 m ； （2）问题解决： 如图 3 所示，点 P 表示数 x，点 M 表示数2，点 N 表示数 2x+14，且 MN4PM，求出点 P和点 N 分别表示的数； 在上述的条件下，是否存在点 Q，使 PQ+QN3QM？若存在，请直接写出点 Q 所表示的数；若不存在，请说明理由. 18同学们，我们己学习了角平分线的概念和性质，那么你会用它们解决有关问题吗？ （1）如图（1） ，己知 ，请你画出它的角平分线 ，并填空：因为 OC 是
14、 的平分线，所以 = （2）如图（2） ，己知 ，若将 沿着射线 OC 翻折，射线 OA 落在 OB 处，请你画出射线 OB，射线 OC 一定平分 理由如下：因为 是由 翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，所以 ，所以射线 是 的角平分线 （3）拓展应用 如图（3） ，将长方形紙片的一角折叠，使顶点 A 落在 C 处，折痕为 ，再将它的另一个角也折叠，顶点 B 落在 OC 上的 D 处并且使 OD 过点 C，折痕为 OF直接利用（2）的结论； 若 ，求 的度数 （写出计算说理过程） 若 ，求 的度数，从计算中你发现了 的度数有什么规律？（写出计算说理过程） 19如图 1，点 O 为直线 A
15、B 上一点，过点 O 作射线 OC，使BOC50.现将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OD 与射线 OB 重合，如图 2. （1）EOC ； （2）如图 3，将三角板 DOE 绕点 O 逆时针旋转一定角度，此时 OC 是EOB 的角平分线，求BOD 的度数； （3）将三角板 DOE 绕点 O 逆时针旋转，在 OE 与 OA 重合前，是否有某个时刻满足DOC AOE，求此时BOD 的度数. 20如图 （1）如图 1，射线 OC 在 的内部，OM 平分 ，ON 平分 ，若 ，求 的度数； （2）射线 OC，OD 在 的内部，OM 平分 ，ON 平分 ，若 ， ，求 的度数； （3）在（
16、2）中， ， ，其他条件不变，请用含 m，n 的代数式表示MON 的度数 不用说理 21将一副三角板如图 1 摆放， ， ， 平分 ， 平分 . （1） = ； （2）将图 1 中的三角板 绕点 旋转到图 2 的位置，求 ； （3）将图 1 中的三角板 绕点 旋转到图 3 的位置，求 . 22如图，已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为1、3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x. （1）若点 P 到点 A、点 B 的距离相等，求点 P 对应的数是 ； （2）数轴上存在点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 10，则 x ； （3）若将数轴折叠，使1 与 3 表示的点重合，则3 表示的点与
17、数 表示的点重合； （4）若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2021（M 在 N 的左侧） ，且 M、N 两点经过（3）折叠后互相重合，则 M，N 两点表示的数分别是：M： ，N： . 23操作探究：已知在纸面上有一数轴左右对折纸面，折痕所在的直线与数轴的交点为“对折中心点” （1）操作一：左右对折纸面，使 1 对应的点与-1 对应的点重合，则-3 对应的点与 对应的点重合； （2）操作二：左右对折纸面，使-1 对应的点与 3 对应的点重合，回答以下问题： 对折中心点对应的数为 ，对折后 5 对应的点与数 对应的点重合； 若数轴上 A、B 两点之间的距离为 11（A 在 B 的左侧） ，且
18、A、B 两点经折叠后重合，通过计算求 A、B 两点对应的数分别是多少 ？ （3）操作三：已知数轴上的点 A 对应的数是 a，点 B 对应的数是 b，对折中心点 C 对应的数是c，此时点 A 与点 B 对折重合，那么 a，b，c 三数满足的关系式为 24如图，在数轴上有一条线段 AB，点 A，B 表示的数分别是2 和11. （1）若 M 是线段 AB 的中点，则点 M 在数轴上对应的数为 . （2）若 C 为线段 AB 上一点，如图，以点 C 为折点，将此数轴向右对折；如图，点 B 落在点 A 的右边点 B处，若 AB BC，求点 C 在数轴上对应的数是多少？ 25如图，长方形 中， ， 为边
19、上一点，将长方形沿 折叠( 为折痕)，使点 与点 重合， 平分 交 于 ，过点 作 交 于点 ， （1）求证: （2）若 ，求 的度数 26在ABC中，BAC90，点 D 是 BC 上一点，将ABD沿 AD 翻折后得到AED，边 AE交射线 BC 于点 F. （1）如（图 1） ，当 AEBC时，求证：DEAC （2）若C2B，BADx（0 x60） 如（图 2） ，当 DEBC时，求 x 的值. 是否存在这样的 x 的值，使得DEF中有两个角相等.若存在，并求 x 的值；若不存在，请说明理由. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解： （1）图中 BE=26-3-2=21（厘米） ，
20、图中 BM=21-23=15（厘米） 故答案为 21，15； 【分析】 （1）结合图形、根据折叠的性质计算即可； （2）根据纸条两端超出点 P 的长度相等、轴对称图形的概念计算即可。 【解析】【解答】解：(3)设第一次对折的中心为 x， x- (-1)=5-x，解得 x=2， 设第二次对折中心为 y， 2-y=y-(-1)或 5-y=y-2， 解得 y=0.5 或 3.5. 综上，对折点表示的数有：0.5，2，3.5. 【分析】(1)根据折叠图形对称的特点先求出对称中心所表示的数，则可求出-2关于对称中心的对称的点所表示的数，即可解答； (2)设对称中心表示的数为 x，根据对称的性质列方程求出
21、对称中心所表示的数，再设 0 表示的点与 y 表示的点重合，然后根据对称的特点列方程求解即可； (3)设第一次对折的中心为 x，根据对称的特点列方程求出第一次折叠后的对称中心所表示的数，设第二次对折中心为 y，分两种情况根据对称的特点分别列方程求解，即可解答. 【解析】【解答】解： （1）从数轴上的原点开始，先向左移动 1cm 到达 A 点，再向左移动 4cm 到达 B 点，然后向右移动 10cm 到达 C 点， 点 A 表示的数为：0-1=-1； 点 B 表示的数为：-1-4=-5； 点 C 表示的数为：-5+10=5； （2）把这条数轴在数 m 处对折，使表示11 和 2017 两数的点恰
22、好互相重合， 解之：m=1003； 设与点 B 重合的数为 x， 解之：x=2011. 故答案为：2001，1003. （3）点 C 表示的数是 5，点 A 表示的数是-1，点 B 表示的数是-5， CA=5-（-1）=6，BA=-1-（-5）=4； CA-BA=6-4=2. 故答案为：2. 【分析】 （1）利用已知条件：分别可得到点 A，B，C 表示的数，然后将点 A，B，C 在数轴上描出来.（2）利用折叠的性质及线段中点的定义，可得到关于 m 的方程，解方程求出 m 的值；设与点 B重合的数为 x，可得到关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，即可得到与 B 点重合的点所表示的数. （3）
23、利用点 A，B，C 表示的数，可求出 AC，AB 的长；然后求出 AC-AB 的值；利用点的运动速度和方向，可用含 t 的代数式分别表示出点 A、B、C 移动后分别表示的数，再求出 AC，AB 的长，然后求出 AC-AB 的值，即可作出判断. 【解析】【分析】 （1）利用平行线的性质可知4=1=，4=BFC=，利用折叠的性质可推出2=BFE；再根据BFE+2+BFC=180，可表示出2的度数. （2）利用平行线的性质可证得 BFE=CGB= ，利用折叠的性质可证得3+HGC=180- ，由此可求出3的度数；由（1）知，BFE=EFB=90- 1，利用垂直的定义，可证得BFC+FGC=90，代入
24、可求出1的度数. 【解析】【分析】 （1）由题知CEB=110，由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可得ECQ=70；由题可知 CP 是FCQ的角平分线，CG 是ECF的角平分线，由及角平分线的性质可知角平分线将角平分成相等的两份，而PCG由FCQ和ECF的其中一个角的和组成，相当于这两个角和的一半，而这两个角的和是ECQ即可求得答案. 根据两直线平行，内错角相等，可得QCGEGC，两个角同时加上ECG 即QCGECGEGC+ECG=ECQ=70 ，根据已知条件 EGC-ECG=30 得出两角，又因为 PQEC ，由两直线平行，内错角相等，CPQ=ECP ，根据前面计算角的度数即可求得答案
25、. （2）这是一个探求题，分两种情况进行讨论： 第一种情况：当点 G、F 在点 E 的右侧时， 假设EGC3x，EFC2x ，根据两直线平行，内错角相等可得QCGEGC=3x，QCF=EFC=2x ，则 GCF =x，由角平分线的性质 PCFPCQ= FCQ= EFC=x ，因为 ECD70， 可求得 x=17.5从而求得PCE的度数即是CPQ的度数. 第二种情况：与第一种情况同理. 【解析】【分析】 （1）如图 1 中，作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 BA交直线 l 于点 P，连接PA，此时 PA+PB 的值最小； （2）如图 2 中，连接 BE 交 AD 于点 P，连接 CP，
26、点 P即为所求； （3）如图 3 中，过点 C 作 CTAB 于 T，证明 AC，AB 关于 AD 对称，作点 E 关于 AD 的对称点 E，连接 PE，则 PEPE，推出 PCPEPCPECT，推出当 P，E在 CT 上时，PEPC 的值最小，最小值为线段 CT 的长。 【解析】【解答】解： （1）如图，过点 E 作 EFAB， BEF=EBA， ABCD ， EFCD， FED=EDC， BEF+ cFED=EBA+EDC， 即BED=EBA+EDC， BE 平分ABC，DE 平分ADC， ， BED=EBA+EDC=65. 故填：65. 如图，过点 E 作 EFAB， BEF+EBA=1
27、80， BEF=180-EBA， ABCD , EFCD， FED=EDC， BEF+FED=180-EBA+EDC， 即BED=180-EBA+EDC， BE 平分ABC，DE 平分ADC， ， ， 故填： . （2）EF 平分MEN，NP 平分END， ， EQNP， ， MEN=BME+END， MEN-END=BME， ， 2FEQ=BME， 故填：2FEQ=BME. 【分析】 （1）过点 E 作 EFAB，根据平行线的性质、角平分线的性质和 ABC60，ADC70， 即可求出BED的度数； 过点 E 作 EFAB，根据平行线的性质、角平分线的性质和设ABC，ADC，即可表示出BED的
28、度数； （2）先运用角平分线的性质表示出NEF和ENP，再根据平行线的性质得出，再表示出MEN-END=BME，由，代入NEF和NEQ的表达式即可求解； （3） 过 E 作 EGAB，过 F 作 FHCD， 根据平行线的性质即可得出 BAEAEG，DCECEG，BAFAFH，DCFCFH， 再根据角平分线的性质结合 BAP BAC，DCP ACD， 即可得出 BAE BAC，DCF DCA， 进而表示出 AEC和AFC，再将两个式子相加，进行简单的运算即可求解. 【解析】【解答】解： （3）有两种情况： 当 M 在 BP 的下方时，如图， 设ABC=4x， ABP=3PBG， ABP=3x，P
29、BG=x， AGCH， BCH=AGB= =90-2x， BCD=90， DCH=PBM=90-（90-2x）=2x， ABM=ABP+PBM=3x+2x=5x， GBM=2x-x=x， ABM：GBM=5x：x=5； 当 M 在 BP 的上方时，如图， 同理得：ABM=ABP-PBM=3x-2x=x， GBM=2x+x=3x， ABM：GBM=x：3x= ， 综上， 的值是 5 或 ， 故答案为：5 或 【分析】 （1）根据平行线的性质与角平分线即可证明； （2）由（1）和角平分线的定义可求解；先根据直角的平分线得出GCF=45，由ABG=55，得出BAG=（180-55）2=62.5，即可
30、得出AFC 的度数； （3）当 M 在 BP 的下方时，M 在 BP 的上方时，两种情况分类讨论即可。 【解析】【分析】 （1）利用平行线的性质得：2=DCE，1=ACD即可求解； （2）利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解即可；根据四边形 BCFD 内角和为 360 度，分别表示出各角得出等式即可。 【解析】【分析】 （1）先求出 ， 再求出 ， 最后证明求解即可； （2）先求出 ， 再求出 ， 最后计算求解即可。 【解析】【分析】 （1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可； （2）根据MEN=NEF+FEG+MEG，求出NEF+MEG即可解决问题； （3）分两种情况分
31、别求解即可。 【解析】【解答】解： （1）因为 、 恰好重合于点 处， 所以 ， cm， 故答案为：30； 由题意得： ， 因为 cm, 所以 cm,即 cm， 所以 ； 故答案为：40； 当点 落在点 的左侧时，由得 ， ； 当点 落在点 的右侧时，如下图， 可知 ， 所以 ， 所以 ， 综上所述，MN 的长度是 或 ； 故答案为： 或 ； 【分析】( 1 ) 根据折叠可得 AM =OM， BN=ON ,再利用线段的和差即可得出 MN 的长度；根据折叠可得 AM=AM, BN= BN , 再利用线段的和差即可得出 MN 的长度；分点 A落在点 B的左侧时和点 A落在点 B的右侧两种情况讨论,
32、 利用线段的和差即可得出 MN 的长度 ; (2 )分别计算出三段绳子的长度, 再分类讨论, 利用线段的和差即可得出 AN 的长度. 【解析】【分析】 （1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可； （2）根据 MENNEF+FEG+MEG ，求出 NEF+MEG， 即可解决问题。 【解析】【解答】解： （1）由折叠知，AOCBOC AOB， AOB58， BOC AOB 5829， 故答案为：29； 【分析】 （1）由折叠得出AOCBOC AOB，即可得出结论； （2） 由折叠得出AOA2AOC，BOB2BOD， 再由点 B落在 OA上，得出AOA+BOB180，即可得出结论；
33、同的方法求出AOA88，BOB122，即可得出结论。 【解析】【分析】 （1）根据三角形的内角和等于 180和角平分线的性质进行计算求解即可； （2）先求出 CCAFDDBE=PPBFPPAE ，再根据角平分线的性质进行求解即可。 【解析】【解答】解： （2）由题意得：， 故答案为：5，8； 【分析】 （1）先找出各点在数轴上表示的数，再根据题干提供的方法分别计算 OE 和 EF 的长即可； 根据折叠的性质可知数 m 所在的点是表示- 20 和 2020 两数的点的中点，再求出表示- 20 和 2020两数的点之间的距离，然后利用题干的方法列式计算即可； （2）根据题干的方法先用 x 表示出
34、MN 和 PM 的长，然后根据建立方程求解即可； 设点 Q 表示数是 y，根据点 Q 所在的位置分：y-3，-3y-2，-2y2，y2 四种情况，分别由 PQ+QN=3QM 建立方程求解即可. 【解析】【解答】解： （1）， ， 故答案为：5，8； 使表示18 和 2020 两数的点之间的距离是 2038， ， ， ， 故答案为：1001； 【分析】(1)根据题干提供的方法计算 OE 和 EF 的长即可； 由折叠的性质得出数 m 所在的点是表示- 18 和 2020 两数的点的中点，再求出表示-18 和 2020 两数的点之间的距离，再求出其距离的一半，最后用 2020 减去这个数即可得出结果
35、； (2)根据题干的方法用 x 表示出 MN 和 PM 的长，然后根据，建立方程求出 x 的值即可； 设点 Q 表示的数是 y，根据点 Q 所在的位置分情况讨论，即若点 Q 在点 P 左边，若点 Q 在点 P和点 M 之间，若点 Q 在点 M 和点 N 之间，若点 Q 在点 N 右侧， 根据 PQ+QN3QM 分别建立方程求解即可. 【解析】【分析】 （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据折叠的性质及角平分线的定义解答即可； （3）由折叠可得COE= ，DOF=BOD，由邻补角求出BOD=180-AOC=120，即得DOF=BOD=60，利用EOF=COE+DOF即可额求出结论； 同方
36、法解答即可. 【解析】【分析】 （1）根据BOC的度数为 50，根据EOC和BOC互余，即可得到答案； （2）根据角平分线的性质以及折叠的性质，由角的和差关系，求出答案即可； （3）根据 OD 和 OC 的位置关系，进行分类讨论，由角的和差关系，计算得到答案即可。 【解析】【分析】本题要用数形结合的思想，再结合角的和差倍分，找出各个角之间的数量关系即可求； （1）根据角平分线的定义可得：，相加可得的度数； （2）根据角平分线的定义得：，将分成三个角相加，并等量代换可得结论； （3）根据第二题即可推出 【解析】【解答】 （1） 平分 ， 平分 . NOB= COB=22.5， MOB= AOD=
37、30, =NOB+MOB=22.5+30=52.5， 【分析】 （1）根据角平分线的性质，根据MON=NOB+BON，求出答案即可； （2）根据题意，求出 x-y 的度数，继而根据MON与各个角之间的关系，求出答案即可； （3）根据题意，求出BOD的度数，继而求出CON=BON，继而根据MON=BOM+BON。 【解析】【解答】解： （1）点 P 到点 A、点 B 的距离相等， 点 P 为线段 AB 的中点， 点 P 对应的数为 1； 故答案为：1； （2）点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 10， 对点 P 的位置分情况讨论如下： 点 P 在点 A 左边， 点 P 到点 A、点 B 的距
38、离之和为 10，且线段 AB 的距离为 4， 点 P 到点 A 的距离为 3， x4； 点 P 在线段 AB 上，不符合题意，舍去； 点 P 在点 B 右边， 点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 10，且线段 AB 的距离为 4， 点 P 到点 B 的距离为 3， x6； 综上所述：x4 或 6； 故答案为：4 或 6； （3）若将数轴折叠，使1 与 3 表示的点重合，则对折点对应的数值为 1， 3 到 1 的距离为 4， 5 到 1 的距离也为 4， 则3 表示的点与数 5 表示的点重合； 故答案为：5； （4）若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2021（M 在 N 的左侧） ，且 M
39、，N 两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为 1， 点 M 到 1 的距离为 1015.5， M 对应的数为1014.5， 点 N 到 1 的距离为 1015.5， N 点对应的数为 1016.5. 故答案为：1014.5，1016.5. 【分析】 （1）根据题意可直接进行求解； （2）对点 P 的位置分情况讨论如下：点 P 在点 A 左边，则有点 P 到点 A 的距离为 3，进而求解即可；点 P 在线段 AB 上，不符合题意，舍去；点 P 在点 B 右边，则有点 P 到点 B 的距离为3，进而求解即可； （3）若将数轴折叠，使1 与 3 表示的点重合，则对折点对应的数值为 1，然
40、后根据题意进行求解即可； （4）若数轴上 M、N 两点之间的距离为 2021（M 在 N 的左侧） ，且 M，N 两点经过（3）折叠后互相重合，则对折点对应的数值为 1，然后根据题意进行求解即可. 【解析】【解答】解： （1）1 与-1 重合， 折痕点为原点， -3 表示的点与 3 表示的点重合 故答案为：3 （2）由表示-1 的点与表示 3 的点重合， 可确定折痕点是表示 1 的点， 5 表示的点与数-3 表示的点重合 故答案为：1，-3 （3）根据题意得 ， 【分析】 （1）1 与-1 重合，可以发现 1 与-1 互为相反数，因此-3 表示的点与 3 表示的点重合； （2）-1 表示的点与
41、 3 表示的点重合，则折痕点为 1，因此 5 表示的点与数-3 表示的点重合；由知折痕点为 1，且 A、B 两点之间距离为 11，则 A 表示 1-5.5=-4.5，B 点表示 1+5.5=6.5 （3）根据题意得 ，从而可得结论 【解析】【解答】解： （1）点 A，B 表示的数分别是2 和11， AB=-2-（-11）=9， M 是线段 AB 的中点， BM= ， 点 M 表示的数为：-11+4.5=-6.5， 故答案为：-6.5； 【分析】 （1）先求出 AB 的长，再利用线段中点的定义求出 BM 的长，继而利用数轴上两点间的距离公式进行求解即可； （2）设 AB=x，根据 AB BC，可得 AB=9x，列方程进行求解即可得答案. 【解析】【分析】 （1）由折叠的性质得出AEB=AEF，证出 AEEG，进而得出结论； （2）求出AEB=70，由平行线的性质进而得出答案. 【解析】【分析】 （1）根据折叠的性质得到BE，根据平行线的判定定理证明； （2）根据三角形内角和定理分别求出C60，B30，根据折叠的性质计算即可；分EDFDFE、DFEE、EDFE三种情况，列方程解答即可.
