1、 概率初步（优生加练）概率初步（优生加练） 一、单选题一、单选题 1如图是一个 44 的方格，若在这个方格内投掷飞镖，则飞镖恰好落在阴影部分的概率是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】解：如图：正方形的面积为 4416，阴影部分占 5 份，飞镖落在阴影区域的概率是 ； 故答案为：C 【分析】本题要理解等可能事件的概率，注意飞镖落到每个方格的概率都是相同的 2某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如下统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ） A0.95 B0.90 C0.85 D0.80 【答案】B 【解析】【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在 0.9，成活的概率估计值
2、约是 0.90 故答案为：B 【分析】先求出这种树苗成活的频率稳定在 0.9，再求概率即可。 3下列说法正确的是（ ） 两条直线被第三条直线所截，同位角相等；“在学校运动场上，抛出的篮球会下落”是必然事件；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；角是轴对称图形 A B C D 【答案】D 【解析】【解答】 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故说法错误； “在学校运动场上，抛出的篮球会下落”是必然事件，故说法正确； 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；故说法正确； 角是轴对称图形，故说法正确； 故答案为：D. 【分析】根据平行线的性质、必然事件、垂线段最短、轴
3、对称图形的定义逐一进行分析即可. 4下列事件中，是必然事件的是（ ） A车辆随机到达一个路口，遇到红灯 B任意掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C400 人中有两个人的生日在同一天 D打开电视机，它正在播动画片 【答案】C 【解析】【解答】解：A. 车辆随机到达一个路口，有可能遇到红灯，也有可能遇不到红灯，故原选项是随机事件，不合题意； B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上，故原选项是随机事件，不合题意； C. 400 人中有两个以上的人的生日在同一天，是必然事件，符合题意； D. 打开电视机，它有可能在播动画片，也有可能不播动画片，故原选项是随机事件，不合题意 故答
4、案为：C 【分析】根据必然事件、随机事件的概念逐项判断即可求解。 5下列说法正确的是（ ） A“短跑运动员 1 秒跑完 100 米”是随机事件 B“将油滴入水中，油会浮在水面”是不可能事件 C“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是必然事件 D“画一个三角形，其内角和一定等于 180”是必然事件 【答案】D 【解析】【解答】A、“短跑运动员 1 秒跑完 100 米”是不可能事件，所以错误； B、“将油滴入水中，油会浮在水面”是必然事件，所以错误； C、“随意翻到一本书的某页，页码是奇数”是随机事件，所以错误； D、“画一个三角形，其内角和一定等于 180”是必然事件，正确。 故答案为：选 D 【
5、分析】根据事件发生的可能性大小判断即可。 6在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中红球个，黄球个，从袋子中随机摸出一个球，摸出黄球的可能性（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】设袋中球的个数为 x 个，根据题意得：， 由此可知 P 可能是 ， 故答案选 C 【分析】根据概率的公式可得。 7下列说法正确的是（ ） A购买一张体育彩票必中奖，是不可能事件 B掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 1 C经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是必然事件 D任意画一个三角形，其内角和是 180的概率为 1 【答案】D 【解析】【解答】解：A.购买一张体育彩票必中奖，是随机事
6、件，故不符合题意； B.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 0.5，故不符合题意； C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，故不符合题意； D.任意画一个三角形，其内角和是 180的概率为 1，符合题意； 故答案为：D 【分析】根据不可能事件、必然事件和概率公式逐项判断即可。 8不透明的袋子里有 50 张 2022 年北京冬奥会宣传卡片，每张卡片正面印有会徽吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融三种图案中的一种，卡片背面完全相同且不透明印有冰墩墩的卡片共有 n 张，若从袋子里随机摸出 1 张卡片，印有冰图案的概率是，则 n=（ ） A25 B10 C5 D1 【答案】B 【解析】【解答】解：由
7、题意得， 解得 故答案为：B 【分析】根据概率公式列出方程 ，求出 n 的值即可。 9在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 3 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中红球的个数大约是( ） A20 个 B16 个 C15 个 D12 个 【答案】D 【解析】【解答】解：设红球有 x 个，根据题意得， 3： （3+x）1：5， 解得 x12， 经检验：x12 是原分式方程的解， 所以估计盒子中红球的个数大约有 12 个. 故答案为：D. 【分析】设红球有 x 个，根据频率估计概率的知识结合概率
8、公式可得：3:(3+x)0.2=1:5，求解即可. 10如图，小亮有一个卡片藏在 9 块瓷砖中的某一块下面（每块瓷砖除图案外其它均相同） ，那么卡片藏在瓷砖 下的概率为（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】解：由图知，瓷砖 共有 3 块，所有瓷砖共有 9 块， 则卡片藏在瓷砖 下的概率为 ， 故答案为：C 【分析】利用概率公式求解即可。 二、填空题二、填空题 11一个质地均匀的骰子，其六面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上的面的数字小于 3 的概率为 . 【答案】 【解析】【解答】 共 6 个数字，其中小于 3 的数有 2 个 投掷一次，朝上的面的数字小于 3
9、 的概率为 . 故答案为： 【分析】找出小于 3 的数字的个数，然后根据概率公式进行计算. 12如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色三角形区域的概率是 【答案】 【解析】【解答】解：由图可知，黑色区域为等腰直角三角形，腰长为 ， 黑色三角区的面积为： ， 飞镖游戏版的面积为： ， 击中黑色三角形区域的概率是： 故答案为： 【分析】先求出阴影部分的面积，再利用几何概率公式求解即可。 13“四时花竞巧，九子粽争新”，端午节吃粽子是我国的传统习俗小佩的妈妈准备了形状大小一样的豆沙粽 3 个、红枣粽 4 个、腊肉粽 2 个，板栗粽 3 个，其中腊肉粽是咸粽
10、，其它粽是甜粽小佩随机选一个，选到咸粽的概率是 【答案】 【解析】【解答】解：由题意可得：粽子总数为 12 个，其中 2 个为甜粽， 所以选到甜粽的概率为： = ， 故答案为： 【分析】由题意可得：粽子总数为 12 个，其中 2 个为甜粽，即可得出答案。 14在一个不透明的袋子中装有白色和红色的球共 20 个，这些球除颜色外都相同每次搅拌均匀后，从袋子中随机摸出一个球，记下球的颜色再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在 0.4 附近，则估计袋子中的红球的个数为 【答案】12 【解析】【解答】解：通过多次重复试验发现摸出白球的频率稳定在 0.4 附近， 从袋子中任意摸出 1 个球，
11、是白球的概率约为 0.4， 估计袋子中的红球的个数为 20 =12（个） 故答案为：12 【分析】根据白球的频率稳定在 0.4 附近，可以得到红球的频率在 0.6 附近，再用 200.6 即可。 15在一个不透明的袋中装有 1 个红球，2 个白球和 4 个黄球，每个球除颜色外都相同，将球搅匀 （1）从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为 ；摸到白球的概率为 ；摸到黄球的概率为 ； （2）若要使得摸到红球的概率是 ，则还要往袋子里添放多 个红球 【答案】（1）； （2）5 【解析】【解答】 （1）袋子中小球共有 1+2+4=7（个） ， 摸到红球的概率为；摸到白球的概率为；摸到黄球的概率为； （2
12、）设还要往袋子里添加 x 个红球， 由题意得，解得 x=5， 经检验 x=5 是原方程的解， 还要往袋子里添加 5 个红球. 【分析】 （1）先求出求的总个数，然后利用概率公式分别求解即可； （2）设还要往袋子里添加 x 个红球，根据红球的个数：球的总个数=1:2，列出方程，求解即可. 16植树节过后，历下区园林绿化管理局为了考察树苗的成活率，于是进行了现场统计，表中记录了树苗的成活情况，则由此估计这种树苗成活的概率约为 （结果精确到 0.1） 植树总数 400 1500 3500 7000 9000 14000 成活数 369 1335 3203 6335 8073 12628 成活的频率
13、0.923 0.890 0.915 0.905 0.897 0.902 【答案】0.9 【解析】【解答】根据表格数据可知：树苗移植成活的频率近似值为 0.9，所以估计这种树苗移植成活的概率约为 0.9. 【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率。 三、解答题三、解答题 17甲、乙两位同学做抛骰子（均匀正方体形状）实验，他们共抛了 60 次，出现向上点数的次数如表： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 8 10 7 9 16 10 （1）计算出现向上点数为 6 的频率 （2）丙说：“如果抛 600 次，那么出现向上点数为 6 的次数一定是 100 次”请判断
14、丙的说法是否正确并说明理由 （3）如果甲乙两同学各抛一枚骰子，求出现向上点数之和为 3 的倍数的概率 【答案】解： （1）出现向上点数为 6 的频率=； （2）丙的说法不正确， 理由： （1）因为实验次数较多时，向上点数为 6 的频率接近于概率，但不说明概率就等一定等于频率； （2）从概率角度来说，向上点数为 6 的概率是的意义是指平均每 6 次出现 1 次； （3）用表格列出所有等可能性结果： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 1
15、2 共有 36 种等可能性结果，其中点数之和为 3 的倍数可能性结果有 12 个 P（点数之和为 3 的倍数）= 【解析】【分析】 （1）直接利用概率公式求得概率即可； （2）利用概率的意义分别分析后即可判断谁的说法正确； （3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 18某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 n 200 500 1000 1500 2000 优等品频数 m 188 471 946 1426 1898 优等品频率 0.940 0.942 0.946 0.951 0.949 （1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图； （2）这批乒乓球“优等品”的概率
16、的估计值是多少？ （3）从这批乒乓球中选择 5 个黄球、13 个黑球、22 个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中 求从袋中摸出一个球是黄球的概率； 现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，问至少取出了多少个黑球？ 【答案】解： （1）如图； （2）这批乒乓球“优等品”概率的估计值是 0.946； （3）袋中一共有球 5+13+22=40 个，其中有 5 个黄球， 从袋中摸出一个球是黄球的概率为：=； 设从袋中取出了 x 个黑球，由题意得 ，解得 x8， 故至少取出了 9 个黑球 【解析】【分析】 （1）根据统计表中的数据，先
17、描出各点，然后折线连结即可； （2）根据频率估计概率，频率都在 0.946 左右波动，所以可以估计这批乒乓球“优等品”概率的估计值是 0.946； （3）用黄球的个数除以球的总个数即可； 设从袋中取出了 x 个黑球，根据搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于，列出不等式，解不等式即可 四、综合题四、综合题 19一个不透明的袋子里有红、黄、白三种颜色的球共 50 个，它们除了颜色不同外都相同；其中黄球的个数比白球个数少 5 个，已知从袋子里随机摸出一个球是红球的概率是 . （1）求袋子里红球的个数； （2）求从袋子里随机摸出一球是白球的概率； （3）从袋子里取出 5 个球（不是红球）后，求
18、从袋子里剩余的球中随机摸出一球是红球的概率. 【答案】（1）解：根据题意得： （个） 答：袋中红球的个数有 15 个. （2）解：设白球有 x 个，则黄球有（x-5）个， 根据题意得 xx-55015 解得 x20. 则随机摸出一球是白球的概率为： ； （3）解：因为取走 5 个球后，还剩 45 个球，其中红球的个数没有变化， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为： . 【解析】【分析】 （1）根据红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可； （2）设白球有 x个，得出黄球有（x-5）个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总的球数即可； （3）先求出取走 5 个球后，还剩的球数
19、，再根据红球的个数，除以还剩的球数即可. 20在一个不透明的口袋中有 4 个球，它们除颜色外都相同，其中红球 3 个，黑球 1 个. （1）从口袋中随机摸出 2 个球，则下列事件：摸到 2 个黑球；摸到 1 个黑球，1 个红球；摸到的 2 个球中至少有 1 个是红球.随机事件是 ，必然事件是 ，不可能事件是 .（填番号） （2）从口袋中随机摸出 1 球，求摸到红球的概率是多少？ 【答案】（1）； （2）解：从口袋中随机摸出 1 球，摸到红球的概率是 . 【解析】【解答】解： （1）从口袋中随机摸出 2 个球， 则下列事件：摸到 2 个黑球；摸到 1 个黑球，1 个红球； 摸到的 2 个球中至少
20、有 1 个是红球. 随机事件是，必然事件是，不可能事件是. 故答案为：、； 【分析】 （1）必然事件：在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对条件 S 的必然事件； 不可能事件：在条件 S 下，一定不可能发生的事件，叫做相对条件 S 的不可能事件； 随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，据此判断； （2）利用红球的个数除以球的总数即可. 21请将下列事件发生的概率标在图中. （1）抛出的篮球会下落； （2）从装有 3 个红球、7 个白球的口袋中取一个球，恰好是红球（这些球除颜色外完全相同） ； （3）掷一枚质地均匀的硬币，
21、硬币落下后正面朝上. 【答案】（1）解：抛出的篮球会落下，是必然事件，所以概率为 1，因此应该标在 1（100%）处； （2）解：袋子中一共有 10 个球，其中有 3 个红球，因此从中任意取一个球是红球的概率为 ，因此应该标在 （30%）处 （3）解：掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后正面朝上的概率为 ，因此应该标在 （50%）处. 【解析】【分析】 （1）抛出的篮球会落下，是必然事件，其概率为 1，据此解答； （2） 利用红球的个数除以球的总数可得概率，据此解答； （3）硬币落下后正面朝上的概率为，据此解答. 22一个袋中装有 4 个红球，6 个白球，8 个黑球，每个球除颜色外其余完全相同.
22、（1）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率； （2）从袋中摸出 6 个白球和 个红球，再从剩下的球中摸出一个球. 若事件“再摸出的球是红球”为不可能事件，求 的值； 若事件“再摸出的球是黑球”为随机事件，求这个事件的概率. 【答案】（1）解： （摸到白球） . （2）解：事件“再摸出的球是红球”为不可能事件， 剩下的球中没有红球， . 事件“再摸出的球是黑球”为随机事件， ， ，故 ， （摸到黑球） . 【解析】【分析】 （1）利用白球的个数除以球的总数即可； （2）由题意可得剩下的球中没有红球， 据此可得 a 的值； 由题意可得 a=3，然后根据黑球的个数除以球的总数即可. 23在一个不透明的
23、口袋中放入 3 个红球和 7 个白球，它们除颜色外完全相同. （1）求从口袋中随机摸出一个球是红球的概率； （2）现从口袋中取出若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，要使从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 ，问取出了多少个白球？ 【答案】（1）解：口袋中装有 3 红球和 7 个白球，共有 10 个球， 从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 （2）解：设取走了 x 个白球，根据题意得： ， 解得：x=5， 答：取走了 5 个白球. 【解析】【分析】 （1）由题意可知一共有 10 个球，但红球有 3 个，再利用概率公式可求出从口袋中随机摸出一个球是红球的概率； （2）设取走了 x 个白球
24、，根据从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是 ，建立关于 x 的方程，解方程求出 x 的值. 24已有两根长度分别为 和 的线段，同时，在一旁有 7 根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致.这 7 张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了 、 、 、 、 、 、 .把这 7 张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题： （1）判断事件“从中抽取的长度能够与 和 组成等边三角形”是什么事件，并写出其发生的概率； （2）求抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与 和 的线段组成等腰三角形的概率； （3）小兰和
25、小英打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与 和 组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则.三角形周长为奇数小兰胜，三角形周长为偶数小英胜，请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的规则. 【答案】（1）解：等边三角形的三边相等， 和 不能同时为等边三角形的两边，故该事件为不可能事件，不可能事件的概率为 0 （2）解： 或 的线段有 3 条，总共 7 条， 故能够与 和 的线段组成等腰三角形的概率为 （3）解： 12 13 13 14 15 16 16 偶数 奇数 奇数 偶数 奇数 偶数 偶数 从表中可知： （周长为奇数）= （周长为偶数）= 根据列举法求得周长为奇数
26、或者为偶数的概率，奇数的概率为 ，偶数的概率 ，故游戏不公平，可以将规则改为：三角形周长大于 14 小兰胜，三角形周长小于 14 小英胜. 【解析】【分析】 （1）利用等边三角形的三边相等，可作出判断，同时可得到此事件发生的概率. （2）先求出能与 4cm、5cm 组成等腰三角形的情况数，再利用概率公式可求解. （3）先列表，根据表中数据可得到所有的可能的结果数及周长为奇数或者为偶数 的情况数；然后利用概率公式分别求出周长为奇数和周长偶数的概率，再比较概率的大小，可得到游戏是否公平，然后重新设计一个公平的规则即可. 25如图，现有一个均匀的转盘被平均分成六等份，分别标有 这六个数字，转动转盘，
27、当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时，不记，重转） （1）转动转盘，转出的数字大于 3 的概率是多少； （2）现有两张分别写有 3 和 4 的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度 这三条线段能构成三角形的概率是多少？ 这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？（注：要求写出各种可能情况） 【答案】（1）解：平均分成 6 份，共有 6 种情况，大于 3 的有 4 种： (大于 )= （2）解：平均分成 份，共有 种情况，能构成三角形的结果有 种， (构成 )= 平均分成 份，转到每个数字的可能性相等共 种，能够构成等腰三角形的有 2 种情况，分别是（ ）和（ ） 【解析】【分析】 （1）利用概率公式求解即可； （2）根据题意先求出所有的情况数，再求出能构成三角形的情况数，最后利用概率公式求解即可；先求出所有情况数，再求出能构成等腰三角形的情况数，最后利用概率公式求解即可。
