1、 因式分解（优生集训）一、综合题1分解因式：（1）（2）【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】（1）利用平方差公式可得原式=(a2+1)(a2-1)，再次利用平方差公式分解即可；（2）首先提取公因式-x，然后利用完全平方公式分解即可.2分解因式：（1）（2）【答案】（1）解： （2）解： 【解析】【分析】(1)利用完全平方公式进行因式分解即可；(2)先提取公因式2，再利用平方差公式继续分解即可.3分解因式：（1）（2）【答案】（1）解：原式= x（x2-4 xy+4 y2） = x（x-2y）2（2）原式=（b2- a2）+（b -a） =（b +a）（b -a）+（b -a）=（b
2、 -a）（b +a+1）【解析】【分析】（1）先提取公因式x，然后利用完全平方公式进行分解即可（2）利用平方差公式分解即可求得答案4对多项式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4进行因式分解时，小亮先设a2-4a=b，代入原式后得：原式=(b+2)(h+6)+4=b2+8b+16=(b+4)2=(a2-4a+4)2（1）小亮在因式分解时巧妙运用了以下那种数学思想：_； A整体换元思想B数形结合思想C分类讨论思想（2）请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果；（3）请参考以上方法对多项式(4a2+4a)(4a2+4a+2)+1进行因式分解。【答案】（1）A（2）存在的问题：分解不彻底：
3、正确结果：(a-2)4（3）设4a2+4a=b， 原式=b(b+2)+1 =b2+2b+1=(b+1)2=(4a2+4a+1)2=(2a+1)4【解析】【分析】（1）观察多项式，先设一个b，利用了整体换元思想。（2）还可以利用完全平方公式继续化简。（3）利用整体换元、完全平方公式，可进行因式分解。5若a+b3，ab1.求（1）a2+b2； （2）（ab）2； （3）ab3+a3b. 【答案】（1）解：a2+b2（a+b）22ab32217； （2）解：（ab）2（a+b）24ab32415； （3）解：ab3+a3bab（a2+b2）177. 【解析】【分析】（1）根据完全平方公式可得a2+b
4、2(a+b)2-2ab，然后将已知条件代入计算即可；（2）根据完全平方公式可得(a-b)2(a+b)2-4ab，然后将已知条件代入计算即可；（3）对待求式子因式分解可得ab3+a3bab(a2+b2)，然后代入计算即可.6 （1）因式分解：（x-y）（3x-y）+2x（3x-y）；（2）设 y=kx，是否存在实数 k，使得上式的化简结果为 x2？求出所有满足条件的 k 的值若不能，请说明理由【答案】（1）解：原式=（3x-y）（x-y+2x）=（3x-y）（3x-y）=（3x-y）2（2）解：将 y=kx 代入上式得：（3x-kx）2=（3-k）x2=（3-k）2 x2；令（3-k）2=1，3
5、-k=1，解得：k=4 或 2【解析】【分析】（1）将3x-y看着整体，利用提公因式法可得结果。（2）将y=kx代入，再根据使化简的结果为x2，由此可建立关于k的方程，解方程求出k的值。7已知 是方程 的解. （1）当 时，求 的值. （2）求 的值. 【答案】（1）解：当 代入方程 得：（2）解： 9a2+6ab+b2+1=(3a+b)2+1=(32-)2+1=(5)2+1=75+1=76; 【解析】【分析】（1）已知a的值，则x可求，把x、y值代入方程3x+by=即可求出b值；（2）把原式前三项按完全平方公式分解因式，再代入a、b值即可求出结果。8下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x
6、2-4x+6）+4进行因式分解的过程解：设x2-4x=y，原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）=y2+8y+16 （第二步）=（y+4）2（第三步）=（x2-4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_ A提取公因式B平方差公式C两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？ （填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解【答案】（1）C（2）不彻底；（x-2）4（3）解：（x2-2x）（x2-2x+2）+1 =（x2-2x）2+2（
7、x2-2x）+1=（x2-2x+1）2=（x-1）4【解析】【解答】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4；故答案为：不彻底，（x-2）4【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可9在求代数式的值时，当单个字母不能或不用求出时，可把已条件作为一个整体，通过整体代入，实现降次、消元、归零、约分等，快速求得其结果如：已知 ， ，求代数式 的值可以这样思考： 因为 ， 所以 即
8、所以 举一反三：（1）已知 ， ，求 的值 （2）已知 ，则 的值 （3）已知 ，求 的值 【答案】（1）解：因为（a-b）2=12, （a+b）2=18 所以（a+b）2-（a-b）228-12所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)16即4ab=16ab=4（2）解：因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以 所以 （3）解：因为 ，所以 -1+20192018【解析】【分析】（1）用完全平方公式展开，然后两式做减法可得到4ab=16，即ab=4；（2）根据 可得到 ，然后再根据 得到 ；（3）把 局部进行提取公因式，然后将 整体代入即可10下面是某同学对多项式（x24x+2）（x24
9、x+6）+4进行因式分解的过程解：设x24xy，原式（y+2）（y+6）+4（第一步）y2+8y+16（第二步）（y+4）2（第三步）（x24x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号） A提取公因式B平方差公式C两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果这个结果是否分解到最后？ （填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x22x）（x22x+2）+1进行因式分解 【答案】（1）C（2）否；（x2）4（3）（x22x）（x22x+2）+1 （x22x）
10、2+2（x22x）+1（x22x+1）2（x1）4【解析】【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故答案为：C；（2）这个结果没有分解到最后，原式（x24x+4）2（x2）4；故答案为：否，（x2）4；【分析】（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；（2）这个结果没有分解到最后，还需要利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止；（3）把 x22x 看成一个整体，先将代数式整理成一般形式，然后利用完全平方公式分解因式，再将底数使用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止。11解答题 （1）根据如图所示的图形写出一个恒等代数式;
11、（2）已知x- =3(其中x0),求x+ 的值.【答案】（1）解：(a+b)2-(a-b)2=4ab（2）解：将x- =3的两边平方,得 =9,所以x2-2+ =9,则x2+ =11, =x2+ +2=13,因为x0,所以x+ = 【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积=4个长方形的面积，列式即可。（2）将原式两边同时平方，得出，再将左边配成完全平方式，左右两边同时加上2，然后根据x0，求出代数式的值即可。12阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解
12、成x2+（m+n）x+mn（x+m）（x+n）例如：x2+5x+6x2+（2+3）x+23（x+2）（x+3）运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2x6； （3）x25xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x32x23x进行分解因式【答案】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【解析】【分析】(1)常数项8=24，它的一次项系数6=2+4；(2)常数项-6=-32，它的一次项系数-1=-3+2；(3)将6y2看成常数项，-5y看成一次项系数，6y2=(-2y)(-3y)，-5y=(-2y)+(-3y)；(4)先提出公因式x，再按材料介绍的方法分解因式.13将
13、式子4x+（3xx）=4x+3xx，4x（3xx）=4x3x+x分别反过来，你得到两个怎样的等式？ （1）比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？ （2）根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式3x54x2+3x32的值，把它的后两项放在： 前面带有“+”号的括号里；前面带有“”号的括号里说出它是几次几项式，并按x的降幂排列【答案】（1）解：将式子4x+（3xx）=4x+3xx，4x（3xx）=4x3x+x分别反过来， 得到4x+3xx=4x+（3xx），4x3x+x=4x（3xx），添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项
14、都改变符号（2）解：3x54x2+3x32=3x34x2+（3x32）； 3x54x2+3x32=3x34x2（3x3+2）；它是五次四项式，按x的降幂排列是3x5+3x34x22【解析】【分析】（1）将式子4x+（3xx）=4x+3xx，4x（3xx）=4x3x+x分别反过来，得到4x+3xx=4x+（3xx），4x3x+x=4x（3xx），比较即可得到添括号法则；（2）利用添括号法则即可求解；利用多项式的定义，以及降幂排列的顺序求解即可 14因式分解：（1）（2）【答案】（1）解： 原式 = （2）解： 原式 =2xy(x-2xy+y)= 【解析】【分析】（1）运用平方差公式因式分解即可.
15、（2）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可.15分解因式：（1）（2）【答案】（1）解：原式=2(x-2xy+y). = （2）解：原式= 【解析】【分析】（1）先提取公因式（常数2），再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解（2）先变形提公因式后，在利用平方差公式分解即可.16把下列各式分解因式：（1）；（2）【答案】（1）解：原式=(xy)2(x-2)=(xy)2(x-2).（2）解：原式=(x2+4+4x)(x2+44x)=(x+2)2(x2)2.【解析】【分析】（1）直接找出公因式，进而提取公因式得出即可；（2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可17分解因式：（1
16、）3a36a2+3a（2）a2(xy)+b2(yx)【答案】（1）解：原式=3 a（a22a+3）=3 a（a1）2（2）解：原式= (xy)（a2b2)= (xy)（ab)（a+b）【解析】【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式 ，完全平方公式 ）、三检查（彻底分解）.（1）根据提公因式和公式法即可分解.（2）根据提公因式和公式法即可分解.18分解因式：（1）；（2）【答案】（1）解：原式= （2）解：原式 【解析】【分析】（1）直接提取公因式即可；（2）先由完全平方公式分解，再用平方差公式二次分解即可.19综合题（1）因
17、式分解：4x216（2）解方程组 【答案】（1）解：原式=4（x24）=4（x+2）（x2）（2）解： ，由得：y=4x13，把代入得：3x+2（4x13）=7，解得：x=3，解得：y=4313=1，原方程组的解为 【解析】【分析】（1）第1题先提公因式再运用平方差公式；（2）采用代入消元法简单些.20分解因式：（1）3a36a2+3a（2）a2（xy）+b2（yx）【答案】（1）解：原式=3a（a22a+1）=3a（a1）2故答案为：3a（a1）2（2）解：原式=（xy）（a2b2）=（xy）（ab）（a+b）故答案为：（xy）（ab）（a+b）【解析】【分析】先提取公因式，再利用完全平方差
18、以及平方差公式进行计算。21教材中，在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作：（i）把它看成是一个大正方形，则它的面积为（a+b）2；（ii）把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的，则它的面积为a2+2ab+b2；因此，可得到等式：（a+b）2=a2+2ab+b2（1）类比教材中的方法，由图2中的大正方形可得等式： （2）试在图2右边空白处画出面积为2a2+3ab+b2的长方形的示意图（标注好a，b） ，由图形可知，多项式2a2+3ab+b2可分解因式为： （3）若将代数式（a1+a2+a3+a20）2展开后合并同类项，得到多项式N，则多项式N的项数一共有
19、项【答案】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（2）；2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）（3）210【解析】【解答】解：（1.）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2.）如图，2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），故答案为：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）；（3.）（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3项；（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6项，（a1+a
20、2+a3+a20）2展开后合并同类项共有1+2+3+20= =210项，故答案为：210【分析】（1）根据图2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；（2）根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可；（3）由（a1+a2）2=a12+2a1a2+a22，共有2+1=3项；（a1+a2+a3）2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3，共有1+2+3=6项，知（a1+a2+a3+a20）2展开后合并同类项共有1+2+3+20= =210项22分解因式 （1）a32a2+a （2）a2（xy）+16（yx） 【答案】（1）解：原式=a（a22a+1） =a（a1）2；（2）解：原式=a2（xy）16（xy） =（xy）（a216）=（xy）（a+4）（a4）【解析】【分析】（1）直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；（2）直接提取公因式（xy），进而利用平方差公式分解因式得出答案 23分解因式 （1）21a3b35a2b3（2）x2+ y2（3）（2ab）2+8ab 【答案】（1）解：原式=7a2b（3a5b）（2）解：原式=（ y+x）（ yx）（3）解：原式=4a2+4ab+b2=（2a+b）2【解析】【分析】（1）根据提公因式，可得答案；（2）根据平方差公式，可得答案；（3）根据完全平方公式，可得答案
