教师专用浙教版数学七下期中复习阶梯训练:因式分解(优生集训).docx

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1、 因式分解(优生集训)一、综合题1分解因式:(1)(2)【答案】(1)解: (2)解: 【解析】【分析】(1)利用平方差公式可得原式=(a2+1)(a2-1),再次利用平方差公式分解即可;(2)首先提取公因式-x,然后利用完全平方公式分解即可.2分解因式:(1)(2)【答案】(1)解: (2)解: 【解析】【分析】(1)利用完全平方公式进行因式分解即可;(2)先提取公因式2,再利用平方差公式继续分解即可.3分解因式:(1)(2)【答案】(1)解:原式= x(x2-4 xy+4 y2) = x(x-2y)2(2)原式=(b2- a2)+(b -a) =(b +a)(b -a)+(b -a)=(b

2、 -a)(b +a+1)【解析】【分析】(1)先提取公因式x,然后利用完全平方公式进行分解即可(2)利用平方差公式分解即可求得答案4对多项式(a2-4a+2)(a2-4a+6)+4进行因式分解时,小亮先设a2-4a=b,代入原式后得:原式=(b+2)(h+6)+4=b2+8b+16=(b+4)2=(a2-4a+4)2(1)小亮在因式分解时巧妙运用了以下那种数学思想:_; A整体换元思想B数形结合思想C分类讨论思想(2)请指出上述因式分解存在的问题并直接写出正确结果;(3)请参考以上方法对多项式(4a2+4a)(4a2+4a+2)+1进行因式分解。【答案】(1)A(2)存在的问题:分解不彻底:

3、正确结果:(a-2)4(3)设4a2+4a=b, 原式=b(b+2)+1 =b2+2b+1=(b+1)2=(4a2+4a+1)2=(2a+1)4【解析】【分析】(1)观察多项式,先设一个b,利用了整体换元思想。(2)还可以利用完全平方公式继续化简。(3)利用整体换元、完全平方公式,可进行因式分解。5若a+b3,ab1.求(1)a2+b2; (2)(ab)2; (3)ab3+a3b. 【答案】(1)解:a2+b2(a+b)22ab32217; (2)解:(ab)2(a+b)24ab32415; (3)解:ab3+a3bab(a2+b2)177. 【解析】【分析】(1)根据完全平方公式可得a2+b

4、2(a+b)2-2ab,然后将已知条件代入计算即可;(2)根据完全平方公式可得(a-b)2(a+b)2-4ab,然后将已知条件代入计算即可;(3)对待求式子因式分解可得ab3+a3bab(a2+b2),然后代入计算即可.6 (1)因式分解:(x-y)(3x-y)+2x(3x-y);(2)设 y=kx,是否存在实数 k,使得上式的化简结果为 x2?求出所有满足条件的 k 的值若不能,请说明理由【答案】(1)解:原式=(3x-y)(x-y+2x)=(3x-y)(3x-y)=(3x-y)2(2)解:将 y=kx 代入上式得:(3x-kx)2=(3-k)x2=(3-k)2 x2;令(3-k)2=1,3

5、-k=1,解得:k=4 或 2【解析】【分析】(1)将3x-y看着整体,利用提公因式法可得结果。(2)将y=kx代入,再根据使化简的结果为x2,由此可建立关于k的方程,解方程求出k的值。7已知 是方程 的解. (1)当 时,求 的值. (2)求 的值. 【答案】(1)解:当 代入方程 得:(2)解: 9a2+6ab+b2+1=(3a+b)2+1=(32-)2+1=(5)2+1=75+1=76; 【解析】【分析】(1)已知a的值,则x可求,把x、y值代入方程3x+by=即可求出b值;(2)把原式前三项按完全平方公式分解因式,再代入a、b值即可求出结果。8下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x

6、2-4x+6)+4进行因式分解的过程解:设x2-4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4)2(第三步)=(x2-4x+4)2(第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_ A提取公因式B平方差公式C两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底? (填“彻底”或“不彻底”)若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解【答案】(1)C(2)不彻底;(x-2)4(3)解:(x2-2x)(x2-2x+2)+1 =(x2-2x)2+2(

7、x2-2x)+1=(x2-2x+1)2=(x-1)4【解析】【解答】(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式;故答案为:C;(2)该同学因式分解的结果不彻底,原式=(x2-4x+4)2=(x-2)4;故答案为:不彻底,(x-2)4【分析】(1)根据分解因式的过程直接得出答案;(2)该同学因式分解的结果不彻底,进而再次分解因式得出即可;(3)将(x2-2x)看作整体进而分解因式即可9在求代数式的值时,当单个字母不能或不用求出时,可把已条件作为一个整体,通过整体代入,实现降次、消元、归零、约分等,快速求得其结果如:已知 , ,求代数式 的值可以这样思考: 因为 , 所以 即

8、所以 举一反三:(1)已知 , ,求 的值 (2)已知 ,则 的值 (3)已知 ,求 的值 【答案】(1)解:因为(a-b)2=12, (a+b)2=18 所以(a+b)2-(a-b)228-12所以a2+b2+2ab-(a2+b2-2ab)16即4ab=16ab=4(2)解:因为 所以 所以 所以 所以 所以 所以 所以 (3)解:因为 ,所以 -1+20192018【解析】【分析】(1)用完全平方公式展开,然后两式做减法可得到4ab=16,即ab=4;(2)根据 可得到 ,然后再根据 得到 ;(3)把 局部进行提取公因式,然后将 整体代入即可10下面是某同学对多项式(x24x+2)(x24

9、x+6)+4进行因式分解的过程解:设x24xy,原式(y+2)(y+6)+4(第一步)y2+8y+16(第二步)(y+4)2(第三步)(x24x+4)2(第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填序号) A提取公因式B平方差公式C两数和的完全平方公式D两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换,得到因式分解的最后结果这个结果是否分解到最后? (填“是”或“否”)如果否,直接写出最后的结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x22x)(x22x+2)+1进行因式分解 【答案】(1)C(2)否;(x2)4(3)(x22x)(x22x+2)+1 (x22x)

10、2+2(x22x)+1(x22x+1)2(x1)4【解析】【解答】解:(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式;故答案为:C;(2)这个结果没有分解到最后,原式(x24x+4)2(x2)4;故答案为:否,(x2)4;【分析】(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式;(2)这个结果没有分解到最后,还需要利用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止;(3)把 x22x 看成一个整体,先将代数式整理成一般形式,然后利用完全平方公式分解因式,再将底数使用完全平方公式分解到每一个因式都不能再分解为止。11解答题 (1)根据如图所示的图形写出一个恒等代数式;

11、(2)已知x- =3(其中x0),求x+ 的值.【答案】(1)解:(a+b)2-(a-b)2=4ab(2)解:将x- =3的两边平方,得 =9,所以x2-2+ =9,则x2+ =11, =x2+ +2=13,因为x0,所以x+ = 【解析】【分析】(1)根据阴影部分的面积=大正方形的面积-中间小正方形的面积=4个长方形的面积,列式即可。(2)将原式两边同时平方,得出,再将左边配成完全平方式,左右两边同时加上2,然后根据x0,求出代数式的值即可。12阅读材料题:在因式分解中,有一类形如x2+(m+n)x+mn的多项式,其常数项是两个因数的积,而它的一次项系数恰是这两个因数的和,则我们可以把它分解

12、成x2+(m+n)x+mn(x+m)(x+n)例如:x2+5x+6x2+(2+3)x+23(x+2)(x+3)运用上述方法分解因式:(1)x2+6x+8;(2)x2x6; (3)x25xy+6y2;(4)请你结合上述的方法,对多项式x32x23x进行分解因式【答案】(1)解: (2)解: (3)解: (4)解: 【解析】【分析】(1)常数项8=24,它的一次项系数6=2+4;(2)常数项-6=-32,它的一次项系数-1=-3+2;(3)将6y2看成常数项,-5y看成一次项系数,6y2=(-2y)(-3y),-5y=(-2y)+(-3y);(4)先提出公因式x,再按材料介绍的方法分解因式.13将

13、式子4x+(3xx)=4x+3xx,4x(3xx)=4x3x+x分别反过来,你得到两个怎样的等式? (1)比较你得到的等式,你能总结添括号的法则吗? (2)根据上面你总结出的添括号法则,不改变多项式3x54x2+3x32的值,把它的后两项放在: 前面带有“+”号的括号里;前面带有“”号的括号里说出它是几次几项式,并按x的降幂排列【答案】(1)解:将式子4x+(3xx)=4x+3xx,4x(3xx)=4x3x+x分别反过来, 得到4x+3xx=4x+(3xx),4x3x+x=4x(3xx),添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项

14、都改变符号(2)解:3x54x2+3x32=3x34x2+(3x32); 3x54x2+3x32=3x34x2(3x3+2);它是五次四项式,按x的降幂排列是3x5+3x34x22【解析】【分析】(1)将式子4x+(3xx)=4x+3xx,4x(3xx)=4x3x+x分别反过来,得到4x+3xx=4x+(3xx),4x3x+x=4x(3xx),比较即可得到添括号法则;(2)利用添括号法则即可求解;利用多项式的定义,以及降幂排列的顺序求解即可 14因式分解:(1)(2)【答案】(1)解: 原式 = (2)解: 原式 =2xy(x-2xy+y)= 【解析】【分析】(1)运用平方差公式因式分解即可.

15、(2)先提公因式,再利用完全平方公式因式分解即可.15分解因式:(1)(2)【答案】(1)解:原式=2(x-2xy+y). = (2)解:原式= 【解析】【分析】(1)先提取公因式(常数2),再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解(2)先变形提公因式后,在利用平方差公式分解即可.16把下列各式分解因式:(1);(2)【答案】(1)解:原式=(xy)2(x-2)=(xy)2(x-2).(2)解:原式=(x2+4+4x)(x2+44x)=(x+2)2(x2)2.【解析】【分析】(1)直接找出公因式,进而提取公因式得出即可;(2)原式利用平方差公式化简,再利用完全平方公式分解即可17分解因式:(1

16、)3a36a2+3a(2)a2(xy)+b2(yx)【答案】(1)解:原式=3 a(a22a+3)=3 a(a1)2(2)解:原式= (xy)(a2b2)= (xy)(ab)(a+b)【解析】【分析】因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤:一提(公因式)、二套(平方差公式 ,完全平方公式 )、三检查(彻底分解).(1)根据提公因式和公式法即可分解.(2)根据提公因式和公式法即可分解.18分解因式:(1);(2)【答案】(1)解:原式= (2)解:原式 【解析】【分析】(1)直接提取公因式即可;(2)先由完全平方公式分解,再用平方差公式二次分解即可.19综合题(1)因

17、式分解:4x216(2)解方程组 【答案】(1)解:原式=4(x24)=4(x+2)(x2)(2)解: ,由得:y=4x13,把代入得:3x+2(4x13)=7,解得:x=3,解得:y=4313=1,原方程组的解为 【解析】【分析】(1)第1题先提公因式再运用平方差公式;(2)采用代入消元法简单些.20分解因式:(1)3a36a2+3a(2)a2(xy)+b2(yx)【答案】(1)解:原式=3a(a22a+1)=3a(a1)2故答案为:3a(a1)2(2)解:原式=(xy)(a2b2)=(xy)(ab)(a+b)故答案为:(xy)(ab)(a+b)【解析】【分析】先提取公因式,再利用完全平方差

18、以及平方差公式进行计算。21教材中,在计算如图1所示的正方形ABCD的面积时,分别从两个不同的角度进行了操作:(i)把它看成是一个大正方形,则它的面积为(a+b)2;(ii)把它看成是2个小长方形和2个小正方形组成的,则它的面积为a2+2ab+b2;因此,可得到等式:(a+b)2=a2+2ab+b2(1)类比教材中的方法,由图2中的大正方形可得等式: (2)试在图2右边空白处画出面积为2a2+3ab+b2的长方形的示意图(标注好a,b) ,由图形可知,多项式2a2+3ab+b2可分解因式为: (3)若将代数式(a1+a2+a3+a20)2展开后合并同类项,得到多项式N,则多项式N的项数一共有

19、项【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc(2);2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)(3)210【解析】【解答】解:(1.)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,故答案为:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc;(2.)如图,2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b),故答案为:2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b);(3.)(a1+a2)2=a12+2a1a2+a22,共有2+1=3项;(a1+a2+a3)2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3,共有1+2+3=6项,(a1+a

20、2+a3+a20)2展开后合并同类项共有1+2+3+20= =210项,故答案为:210【分析】(1)根据图2,利用直接求与间接法分别表示出正方形面积,即可确定出所求等式;(2)根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可;(3)由(a1+a2)2=a12+2a1a2+a22,共有2+1=3项;(a1+a2+a3)2=a12+a22+a32+2a1a2+2a2a3+2a3a3,共有1+2+3=6项,知(a1+a2+a3+a20)2展开后合并同类项共有1+2+3+20= =210项22分解因式 (1)a32a2+a (2)a2(xy)+16(yx) 【答案】(1)解:原式=a(a22a+1) =a(a1)2;(2)解:原式=a2(xy)16(xy) =(xy)(a216)=(xy)(a+4)(a4)【解析】【分析】(1)直接提取公因式a,进而利用完全平方公式分解因式得出答案;(2)直接提取公因式(xy),进而利用平方差公式分解因式得出答案 23分解因式 (1)21a3b35a2b3(2)x2+ y2(3)(2ab)2+8ab 【答案】(1)解:原式=7a2b(3a5b)(2)解:原式=( y+x)( yx)(3)解:原式=4a2+4ab+b2=(2a+b)2【解析】【分析】(1)根据提公因式,可得答案;(2)根据平方差公式,可得答案;(3)根据完全平方公式,可得答案

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