1、 整式的乘除（优生加练）整式的乘除（优生加练） 一、单选题一、单选题 1在矩形 ABCD 内，将两张边长分别为 a 和 b（ ）的正方形纸片按图 1，图 2 两种方式放置（图 1，图 2 中两张正方形纸片均有部分重叠） ，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图 1 中阴影部分的面积为 ，图 2 中阴影部分的面积为 .当 时， 的值是（ ） A B C D 【答案】B 【解析】【解答】解： ， ， . 故答案为：B. 【分析】利用割补法表示出 和 ，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果. 2记 ，则 （ ） A一个偶数 B一个质数 C一个整数的平方 D一个整数的立方
2、 【答案】C 【解析】【解答】解： ， ， ， ， ， 是一个整数的平方； 故答案为：C. 【分析】本题利用平方差公式计算即可，关键在等式两边同时乘（3-1） 。 3已知 ， ， 都是正数，如果 M（ + + ） （ + + ） ，N（ + + ） （ + + ） ，那么 M，N 的大小关系是（ ） AMN BMN CMN D不确定 【答案】A 【解析】【解答】解：设 ， ， 都是正数 故答案为：A. 【分析】设 ，可得 ，再根据 ， ， 都是正数即可判断 . 4如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ， ， 表示四个相同长方形的两边长（ ）.则 ； ； ； ，中正确的是（ ） A B C
3、 D 【答案】A 【解析】【解答】解：由图得 x-y=n, x+y=m, 则(x-y)(x+y)=x2-y2=mn, x-y+x+y=2x=m+n, (x+y)-(x-y)=2y=m-n, 4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2, , 正确， 错误； 故答案为：A. 【分析】根据图示把 m、n 用含 x、y 的代数式表示，两式结合，把 x,y 用 m,n 的代数式表示，根据x、y 的值分别求出各选项左式的结果再比较即可判断。 5我国宋朝数学家杨辉 1261 年的著作详解九章算法给出了在 为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按 的次数由大到小的顺序排列） 人们把
4、这个表叫做“杨辉三角”据此规律，则 展开式中含 项的系数是 A2016 B2017 C2018 D2019 【答案】D 【解析】【解答】解：由题意， ， 可知，展开式中第二项为 展开式中含 项的系数是 2019. 故答案为： D . 【分析】根据表中系数找出规律，根据 x2018是（x+1）2019的展开式中的第二项，即可可解决问题. 6在求 的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的 6 倍，于是她设： 然后在式的两边都乘以 6，得： -得 ，即 ，所以 . 得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”(a0 且 a1)，能否求出 的值?你的答案是（ ） A B
5、C D 【答案】B 【解析】【解答】M=1+a+a2+a3+a4+a2018， aM=a+a2+a3+a4+a2014+a2019， -，可得 aM-M=a2019-1， 即（a-1）M=a2019-1， M= . 故答案为：B. 【分析】设 M=1+a+a2+a3+a4+a2018，将等式两边分别诚意 a,可得aM=a+a2+a3+a4+a2014+a2019，利用等式性质用-即可求出 M 的值. 7若 A(21)(221)(241)(281)1，则 A 的末位数字是( ) A2 B4 C6 D8 【答案】C 【解析】【解答】解：A=(21)(221)(241)(281)1， A(21)(2
6、1)(221)(241)(281)1， (221)(221)(241)(281)1， (241)(241)(281)1， (281)(281)1， 21611， 216. 21=2，22=4，23=8，24=16，25=32， 末位数字以 4 为周期， 16=44， 216的末位数字是 6， 原式末位数字是 6. 故答案为：C. 【分析】将原式转化成 A(21)(21)(221)(241)(281)1，利用平方差公式计算即可得A=216，再以 2 的幂的末位数字以 4 为周期，由 16=44 得原式末位数字. 8已知 a，b，c 为非零的实数，则 的可能值的个数为（ ） A4 B5 C6 D7
7、 【答案】A 【解析】【解答】解：a、b、c 三个数都是正数时，a0，ab0，ac0，bc0，原式=1+1+1+1=4； a、b、c 中有两个正数时，设为 a0，b0，c0，则 ab0，ac0，bc0，原式=1+111=0； 设为 a0，b0，c0，则 ab0，ac0，bc0，原式=11+11=0； 设为 a0，b0，c0，则 ab0，ac0，bc0，原式=111+1=2； a、b、c 有一个正数时，设为 a0，b0，c0，则 ab0，ac0，bc0，原式=111+1=0； 设为 a0，b0，c0，则 ab0，ac0，bc0，原式=11+11=2； 设为 a0，b0，c0，则 ab0，ac0，
8、bc0，原式=1+111=2； a、b、c 三个数都是负数时，即 a0，b0，c0，则 ab0，ac0，bc0，原式=1+1+1+1=2 综上所述： 的可能值的个数为 4 故答案为：A 【分析】需要分类讨论：a、b、c 三个数都是正数时，a、b、c 中有两个正数时，设为 a0，b0，c0，设为 a0，b0，c0，设为 a0，b0，c0，a、b、c 有一个正数时，设为 a0，b0，c0，设为 a0，b0，c0，设为 a0，b0，c0，a、b、c 三个数都是负数时，分别根据有理数的乘法法则，及绝对值的意义去绝对值符号，再约分即可一一算出答案。 9不论 x、y 为什么实数，代数式 x2+y2+2x4
9、y+7 的值（ ） A总不小于 2 B总不小于 7 C可为任何实数 D可能为负数 【答案】A 【解析】【解答】解：x2+y2+2x4y+7=（x2+2x+1）+（y24y+4）+2=（x+1）2+（y2）2+2， （x+1）20， （y2）20， （x+1）2+（y2）2+22， x2+y2+2x4y+72 故答案为：A 【分析】平方具有非负性， （x+1）2最小是 0， （y2）2 最小是 0， （x+1）2+（y2）2+2 最小是 2，即总不小于 2 10方程（x2+x1）x+3=1 的所有整数解的个数是（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【答案】B 【解析】【解答】解： （1
10、）当 x+3=0，x2+x10 时，解得 x=3； （2）当 x2+x1=1 时，解得 x=2或 1 （3）当 x2+x1=1，x+3 为偶数时，解得 x=1 因而原方程所有整数解是3，2，1，1 共 4 个 故答案为：B 【分析】解本题关键要知道：任何非零的数 0 次幂为 1，1 的任何次幂都为 1；-1 的偶数次幂也为 1.本题的易错点为丢解. 二、填空题二、填空题 11数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。现给出下列 3 种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 。(请填上正确的序号) 【答案】 【解析】【解答】解： 阴影部分
11、的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b） （a-b） ， a2-b2=（a+b） （a-b） ； 阴影部分的面积=a2-b2，如图，先取点，再作 MEAD，NFAD， ME=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b， 拼凑的平行四边形的面积=（a+b） （a-b） ， a2-b2=（a+b） （a-b） ； 阴影部分的面积=a2-b2，拼凑的矩形的面积=（a+b）2b（a+b） （a-b） ； 故答案为： . 【分析】看图先把阴影部分的面积表示出来，再根据矩形的面积公式或平行四边形的面积公式分别求出拼凑而成的面积，两者比较即可判断. 12已知下列等式： ； ； ； ； 由此规律
12、，则 【答案】1581525 【解析】【解答】解： ； ； ； ， ， 13+23+33+503-(13+23+33+203) =(1+2+3+50)2-(1+2+3+20)2 =12752-2102 =1581525 故答案为：1581525 【分析】首先根据前 4 项的结果推出一般规律： ，然后把原式变形为 n=50 和 n=20 时的两个等式之差，再利用平方差公式计算即可. 13我国宋朝数学家杨辉在他的著作 解：九章算法 中提出“杨辉三角” 如图 ，此图揭示了 为非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律. 例如： ，它只有一项，系数为 1；系数和为 1； ，它有两项，系数分别为 1，1
13、，系数和为 2； ，它有三项，系数分别为 1，2，1，系数和为 4； ，它有四项，系数分别为 1，3，3，1，系数和为 8； ， 则 的展开式共有 项，系数和为 . 【答案】n+1；2n 【解析】【解答】解：根据规律可得， （a+b）n共有（n+1）项， 1=20 1+1=21 1+2+1=22 1+3+3+1=23 （a+b）n各项系数的和等于 2n 故答案为 ：n+1，2n 【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是 1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和.因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+
14、b）n的项数以及各项系数的和即可. 14观察、归纳： （x1） （x+1）x21； （x1） （x2+x+1）x31； （x1） （x3+x2+x+1）x41； 请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （x1） （xn+x2+x+1） 1； 计算：1+2+22+22019 【答案】xn+1；220201 【解析】【解答】解： （x1） （x+1）x21； （x1） （x2+x+1）x31； （x1） （x3+x2+x+1）x41； 根据以上等式的规律可得： （1） （x1） （xn+ x2+x+1）xn+11； （2）原式（21）（1+2+22+22019）220201， 故答案为：xn+1，
15、220201 【分析】 （1）由前 3 个式子归纳总结得到一般性规律，写出即可； （2）在所求的式子的左边乘以(21)，再利用得出的规律计算即可求出值 15如图 1 是一个长为 4a、宽为 b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图 2） 图 2 中的阴影部分的面积为 ； 观察图 2 请你写出（a+b）2、 （ab）2、ab 之间的等量关系是 ； 根据（2）中的结论，若 x+y=5，xy= ，则（xy）2= ； 实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式 如图 3，你发现的等式是 【答案】（ba）2； （a+b）2（ab）2=4ab；1
16、6； （a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2 【解析】【解答】解：（ba）2； （a+b）2（ab）2=4ab； 当 x+y=5，xy= 时， （xy）2=（x+y）24xy =524 =16； （a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2 【分析】表示出阴影部分正方形的边长，然后根据正方形的面积公式列式即可；根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个小长方形的面积列式即可；将（xy）2变形为（x+y）24xy，再代入求值即可；根据大长方形的面积等于各部分的面积之和列式整理即可 16已知 a1= ，a2= ，a3= ，an= ，Sn=a1a2an，则S2015= . 【答案】 【解析】
17、【解答】解： 故答案为： 【分析】利用平方差公式将各式变形，可得规律an= ，据此将进行变形，然后约分即可. 三、解答题三、解答题 17小张和小李玩猜数游戏，小张说：“你随便选三个一位数按这样的步骤去运算，把第一个数乘5；再加上 10；把所得结果乘以 2；加上第二个数；把所得结果乘以 10；加上第三个数；只要你告诉我最后的得数，我就能知道你所想的三个一位数”小李按照以上步骤试了几次，过程如下： 小李选定了 1，2，3 小张选定了 5，6，7 小张介绍了他的计算奥秘：将最后的得数减去 200，所得的结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数 探究一：证明小张想法的符合题意性
18、小李选定了， 小张将最后的得数减去 200： ， 所以结果百位数就是第一个数，十位数就是第二个数，个位数就是第三个数小李听完后深受启发也设计了自己的运算程序，让小张随便选三个一位数按这样的步骤去运算： 把第一个数乘 5，再加上 5； 把第二个数乘 20，再加上 2； 将的运算结果与的运算结果相乘，再加上第三个数； 减去第一个数与第二个数乘积的 100 倍 小李说：“只要小张告诉我最后的得数，我就能知道小张一开始所想的三个一位数。” 小李是如何知道的呢？请你模仿探究一的证明过程填写下表： 探究二：证明小李想法的符合题意性 设小张选定的三个数为， 请介绍小李的计算奥秘，描述：你是怎样由最后的得数，
19、识别出最初选定的三个一位数的？ 【答案】解：设小张选定的三个数为， 把第一个数乘 5，再加上 5，即为； 把第二个数乘 20，再加上 2，即为； 将的运算结果与的运算结果相乘，再加上第三个数，即（） （）+= 100 xy+10 x+100y+z=； 减去第一个数与第二个数乘积的 100 倍，即为-100 xy= 故填表如下： 设小张选定的三个数为， 小李的计算奥秘：将最后的得数减去 10，即-10= 所得百位数就是第二个数，十位数是第一个数，个位数是第三个数 【解析】【分析】 （1）根据题意列出算式即可；根据题意列出算式即可；根据题意列出算式即可；根据题意列出算式即可； （2）根据（1）的数
20、据可得：将最后的得数减去 10，即-10=。 18证明：在 a+b+c=0 时，a3+b3+c3=3abc 【答案】证明：a3+b3+c3-3abc=（a+b+c） （a2+b2+c2-ab-ac-bc） ， 又a+b+c=0， （a+b+c） （a2+b2+c2-ab-ac-bc）=0， 即 a3+b3+c3-3abc=0， a3+b3+c3=3abc. 【解析】【分析】利用公式 a3+b3+c3-3abc=（a+b+c） （a2+b2+c2-ab-ac-bc） ，由 a+b+c=0 即可得证. 19如图，正方形 和 的边长分别为 、 ，试用 、 的代数式表示三角形 的面积 【答案】解： S
21、DBF=S梯形DCEF+SBCD-SBEF= (m+n)n+ m2 n(m+n)= m2 【解析】【分析】根据题意，可以得到关系：利用 SS正方形ABCDS正方形CEFGSBEFSABESDGF.根据三角形和正方形面积的求法，可以得到 Sm2n2（mn）nm2n（nm） ，化解即可 20教材中，在计算如图 1 所示的正方形 ABCD 的面积时，分别从两个不同的角度进行了操作： （1）把它看成是一个大正方形，则它的面积为 ； （2）把它看成是 2 个小长方形和 2 个小正方形组成的，则它的面积为 ；因此，可得到等式： . 类比教材中的方法，由图 2 中的大正方形可得等式： . 试在图 2 右边空
22、白处画出面积为 的长方形的示意图（标注好 a、b） ，由图形可知，多项式 可分解因式为： 在上方空白处画出中的示意图 若将代数式 展开后合并同类项，得到多项式 N，则多项式 N 的项数一共有 项. 【答案】（abc）2=a2b2c22ab2ac2bc 2a23abb2=（2ab） （ab） 210 【解析】【解答】解：根据图 2，利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式； 根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可； 由 ，共有 项. 共有 项. 知 展开后合并同类项共 【分析】根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加
23、；利用直接求与间接法分别表示出正方形面积，即可确定出所求等式；根据长方形的面积公式与长，宽之间的关系画出图形即可. 21解答发现： （1） 当 a3，b2 时，分别求代数式（ab）2和 a22abb2的值，并观察这两个代数式的值有什么关系？ （2）再多找几组你喜欢的数试一试，从中你发现了什么规律？ （3）利用你所发现的规律计算 a1. 625，b0. 375 时，a22abb2的值？ 【答案】解： （1） （ab）2=（3+2）2=25；a22abb2=32+232+22=25，故相等（2） （ab）2=a22abb2（3）a22abb2=（ab）2=（1. 625+0. 375）2=22=4
24、 【解析】【分析】这类试题尤其是找规律性的题目，一定要选出具体的规律，然后一组组数据的代入，可以清晰的看出。 225a3b6c2a(ac)9a(7bc) 【答案】解：原式=5a-3b+（6c-2a-a+c）-（9a-7b-c） =5a-(-3b+6c-2a-a+c)-（9a-7b-c） =5a+3b-6c+2a+a-c-9a+7b+c =（5a+2a+a-9a）+（3b+7b）+（-6c-c+c） =-a+10b-6c 【解析】【分析】有多重括号时，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号的顺序进行。 四、综合题四、综合题 23我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.
25、如图，这个三角形的构造法则:两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 为正整数)的展开式(按 的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数 1，2，1，恰好对应 展开式中的系数;第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应 展开式中的系数. （1）根据上面的规律，写出 的展开式; （2）利用上面的规律计算: . 【答案】（1）解：如图， . （2）解：设 a=2，b=-1， 由(2)得原式 =(2-1)5 =1. 【解析】【分析】(1) 根据三角形的构造法则：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，先作图，然后依此列出等式即可； (2)设
26、 a=2，b=-1，利用(2)的结果列出等式，然后进行有理数的乘方运算，即可得出结果. 24观察下列算式。 （x-2） （x-3）=x2-5x+6； （x+5） （x-2）=x2+3x-10； （x+3） （x+6）=x2+9x+18； （x+9） （x-10）=x2-x-90； （1）如上面算式中的两个一次二项式相乘，结果是一个 次 项式；其中一次项的系数和常数项分别和原来的两个二项式的常数项具有怎样的关系？ 从上面的计算中总结规律，写出下式的结果: （x+a） （x+b）= . （2）请利用你的结论直接写出下列两个二项式相乘的结果： （x+5） （x-1）= （x+11） （x-30）=
27、. 【答案】（1）二；三；一次项的系数和常数项分别是原来的两个二项式的常数项之和与常数项之积；x2+（a+b）x+ab （2）x2+4x-5；x2-19x-330 【解析】【解答】解：(1)根据题意，可得规律：两个一次二项式相乘，结果是一个二次三项式，其中一次项的系数、常数项分别和原来的两个二项式的常数项之和、常数项之积相等， （x+a） （x+b）=x2+（a+b）x+ab ； 故答案为：二，三， 一次项的系数和常数项分别是原来的两个二项式的常数项之和与常数项之积 ， x2+（a+b）x+ab . (2)由(1)得 （x+5） （x-1）=x2+4x-5 ； （x+11） （x-30）=x2
28、-19x-330 . 故答案为： x2+4x-5 ， x2-19x-330 . 【分析】(1)根据题意，可得规律：两个一次二项式相乘，结果是一个二次三项式，其中一次项的系数、常数项分别和原来的两个二项式的常数项之和、常数项之积相等，依此即可得出下列二项式相乘的结果； (2)根据(1)得出的规律直接写出结果即可. 257 张如图 1 的长为 a，宽为 b（ab）的小长方形纸片，按如图 2、3 的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示 （1）如图 2，点 E、Q、P 在同一直线上，点 F、Q、G 在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为 （用含 a、b 的
29、代数式表示） ，矩形 ABCD 的面积为 （用含 a、b 的代数式表示） ； （2）如图 3，点 F、H、Q、G 在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为 S，PCx当 BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，那么 a、b 必须满足什么条件？ 【答案】（1）； （2）解：AE=FQ，PC=HG，有 FQ=HG+FH-QG AE=PC+FH-QG 即 AE=x+4b-a 图 3 中，右下角的矩形长宽分别为 x，a，则面积为 xa 左上角矩形长宽分别为 x+4b-a，3b，则面积为 3b（x+4b-a） 则 整理得到， 当 BC 的长度变化时，S 始终保持不变，则 时成立 【解析】【解答】 （1） 右下角的图形为边长为 a 的正方形，面积为 左上角图形为长方形，其长宽分别为 4b，3b，面积为 则右下角与左上角的阴影部分的面积的差为 矩形 ABCD 的长宽分别为 a+4b，a+3b，面积为 故答案为 ； 【分析】 （1）表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差即可； （2）表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与 BC 无关即可求出 a 与 b 的关系式。
