1、 相交线与平行线（优生加练）相交线与平行线（优生加练） 一、单选题一、单选题 1如图，按照上北下南，左西右东的规定画出方向十字线，AOEm，EOF90，OM、ON分别平分AOE和BOF，下面说法： 点 E 位于点 O 的北偏西 m；图中互余的角有 4 对；若BOF4AOE，则DON54；若 ，则 n 的倒数是 ，其中正确有（ ） A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【答案】B 【解析】【解答】解：AOEm， EOD=90 m， 点 E 位于点 O 的北偏西 90 m，故错误； EOF90， EOD+DOF90，AOE+BOF=90， AOD=BOD=90， AOE+EOD=90，DOF+F
2、OB=90， AOM+MOD=90，BON+DON=90， OM、ON 分别平分AOE和BOF， AOM=EOM，BON=FON， EOM+MOD=90，FON+DON=90， 图中互余的角共有 8 对，故错误； BOF4AOE，AOE+BOF=90， BOF=72， BON=36， DON=90 36=54；故正确； AOE+BOF=90， MOE+NOF= ， ， ， n 的倒数是 ，故正确； 正确的选项有，共 2 个； 故答案为：B. 【分析】 易得EOD=90-m，而方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角 ，据此判断；根据角平分线的概念得AOM=EOM，BON=FON，
3、然后根据互余两个角之和为 90可判断；易得BOF=72，BON=36，据此可判断；根据AOE+BOF=90以及角平分线的概念可得MOE+NOF=45 ，则MON=135，据此判断. 2在同一平面内，我们把两条直线相交将平面分得的区域数记为，三条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，四条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为条直线两两相交最多将平面分得的区域数记为，若，则（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】根据题意得， 2 条直线最多将平面分成 4 个区域 ， 3 条直线最多将平面分成 7 个区域 ， 4 条直线最多将平面分成 11 个区域 ， 5 条直线最多将平面分成 16
4、个区域 则 ， ， ， 经检验 n=20 是原方程的根 故答案为：C. 【分析】 根据直线相交得到交点个数的规律，再利用裂项法进行有理数的运算即可求解 3若四条直线在平面内交点的个数为 ，则 的可能取值有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【答案】D 【解析】【解答】解：图 1：当四条直线平行时，无交点； 图 2：当三条平行，另一条与这三条不平行时有 3 个交点； 图 3：当两两直线平行时，有 4 个交点； 图 4：当有两条直线平行，而另两条不平行时有 5 个交点； 图 5：当四条直线同交于一点时，只有 1 个交点； 图 6：当四条直线两两相交，且不过同一点时，有 6 个交点； 图
5、 7：当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有 3 个交点； 综上所述，共 7 种情况，6 种交点个数， 故答案为：D 【分析】根据直线与直线的位置关系，列出所有情况即可，四条直线的位置关系可能有互不平行，两条平行，三条平行，四条平行四种情况，注意不要漏掉 4如图 ，垂足为 D， ，下列结论正确的有（ ） ； （2） ； （3） 与 互余； （4） 与 互补 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】【解答】 ， ， ， ， ，故（1）符合题意； 同理可得 ，故（2）符合题意； ， 与 互余，故（3）符合题意； ， ， 与 不互补，故（4）不符合题意； 故答案
6、选 C 【分析】根据等角的余角相等及平角等于 180，进行作答即可。 5如图，已知 A，O，B 在一条直线上，1是锐角，则1的余角是（ ） A B C D2-1 【答案】C 【解析】【解答】解：1的余角为 90-1， 1=180-2， 90-1=90-（180-2） =2-90 =2-（1+2） =2-1 =（2-1） ， 故答案为：C . 【分析】根据余角的性质，先把1的余角表示出来，然后根据1和2互补的关系，把1用含2的代数式表示，再把 90转换成1和2之和的一半即可得出结果. 6如图AOC=BOD= ，4 位同学观察图形后分别说了自己的观点.甲：AOB=COD；乙：图中小于平角的角有 6
7、 个；丙：AOB+COD = ；丁：BOC+AOD = .其中正确的结论有（ ）. A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【答案】B 【解析】【解答】解：甲AOB+BOC=BOC+COD=90，AOB=COD，故甲符合题意； 乙AOB，AOC，AOD，BOC，BOD，COD，故乙符合题意； 丙AOB=COD，故丙不符合题意； 丁：BOC+AOD=BOC+AOB+BOD=AOC+BOD=180，故丁符合题意； 故答案为：B 【分析】根据余角的性质，补角的性质，可得答案 7已知：如图，点 D 是射线 AB 上一动点，连接 CD，过点 D 作 DEBC交直线 AC 于点 E，若ABC=84，CDE
8、=20，则ADC的度数为( ) A104 B76 C104或 64 D104或 76 【答案】C 【解析】【解答】解： （1）1)如图，当 D 在 AB 内部时， DEBC， ADE=ABC=84， ADC=ADE+CDE=84+20=104； 2)如图，当 D 在 AB 外部时， ADC=ADE-CDE=84-20=64。 故答案为：C. 【分析】D 在 AB 上移动时，有两种情况，当 D 在 AB 内部时，ADC=ADE+CDE，求得的角度是 104； 当 D 在 AB 外部时，ADC=ADE-CDE，求得的角度是 64。 8如图，ABCD，EAF=3BAF，ECF=3DCF，则E与F的数
9、量关系是( ) AE+F=180 BE=3F CE-F=90 DE=4F 【答案】D 【解析】【解答】解：过 E 作直线 ELAB，则 ABELDC， 过 F 作直线 FG 平行 AB，则 ABFGDC， 由 ELAB，得AEL=BAE=EAF+FAB=4BAF， 由 ELCD，得LEC=ECD=ECF+FCD=4DCF， E=AEL+LEC=4(FAB+DCF)， 由 FGAB，得AFG=FAB， 由 FGCD，得GFC=FCD， F=AFG+GFC=FAB+DCF， E=4F， 故答案为：D. 【分析】过 E 作直线 ELAB，过 F 作直线 FG 平行 AB，由两直线平行内错角相等，得A
10、EL=BAE， LEC=ECD，结合 EAF=3BAF，ECF=3DCF， 得E=AEL+LEC=4(FAB+DCF)， 再由两直线平行内错角相等，得AFG=FAB，GFC=FCD，从而推得E=4F。 9如果两个角的两边分别平行，其中一个角是 50，则另一个角是（ ） A50 B130 C50或 130 D40 【答案】C 【解析】【解答】解：如图： 2与3的都两边与1的两边分别平行， 即 ABCD，ADBC， 1+A=180，3+A=180， 3=1=50， 2+3=180， 2=130 故另一个角是 50或 130 故答案为：C 【分析】根据题意作图，可得：2与3的两边都与1的两边分别平行
11、，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得3的度数，又由邻补角的定义，即可求得2的度数，即可求得答案 10如图，已知 A1BAnC，则A1A2An等于( ) A180n B(n1)180 C(n1)180 D(n2)180 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点 A2向右作 A2DA1B，过点 A3向右作 A3EA1B， A1BAnC， A3EA2DA1BAnC， A1A1A2D180，DA2A3A2A3E180，. A1A1A2A3An1AnC(n1)180. 故答案为：C. 【分析】过点 A2向右作 A2DA1B，过点 A3向右作 A3EA1B，根据平行的传递性得A3EA2DA1BA
12、nC，再由平行线的性质得A1A1A2D180，DA2A3A2A3E180，.将所有式子相加即可得证. 二、填空题二、填空题 11观察下列图形：已知 ab，在第一个图中，可得 ，则按照以上规律， 度 . 【答案】180（n+1） 【解析】【解答】解：如图，作 P1Ea，取3和4， P1Ea， 1+3=180， ab， P1Eb， 2+4=180， 1+2+P1=1+2+3+4=180+180=360=（1+1）180， 如图，作 P1Aa，P2Ba， ab， P1AaP2Ba， 1+3=180，4+5=180，6+2=180， 1+P1+P2+2=180+180+180=（2+1）180， 同理
13、可得：1+P1+P2+P3+2=180+180+180+180=（3+1）180， 1+P1+P2+2=180+180+180=（n+1）180， 故答案为： 180（n+1） . 【分析】过 P1、P2作平行线，然后根据两直线平行，同旁内角互补分别列出等式，最后将各式相加求和，再总结规律即可得出答案. 12一副三角板按图 1 的形式摆放，把含 45角的三角板固定，含 30角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为 （ ）.在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为 . 【答案】30或 45或 120或 135或 165 【解析】【解答】解：当 CDOB时，=D=30 当 OCAB
14、时，OEB=COD=90，此时=90-B=90-45=45 当 DCOA时，DOA=D=30，此时=AOB+AOD=90+30=120 当 ODAB时，AOD=A=45，此时=A+AOD=90+45=135 当 CDAB时，延长 BO 交 CD 于点 E，则CEO=B=45 DEO=180-CEO=135 DOE=180-DEO-D=15 此时=180-DOE=180-15=165 综上，在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时， 的度数为 30或 45或 120或 135或 165. 故答案为：30或 45或 120或 135或 165. 【分析】利用旋转过程中，两边平行分类讨论：当 CDOB
15、时，利用“两直线平行，内错角相等”求解；当 OCAB时，先利用“两直线平行，内错角相等”，求OEB=90，再利用“三角形内角和 180”，求解；当 DCOA时，先利用“两直线平行，内错角相等”求DOA=30，再求=120；当 ODAB时，先用“两直线平行，内错角相等”求AOD=45，再求=135；当 CDAB时，延长 BO 交 CD 于点 E，利用“两直线平行，内错角相等”求则CEO=45，再利用平角求DEO=135，再利用“三角形内角和 180”求DOE=15，最后求=165. 13已知A与B（ ， ）的两边-边平行，另一边互相垂直，且 ，则A的度数为 . 【答案】36 或 96 【解析】【
16、解答】解：如下图: AC/BD，E=90 A+B=90 3A=108 A=36 如下图 AC/BD，E=90 A+B=360-90=270 3A=288 A=96 故答案为:36 或 96 【分析】本题主要考查了分类讨论的思想，根据题意分为两种两种情况：垂直的两边的交点在平行的两边之间的内部，根据两直线平行，内错角相等即可得到答案；垂直的两边的交点在平行的两边之间的外部，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案. 14如图，已知 ADBC，垂足为点 D，EFBC，垂足为点 F，1+2=180， 请填写CGD=CAB 的理由 解：因为 ADBC，EFBC（ ） 所以ADC=90，EFD=90（
17、） 得ADC=EFD（ ） 所以 AD/EF（ ） 得2+3=180 （ ） 又因为1+2=180（已知） 所以1=3（ ） 所以 DG/AB（ ） 所以CGD=CAB（ ） 【答案】已知；垂直定义；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】【分析】先证得 ADEF，根据平行线的性质得出2+3=180，求出1=3，根据平行线的判定得出 DGAB，根据平行线的性质得出CGD=CAB即可 15已知，如图，ABCD，则、之间的关系为_ 。 【答案】+-=180 【解析】【解答】解：过点 E 作 EFAB +AE
18、F=180 (两直线平行，同旁内角互补) ABCD(已知) EFCD FED=EDC(两直线平行，内错角相等) =AEP+FED 又=EDC(已知) +-=180 【分析】过 E 作 EFABCD由平行线的质可得+AEF=180，FED=，由=AEP=FED，可得、之间的关系。 16如图，已知点 C 为两条相互平行的直线 AB，ED 之间一点， 和 的角平分线相交于 F，若BCD= BFD+10，则 BCD 的度数为 【答案】160或 40 【解析】【解答】当点 C 在 B、D 左边，过点 C、F 作 DE 的平行线 得到BCD=EDC+ABC,BFD= BCD= BFD+10 BCD=40
19、当点 C 在 B、D 右边，过点 C、F 作 DE 的平行线 得到BCD+EDC+ABC=360，BFD= BCD= BFD+10 BCD=160 故答案为：BCD=40或 160 【分析】本题主要考查平行线间的拐点问题，解题方法为过拐点作平行线，利用平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等） 、同旁内角互补以及利用方程的思想即可得到答案. 三、解答题三、解答题 17如图，直线 BC 与 MN 相交于点 O，AOBC，OE 平分BON，若EON20，求AOM和NOC的度数 【答案】解：OE 平分BON， BON2EON22040， NOC180BON18040140， MOCBON40
20、， AOBC， AOC90， AOMAOCMOC904050， 所以NOC140，AOM50 【解析】【分析】 因为 OE 平分BON，BON2EON，求得BON的度数，则根据邻补角的性质求得NOC的度数， 由于MOC和BON是对顶角，则MOC的度数可得，结合AOC90，从而可求AOM的度数。 18如图，ABCD，分别探讨下面四个图形中APC与A，C的关系，请你从所得的关系中任意选取一个加以说明. 图（1）结论： ；图（2）结论： ；图（3）结论： ；图（4）结论： . 你准备证明的是图 ，请在下面写出证明过程. 【答案】图（1）结论： ；图（2）结论： ；图（3）结论： ；图（4）结论： 图
21、（1） ： .过点 作 ， ， ， ， ， ， ；图（2） ： .过点 作 ， ， ， ， ， ；图（3） ： .过点 作 ， ， ， ， ， ， ；图（4） ： .过点 作 ， ， ， ， ， ， . 【解析】【分析】图（1）首先过点 作 ，由 ，即可得 ，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案； 图（2）图（3） ，图（4）首先过点 作 ，由 ，即可得 ，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案； 19如图，已知 ，分别探究下面两个图形中 和 、 的关系，请从你所得两个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论： （1）_； （2）_。 选择结论：_，说明理由. 【答
22、案】解： （1）APC+PAB+PCD=360.理由如下：过点 P 作 PQAB，ABCD，PQABCD，PAB+1=180，2+PCD=180，APC=1+2，APC+PAB+PCD=PAB+1+2+PCD=360； （ 2 ）APC=PAB+PCD.理由如下：过点 P 作 PQAB，ABCD，PQABCD，1=PAB，2=PCD，APC=1+2=PAB+PCD，APC=PAB+PCD. 【解析】【分析】 （1）首先过点 P 作 PQAB，又由 ABCD，可得 PQABCD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得PAB+1=180，2+PCD=180，则可得APC+PAB+PCD=PBA+1
23、+2+PCD=360； （2）首先过点 P 作 PQAB，又由ABCD，可得 PQABCD，根据两直线平行，内错角相等，即可得1=PAB，2=PCD，则可得APC=PAB+PCD. 20问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线 AB，CD 和一块含 60角的直角三角尺 EFG（EFG=90，EGF=60）”为主题开展数学活动 （1）如图（2） ，小颖把三角尺的两个锐角的顶点 E、G 分别放在 AB 和 CD 上，请你探索并说明AEF与FGC之间的数量关系； （2）结论应用 如图（3） ，小亮把三角尺的直角顶点 F 放在 CD 上，30角的顶点 E 落在 AB 上若AEG=，则CF
24、G等于 （用含 的式子表示） 【答案】（1）如图 2，ABCD， AEG+CGE=180， 即AEF+FEG+EGF+FGC=180， 又FEG+EGF=90，AEF+GFC=90； （2）如图 3，ABCD， AEF+CFE=180， 即AEG+FEG+EFG+GFC=180， 又GFE=90，GEF=30，AEG=， GFC=180-90-30-=60 【解析】【分析】 （1）根据平行线的性质，可计算角的度数，得到结论。 （2）根据平行线的性质，可通过换算角的度数，得出结论。 21如图，已知 2BOC=AOC，AOC的余角比BOC小 30，作射线 OD，使得AOC=4AOD，求DOB的度数
25、 【答案】解：设BOC=x，则AOC=2x，AOC的余角为 90-2x，AOC的余角比BOC小30，90-2x=x-30，解得：x=40，BOC=40，AOC=80，AOB=AOC+BOC=80+40=120，又AOC=4AOD，AOD=AOC=20，当射线 OD 在AOB内时，AOB=120，AOD=20，BOD=AOB-AOD=120-20=100；当射线 OD 在AOB外部时，AOB=120，AOD=20，BOD=AOB+AOD=120+20=140；综上所述：DOB的度数为 100或 140 【解析】【分析】设BOC=x，则AOC=2x，根据AOC的余角比BOC小 30，列出方程求解，
26、可得BOC=40，AOC=80，从而得AOB=120，根据AOC=4AOD求得AOD=20，再分情况讨论：当射线 OD 在AOB内时，当射线 OD 在AOB外部时，分别求出DOB的度数. 22如图，O 是直线 AB 上一点，AOE=FOD=90，OB 平分COD，图中与DOE互余的角有哪些？与DOE互补的角有哪些？ 【答案】解：AOE=FOD=90，AOF+EOF=90，BOD+DOE=90，DOE+EOF=90，OB 平分COD，BOD=BOC，与DOE互余的是EOF、BOD、BOC；AOF+BOF=180，DOE+BOF=180，与DOE互补的角是BOF、EOC 【解析】【分析】根据图形和
27、已知得到与DOE互余的角有EOF、BOD、BOC；DOE互补的角有BOF、EOC 四、综合题四、综合题 23如图，已知直线 AB，CD 相交于点 O，OE，OF 为射线，OE 平分AOC，且AOE=25. （1）求BOD的度数. （2）若DOF-AOE=90，试说明 OFOE. 【答案】（1）解： OE 平分AOC，AOE=25 ， AOC=2AOE=50， AOC=B0D（对顶角） ， BOD=50. （2）解： DOF-AOE=90 ，AOE=25 ， DOF=115， BOD=50， BOF=DOF-BOD=115-50=65， EOF=180-BOF-AOE=180-65-25=90
28、即 OFOE. 【解析】【分析】(1)由 OE 平分AOC，根据角平分线性质求出AOC 的度数，再利用AOC 和B0D 为对顶角即可求出； （2）若DOF-AOE=90，易求出DOF 度数，由（1）问知BOD，易求出BOF 度数，最后根据互补关系即可求出EOF 为直角. 24将直角三角板 OMN 的直角顶点 放在直线 AB 上，射线 OC 平分AON. （1）如图，若BON=60，求COM的度数; （2）将直角三角板 OMN 绕顶点 按逆时针方向旋转，在旋转过程中: 当BON=140时，求COM的度数: 直接写出BON和COM之间的数量关系. 【答案】（1）解： 平分 （2）解：当 ON 在直
29、线 A B 上方时， 平分 当 ON 在直线 AB 下方时， 平分 或 【解析】【解答】 （2） .当 ON 在直线 A B 上方时，设 ， 平分 ， 即 ； .当 ON 在直线 AB 下方时， 设， 平分 =180-， . 故答案为： 或 【分析】 （1）由邻补角的定义得出AON的度数，再由角平分线的定义求出CON的度数，最后根据角的和差关系计算，可得结果； (2) 分两种情况讨论，即 当 ON 在直线 A B 上方时，当 ON 在直线 AB 下方时，根据邻补角的定义、角平分线的定义和角的和差关系分解解答即可； 分两种情况讨论，即当 ON 在直线 A B 上方时，当 ON 在直线 AB 下方
30、时，根据邻补角的定义、角平分线的定义和角的和差关系分解解答即可. 25已知AOB=160，COE是直角，OF 平分AOE. （1）如图 1，若COF=32，则BOE= ; （2）如图 1，若COF=m，则BOE= ;BOE与COF的数量关系为 . （3）在已知条件不变的前提下，当COE绕点 逆时针转动到如图 2 的位置时，第（2）问中BOE与COF的数量关系是否仍然成立?请说明理由. 【答案】（1）44 （2） （2m-20）；BOE=2COF-20 （3）解：仍然成立，理由如下， 设COF=x COE=90，EOF=（90-x） OF 平分AOE， AOE=2（90-x） BOE=160-2
31、（90-x）=（2x-20） 即BOE=2COF-20仍然成立。 【解析】【解答】解： （1）COE 是直角 ， COF=32 EOF=COE-COF=90-32=58 OF 平分AOE AOF=EOF=58 AOE=2EOF=116 BOE= AOB-AOE=160-116=44 故答案为：44 （2）COE 是直角 ， COF=m EOF=COE-COF=90-m OF 平分AOE AOF=EOF=90-m AOE=2EOF=180-2m BOE= AOB-AOE=160-(180-2m)= （2m-20） 当 COF=m 时， BOE=（2m-20） BOE=2COF-20 故答案为：1、（2m-20）；2、BOE=2COF-20。 【分析】 （1）利用直角求出EOF以及利用角平分线的定义求出AOE，结合图形，运用角的和差进行求解； （2）这道题目在第一问的基础上，将COF的度数换成 m，结合上一问的步骤进行化简可求出BOE ； （3）根据第（2）问，可设 COF=x ，并用 COF 表示出BOE ，从而得出 BOE 与COF的数量关系仍然成立 。
