1、 勾股定理复习卷勾股定理复习卷 一、单选题一、单选题 1我国古代算书九章算术中第九章第六题是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深葭长各几何？你读懂题意了吗？请回答水深_尺，葭长_尺.解：根据题意，设水深 OBx 尺，则葭长 OA（x+1）尺.可列方程正确的是（ ） Ax2+52 （x+1）2 Bx2+52 （x1）2 Cx2+（x+1）2 102 Dx2+（x1）252 【答案】A 【解析】【解答】解：设水池的深度为 x 尺，由题意得： x2+52（x+1）2， 解得：x12， 则 x+113， 答：水深 12 尺，芦苇长 13 尺. 故答案为：A. 【分析】设水池
2、的深度为 x 尺，根据勾股定理可得 x2+52(x+1)2，求解即可. 2如图， 中， ， ，D、E 为 BC 边上两点， ，过 A 点作 ，且 ，连接 DF、BF.下列结论： ，AD 平分 ；若 ， ，则 ；若 ， ，其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】【解答】解： ， ， ， ，故正确； ， ， ，即 ，AD 平分 ，故正确； ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 设 ，则 ， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， ， ，故错误. 故答案为：C. 【分析】根据垂直的概念可得EAF=BAC=90，推出FAB=EAC，然后利用全等三角形的判定定
3、理可判断；易得BAD+EAC=45，则BAD+FAB=45，推出FAD=DAE，据此判断；易证FADEAD，得到 DF=DE，易得FBD=90，利用勾股定理可得 DF，然后在RtABC中，由勾股定理可判断；设 AB=AC=BE=a，则 BC=a，EC=BF=(-1)a，在RtBDF中，由勾股定理可得(DE+BD)(DE-BD)=(3-2)a2，根据 DE+BD=a 可得 DE-BD=(3-2)a，然后表示出 DE、BD，结合三角形的面积公式可判断. 3在 中， ， ，BC 边上的高 ，则 的面积为（ ） A72 B84 C36 或 84 D72 或 84 【答案】C 【解析】【解答】解：当 为
4、锐角三角形时，如下图所示： 在 中， ， 在 中， ， ， 当 为钝角三角形时，如下图所示： 在 中， ， 在 中， ， ， . 故答案为：C. 【分析】当ABC为锐角三角形时，利用勾股定理求出 BD、CD，然后根据 BC=BD+CD 求出 BC，接下来利用三角形的面积公式进行计算；当ABC为钝角三角形时，利用勾股定理求出 BD、CD，然后根据 BC=CD-BD 求出 BC，接下来根据三角形的面积公式进行计算. 4如图，在ABC中，C90，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，大于 MN 长为半径画弧，两弧交于点 O，作射线 AO，交 B
5、C 于点E已知 CE3，BE5，则 AC 的长为（ ） A8 B7 C6 D5 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，过点 E 作 ETAB交 AB 与点 T 由作图可得，AE 平分CAB CE=ET， 在 RtACE与 RtATE中， AE=AE，CE=TE， RtACERtATE AC=AT CE3 ET=3 BE5，ETAB BT=4 设 AC=x，则 AT=x 在ABC中，C90 AC2+BC2=AB2 解得，x=6 故答案为：C. 【分析】根据作图过程可得 AE 平分CAB，由角平分线的性质可过点 E 作 ETAB交 AB 与点T，并得到 CE=ET，AC=AT，之后运用勾股定理，可
6、建立 AC 相关的等式，解出可得到答案. 5如图，已知钓鱼竿 的长为 ，露在水面上的鱼线 长为 ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿 转动到 的位置，此时露在水面上的鱼线 为 ，则 的长为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】【解答】解：AC=10m，BC=6m，ABC=90， AB= m， AC=10m，BC=8m，ABC=90， AB= m， BB=AB-AB=2m； 故答案为：B 【分析】利用勾股定理求出 AB 的长，再利用勾股定理求出 AB的长；然后根据 BB=AB-AB，代入计算可求解. 6有一个边长为 1 的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形
7、的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图 1） ；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图 2）如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了 2021 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A1 B2020 C2021 D2022 【答案】D 【解析】【解答】解：如图， 由题意得：SA=1， 由勾股定理得：SBSC=1， 则 “生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2， 同理可得： “生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形面积
8、和为 3， “生长”了 3 次后形成的图形中所有正方形的面积和为 4， “生长”了 2021 次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 2022， 故答案为：D. 【分析】利用勾股定理可证得 SBSC=1，可得到“生长”了 1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为 2；“生长”了 2 次后形成的图形中所有的正方形面积和为 3；“生长”了 3 次后形成的图形中所有正方形的面积和为 4，由此规律可得到“生长”了 2021 次后形成的图形中所有的正方形的面积和. 7如图，直线 l 上有三个正方形 A、B、C，若正方形 A、C 的边长分别为 4 和 6，则正方形 B 的面积为（ ） A26 B49 C
9、52 D64 【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 正方形，的边长分别为 4 和 6， ， 由正方形的性质得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 正方形的面积为， 故答案为：C 【分析】证出，推出，则，再证出，代入求值即可。 8要焊接一个如图所示的钢架，需要的钢材长度是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】【解答】解：由图可知，所需要钢材长度=AB+BC+AC+BD=AB+BC+(AD+DC)+BD, AD=4m，DC=1m，BD=2m， 钢材长度=AB+BC+(4+1)+2=AB+BC+7, 在 RtABD中，由勾股定理可得：AB=, 在 RtBDC中，由勾股定理可得：BC=, 所
10、需钢材长度=， 故答案为：D. 【分析】钢材的长度为线段 AB、BC、AC、BD 的长度之和，题目中已经给出 AD=4m，DC=1m，BD=2m.，所以只需要求出 AB、BC 的长度，AB、BC 分别是 RtABD、RtBDC的斜边，在两个直角三角形中用勾股定理即可得到 AB、BC 的长度. 9如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 4.5m 的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图所示，人只要移至该门铃 5m 及 5m 以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”.如图所示，一个身高 1.5m 的学生走到 D 处，门铃恰好自动响起，则 BD 的长为（ ） A3 米 B4 米 C5 米 D7
11、 米 【答案】B 【解析】【解答】解：由题意可知. ， ， 由勾股定理得 ， 故离门 4 米远的地方，灯刚好打开. 故答案为：B. 【分析】由题意可知：BE=CD=1.5m，AE=AB-BE=3m，AC=5m，由勾股定理求出 BD、CE，据此解答. 10如图，在数轴上点 B 表示的数为 1，在点 B 的右侧作一个边长为 1 的正方形 BACD，将对角线BC 绕点 B 逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点 M 处，则点 M 表示的数是（ ） A B +1 C1 D 【答案】C 【解析】【解答】解：根据勾股定理得： . . 点 M 表示的数是：1- . 故答案为：C. 【分析】首先由勾股
12、定理求出 BC，根据同圆的半径相等得 MB=BC，结合 OB 的值求出 OM，进而根据数轴上的点所表示的数的特点可得点 M 表示的数. 二、填空二、填空题题 11如图，在中，点 D 为 AB 中点，过点 B 作交 CD 的延长线于点 E，BE=2，CD=5，则 DE= 【答案】1 【解析】【解答】D 为 AB 中点， 在 中， ，即 解得： 在 中， ， 故答案为：1 【分析】先根据题意可得 ，再利用勾股定理可得，即，求出 AD 的长，最后再利用计算即可。 12如图，在中，以为边作等边三角形，使点与点在同侧，连接，则 【答案】 【解析】【解答】解：如图所示，过点 D 作 DEBC于 E， AB
13、D是等边三角形， BD=AB=4，ABD=60， ABC是直角三角形，AB=BC=4， DBE=30， ， ， ， , 故答案为： 【分析】过点 D 作 DEBC于 E，利用 30 度角的直角三角形的性质和直角三角形的边角关系求出DE、CE 的长，再利用勾股定理即可求出答案。 13如图，已知 RtABC，C=90，BD 是角平分线，BD=5，BC=4，则 D 点到 AB 的距离是 。 【答案】3 【解析】【解答】解：过点 D 作 DEAB于 E， BD 是角平分线，C=90， DE=DC， RtABC，BD=5，BC=4， DC=， DE=3. 故答案为：3. 【分析】过点 D 作 DEAB于
14、 E，根据角平分线性质定理得DE=DC，在 RtABC，由勾股定理得求出 DC，进而求得 DE，DE 即为 D 点到 AB 的距离. 14在 中， ，点 P 在 AB 上且 P 到另两边的距离相等，则 的长为 . 【答案】 【解析】【解答】解：作 PQBC于 Q，连接 CP， 当 时，P 到 AC，BC 距离相等， ， ， 在 中， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得： ， 故答案为： . 【分析】作 PQBC于 Q，连接 CP，当 时，P 到 AC，BC 距离相等，利用勾股定理求出 AC、CP、CQ，继而求出 BQ，在 中，由 即 ，求出 AP 即可. 15直角三角形的两条边长分别为
15、 3cm、4cm，则这个直角三角形的斜边长为 cm. 【答案】4 或 5 【解析】【解答】解： ， 当 4 是斜边时，斜边长就是 4； 当 4 是直角边时，斜边是： ， 综上所述，这个直角三角形的斜边长为：4 或 5 答案是：4 或 5. 【分析】分情况讨论：当 4 是斜边时；当 4 是直角边时，利用勾股定理求出斜边的长，综合即可得出答案. 三、解答题三、解答题 16如图，平面直角坐标系中，点 A（0，3）和 B（4，0） ，点 M（8，m）为坐标平面内一动点，且ABM为等腰三角形，求点 M 的坐标， 【答案】解：点 A（0，3）和 B（4，0） ， OA=3，OB=4， AB= =5， 点
16、M（8，m） ，ABM为等腰三角形， 当 BM=AB 时， =5， 解得 m=3 或 m=-3（A、B、M 三点共线舍去） ， M（8，3） ， 当 AM=BM 时， = ， 解得 m= ， M（8， ） ， 当 AM=AB 时，M 点不在 y=8 上，故不存在， 综上所述，符合条件的点 M（8，3）或（8， ）. 【解析】【分析】根据勾股定理先求出 AB 长，再根据ABM为等腰三角形，分三种情况讨论：BM=AB 时， 利用勾股定理表示出 BM，列出等式=5，解出 m，得出符合条件的 m 值；AM=BM 时，利用勾股定理表示出 AM 和 BM，列出等式 = ，解出m；AM=AB 时，此时 M
17、点不在 y=8 上，故这种情况不存在. 17滑撑杆在悬窗中应用广泛.如图，某款滑撑杆由滑道 ，撑杆 、 组成，滑道 固定在窗台上.悬窗关闭或打开过程中，撑杆 、 的长度始终保持不变.当悬窗关闭时，如图，此时点 A 与点 O 重合，撑杆 、 恰与滑道 完全重合；当悬窗完全打开时，如图，此时撑杆 与撑杆 恰成直角，即 ，测量得 ，撑杆 ，求滑道 的长度. 【答案】解：设 cm，则由图可知 cm， 由图可知 cm， ， 在 RtABC中，根据勾股定理可得， ， ， 解得 ， 滑道 的长度为 51cm. 【解析】【分析】设 OC=MCm，利用图可表示出 BC 的长，由图表示出 AC 的长，再利用勾股定
18、理建立关于 m 的方程，解方程求出 m 的值，即可得到 OC 的长. 18如图，在ABC中，AD 平分BAC.AB=AC=3，AD=2，求 BC 的长. 【答案】解：AB=AC，AD 平分BAC， ADBC，BD=DC， BD=， BC=2BD=2. 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出 ADBC，BD=DC，然后根据勾股定理求出 BD，从而求出 BC 长即可. 19如图，ABC中，ABC45，F 是高 AD 和高 BE 的交点，AC，BD2求线段 DF的长度 【答案】解：AD 和 BE 是ABC的高， ADBADCBEC90 CDAC90；CDBF90 DAC DBF ABC45， DA
19、B45 ABCDAB DADB 在ADC与BDF中， ADCBDF（ASA） ACBF 在 RtBDF中，BDF90， BD2DF2BF2 BD2，BF， DF1 【解析】【分析】先利用“ASA”证明ADCBDF，再利用全等三角形的性质可得 ACBF，再利用勾股定理求出 DF 即可。 20某中学初二年级游同学在学习了勾股定理后对九章算术勾股章产生了学习兴趣今天，他学到了勾股章第 7 题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽问索长几何？”本题大意是：如图，木柱，绳索 AC 比木柱 AB 长三尺，BC 的长度为 8 尺，求：绳索 AC 的长度 【答案】解：设，则， 在中， ，
20、解得：， 答：绳索长是尺 【解析】【分析】设，则，根据勾股定理列出方程求解即可。 21一个 25 米长的梯子 ，斜靠在一竖直的墙 上，这时的 距离为 24 米，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4 米，那么梯子底端 B 外移多少米？ 【答案】解：如图，依题意可知 AB25(米)，AO24(米)，O90， BO2AB2AO2252-242， BO7(米)， 移动后， 20(米)， (米)， (米) 答：梯子底端 B 外移 8 米 【解析】【分析】先求出 BO7 ，再利用勾股定理计算求解即可。 22如图，在ABC中，ADCBDC90，AC20，BC15，BD9，求 AD 的长 【答案】解：ADCBDC90， 在 RtBDC中，由勾股定理得： CD 12， 在 RtACD中，由勾股定理得： AD 16 【解析】【分析】利用勾股定理即可得出答案。
