1、 13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点13.1 13.1 动力计算的特点和动力自由度动力计算的特点和动力自由度 13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类 13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点 结构动力学：结构动力学： 研究结构在研究结构在动力荷载动力荷载作用下的作用下的动力反应。动力反应。（1 1）地震现场录像）地震现场录像（2 2）地震振动台实验录像）地震振动台实验录像例如地震荷载：例如地震荷载：动力荷载：荷载的动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置大小、方向、作用位置 随时间而
2、变化。随时间而变化。（1 1）TacomaTacoma大桥风毁录像大桥风毁录像（2 2）南浦大桥风洞实验录像）南浦大桥风洞实验录像例如风荷载：例如风荷载：13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动力计算的特点荷载的变化周期是结构自振周期荷载的变化周期是结构自振周期5 5倍以上，则可看成静荷载。倍以上，则可看成静荷载。用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的小型振动台，铝质和有机玻璃模型用于教学演示的用于教学演示的小型振动台，小型振动台，铝质和有机玻璃模型铝质和有机玻璃模型铝质模型的自由铝质模型的自由振动记录振动记录有机玻璃模型的有机玻璃模型的自由振动记录自由振动记录用于教学
3、演示的用于教学演示的小型振动台，小型振动台，铝质和有机玻璃模型铝质和有机玻璃模型有机玻璃模型的有机玻璃模型的自由振动记录自由振动记录铝质模型的自由铝质模型的自由振动记录振动记录动力计算与静力计算的区别：动力计算与静力计算的区别：加速度：加速度： 可否忽略可否忽略 动力计算的内容：动力计算的内容：1）结构本身的动力特性：自振频率、阻尼、振型自振频率、阻尼、振型2）荷载的变化规律及其动力反应动力反应 （自由振动） （受迫振动）1）牛顿运动定律2）惯性力 动静法动静法（达朗伯原理）特点：考虑惯性力，形式上瞬间的动平衡动平衡！建立微分方程，, ,y y y 13.1.1 13.1.1 动力计算的特点动
4、力计算的特点 如何考虑如何考虑13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类1 1）周期荷载）周期荷载2 2）冲击荷载）冲击荷载3 3）随机荷载）随机荷载P(t )tPt简谐荷载简谐荷载P(t)ttrPP(t)ttrPP(t)tPP(t)t爆炸荷载爆炸荷载1 1爆炸荷载爆炸荷载2 2突加荷载突加荷载地震波地震波一般周期荷载一般周期荷载13.1.2 13.1.2 动力荷载的分类动力荷载的分类 建筑抗震设计原则建筑抗震设计原则 结构结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。” y13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度确定全部质量的
5、位置，所需独立几何参数的个数。 动力自由度：动力自由度：这是因为：惯性力取决于质量分布质量分布及其运动方向运动方向。mE、A、I、 R体系振动自由度为？无限自由度无限自由度( (忽略忽略 ) )m三个自由度三个自由度忽略轴向变形忽略转动惯量自由度为？单自由度单自由度m0,0mEAR例：简支梁：例：简支梁：m13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度集中质量法：集中质量法： 将分布质量集中到某些位置。无限无限 有限有限例例1 1：2EIEIEIy(a)(a)单自由度单自由度y1y2(b)(b)两个自由度两个自由度例例2 2：(t)(c)(c)三个自由度三个自由度( )m x(d
6、)(d)无限自由度无限自由度( , )y x tx13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度例例3 3：u(t)v(t)例例4 4：确定体系的振动自由度时，一般忽略梁和刚架的轴向变形，和集中质量的惯性矩的影响集中质量法几点注意：集中质量法几点注意： 1）体系动力自由度数不一定等于质量数。一个质点一个质点两个两个DOFDOF两个质点两个质点一个一个DOFDOF两个质点两个质点三个三个DOFDOF 2）体系动力自由度与其超静定次数无关。 3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度。m1m2yxxx13.1.3 13.1.3 动力计算的自由度动力计算的自由度改变改变水平振动时的计算
7、体系水平振动时的计算体系 3 3个自由度个自由度 4 4个自由度个自由度 m1m2m32 2个自由度个自由度 自由度与质量数自由度与质量数 不一定相等不一定相等 y1y2y1y3y2y3y4y1y213.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立13.2 13.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动13.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响一一、自由
8、振动自由振动 （体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力）（体系在振动过程中没有动荷载的作用，只有惯性力） 1.1.自由振动产生原因自由振动产生原因 体系在初始时刻体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。受到外界的干扰。 静平衡位置静平衡位置m获得初位移获得初位移ym获得初速度获得初速度 y2.2.研究单自由度体系的自由振动重要性研究单自由度体系的自由振动重要性 （1 1）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。）它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。 （2 2）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。）它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。 自由振动反映了
9、体系的固有动力特性自由振动反映了体系的固有动力特性 自振频率和振型自振频率和振型 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立以一悬臂柱为对象：以一悬臂柱为对象：自由振动 初始位移初始速度同时作用y(t)kmymmy 模型模型2 2隔离体隔离体理解理解两模两模型中型中 “k” 含义含义my mky模型模型1 1“弹簧小车弹簧小车”kyky建立自由振动的微分方程建立自由振动的微分方程: : 两种方法： 1）刚度法 力的平衡力的平衡2）柔度法 位移协调位移协调
10、 1 1k1P 建立方程1 1）刚度法：）刚度法：以质量为隔离体以质量为隔离体00Xmyky1k模型模型2 2模型模型1 1刚度系数 k柔度系数 概念理解概念理解 my kyy13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立建立自由振动的微分方程建立自由振动的微分方程: : 两种方法： 1）刚度法 力的平衡力的平衡2）柔度法 位移协调位移协调 建立方程2 2）柔度法：）柔度法：M点位移ykymy ky13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立ymFi ymFyi 0 yym 惯性力建立方程建立方程1
11、1）刚度法：）刚度法：mykyW0y 0kymyWstdyyy()()0stdstdk yym yyW0ststkyWy0ddkymy0kymy以质量为隔离体以质量为隔离体my 13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立建立方程建立方程2 2）柔度法：）柔度法：mkymy Wstdyyy()stdstdstyym yyy 0sty 0ymy以梁为对象建立位移方程以梁为对象建立位移方程( )y tkykymyW ymyW stWyddymy ky13.2.1 13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立单自由度体系自由振动微分方程建立（1 1）
12、刚度法）刚度法 研究作用于被隔离的质量上的力，建立研究作用于被隔离的质量上的力，建立 平衡方程，需要用到刚度系数。平衡方程，需要用到刚度系数。 方法小结方法小结 （2 2）柔度法）柔度法 研究结构上质点的位移，建立位移协调方程，研究结构上质点的位移，建立位移协调方程， 需要用到柔度系数。需要用到柔度系数。刚度法刚度法 柔度法柔度法 （3 3）方法选择）方法选择 谁较简单？谁较简单？ 谁较容易求得。谁较容易求得。 取决于结构的取决于结构的柔度系数柔度系数 刚度系数刚度系数 超静定结构，查表（形常数）超静定结构，查表（形常数） 静定结构，图乘法求静定结构，图乘法求 顺利求解刚（柔）度系数是自由振动
13、分析的关键！顺利求解刚（柔）度系数是自由振动分析的关键！ 0myky原方程：原方程：0kyym2()km令：通解为：通解为：12( )sincosy tCtCt 由由初始条件：初始条件：020(0) yyCy001(0)vyvC00( )cossinvy tytt解为：解为：T0y(t)ty0-y0T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T/4T0y(t)t0v0v13.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答化成单项三角函数的形式化成单项三角函数的形式: :解又可表达为：解又可表达为：将其展开：将其展开：( )sincoscossiny tat
14、at00( )cossinvy tytt相比较得：相比较得：0sinya0cosva22100020tanvyayv ( )sin()y tat则：振幅则：振幅T0y(t)taa0y自由振动总位移：自由振动总位移：初始相位角初始相位角13.2.2 13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答单自由度体系自由振动微分方程解答13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率( )sin()y tat由式由式: :可知可知时间时间经经 后，质量完成了一个振动周期。后，质量完成了一个振动周期。2T用用T 表示周期，表示周期， 周期函数的条件周期函数的条件: : y(t+T
15、 )=y(t )12fT1)1)自振周期计算公式：自振周期计算公式：2mTk2m2Wg2stg2)2)自振频率计算公式：自振频率计算公式：1stkggmmW秒内的振动次数秒内的振动次数2用用 表示圆频率：表示圆频率：用用 表示频率：每秒钟内的振动次数表示频率：每秒钟内的振动次数f 泛美大厦，泛美大厦，6060层层钢结构，南北方向钢结构，南北方向的基本固有周期为的基本固有周期为2.902.90秒，秒， 大坝，大坝，400400英尺高的混凝土重力坝的英尺高的混凝土重力坝的基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄基本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水为水为310310英尺和英尺和345345英尺十分别为英尺
16、十分别为0.2880.288秒和秒和0.3060.306秒，秒， 金门大桥，金门大桥，金门大桥桥墩跨距金门大桥桥墩跨距1280.21280.2米全桥总米全桥总长长2737.42737.4米的米的悬索桥，其横向振动的基本基本固悬索桥，其横向振动的基本基本固有周期为有周期为18.2018.20秒，竖向振动的基本基本固有周期秒，竖向振动的基本基本固有周期为为10.9010.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为秒，纵向振动的基本基本固有周期为3.813.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.434.43秒秒 例例13.113.1 求图示梁结构的自振周期和自振频率。求图
17、示梁结构的自振周期和自振频率。mEIl/2l/21P l/4解：为求柔度系数，在质点 上加单位力1（图乘法）348lEI32248mlTmEI 思考思考 比较图示结构的自振频率348EIl ml/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm(a)(a)(b)(b)(c)(c)(a)(b)(c)(a)(b)(c)13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率 例例13.513.5 求图示结构的频率。求图示结构的频率。解解1 1： 是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于是单自由度体系，作水平振动。求柔度时由于结构对称，可取半刚架计算。结构对称，可取半刚架计算。342EIm
18、L311212() 22223222324LLLLLLLEIEILEIEIEILmmM图图L/2L/2P=1/2P=1/22 2L/2L/2EIEIEI13.2.3 13.2.3 结构的自振周期和自振频率结构的自振周期和自振频率P=113.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响mky1) 不考虑阻尼0y(t)taamky=0c2) 考虑阻尼阻尼是客观存在的阻尼是客观存在的 振幅随时间减小，这表明在振动过程中要产生能量的损耗，称为阻尼阻尼。 （1 1）产生阻尼的原因）产生阻尼的原因1)结构与支承之间的外摩擦2)材料之间的内摩擦3)周围介质的阻力 （2 2）阻尼力的确定）阻
19、尼力的确定1)与质点速度成正比2)与质点速度平方成正比3)与质点速度无关粘滞阻尼粘滞阻尼( )R tcy y(t)mykymy kmccy 有阻尼模型有阻尼模型建立动平衡方程0mycyky标准化得:km2cm0ckyyymm其中: 称为阻尼比二阶常微分方程可变为：220yyy设特解为：tyCe特征方程为：2220解为：2(1) 111 、（1）1 令：21r则代数方程解：ri 讨论讨论: :13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响讨论讨论: :111 、小阻尼、临界阻尼、过阻尼的自由振动则微分方程通解为：12cossintrryeCtCt000cossintrrry
20、yeytt220000200()sin() , trrrvyyyeataytgvy，也可:tyyktyaeyk+1tkT1)1)是一种衰减振动是一种衰减振动2)2)对自振频率的影响对自振频率的影响21rr 当0.2,则 0.96r/1在工程结构问题中0.010.1此时，阻尼的影响可以忽略。讨论讨论: :实部初始条件初始条件虚部13.2.4 13.2.4 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响讨论讨论: :阻尼对自由振动的影响1)1)是一种衰减振动是一种衰减振动讨论讨论: :阻尼对固有振动蘋率的影响阻尼对自由振动阻尼对自由振动衰减速率的影响衰减速率的影响如图右如图右2)2)对自振频率的影响对自
21、振频率的影响 当0.2,则 0.96r/1在工程结构问题中0.01)引起的动力反应微分冲量微分冲量01( )( )sin()ty tPtdm13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应一般动荷载的动力反应一般动荷载的动力反应: :杜哈梅积分杜哈梅积分初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 为零为零（1 1）突加荷载）突加荷载 P(t)tPo001( )sin()ty tPtdm02(1cos)(1cos)stPtytmysty(t)t023质点围绕静力平衡质点围绕静力平衡 位置作简谐振动位置作简谐振动ystyst举例说明举例说明000( )
22、 0tP tPt01( )( )sin()ty tPtdm13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应max ( )2sty ty动力系数：动力系数： （2 2）短时荷载）短时荷载 P(t)tPou000( )00tP tPtutu 1 1）方法一：）方法一：00011( )( )sin()()tuy tPtdPSintdmm2sinsin()22stuuyt13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应( )(1 cos)sty tyt 阶段阶段 (0(0t u) )同突加荷载同突加荷载：直接采用直接采用 Duha
23、mel 积分积分 阶段阶段 ( (t u) )：P(t)tPou000( )00tP tPtutu 阶段阶段 ( (t u) )：体系以：体系以 作自由振动。作自由振动。( ), ( )y uy u 2 2）方法二：）方法二： 利用突加荷载结论，分段利用突加荷载结论，分段讨论。讨论。( )(1 cos)sty tyt( )sinsty uyu ( )cos()cossty tytut2sinsin()22stuuyt13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应 阶段阶段 (0(0t u) )同突加荷载同突加荷载：( )(1 cos)sty uyu 3 3
24、）方法三：）方法三：由两个突加荷载叠加而成。由两个突加荷载叠加而成。P(t)tPP(t)tPu( )(1 cos)sty tyt( )1 cos()sty tytu1)1)当当0 u(cos()cos)stytut2sinsin()22stuuyt1 cos()stytu( )(1 cos)sty tyt13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应P(t)tPuy(t)t023讨论主要针对u展开ystT/21 1）当）当u T/2，最大动最大动 位移发生在阶段位移发生在阶段max ( )2sty ty 2 2）当）当0u T/2，最大动最大动 位移发生在
25、阶段位移发生在阶段( )2sinsin()22stuuy tytmax ( )2sin2stuy tymax ( )2sin2sty tuy uT1/611/22动力系数反应谱动力系数反应谱( (T T, ,) )12sin212 2uuTTuT当当13.3.3 13.3.3 一般荷载作用下结构的动力反应一般荷载作用下结构的动力反应最大动反应的求解：最大动反应的求解：13.3.4 13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响计算简图: 建立平衡方程： ( )mycykyP t简谐荷载：22sinFyyytm( )sinP tFt方程的解： 齐次解（ ）特解（ ）r
26、sin()yat振幅：2222221(1)4stayy(t)kmym隔离体隔离体( )P t( )P tmy kycy 设特解：2222221(1)4stay动力系数：1222tan(1)相位角：2222221(1)4stay4.03.02.01.001.02.03.0=0=0.2=0.3=0.5=1.0动力系数反应谱动力系数反应谱( , )1 1）当）当 或或 时，可时，可 以不考虑阻尼的影响以不考虑阻尼的影响111静荷载静荷载0位移为位移为0 02 2）当）当 时，阻尼作用明显时，阻尼作用明显1112共振：共振：max10.751.3共振区共振区13.3.4 13.3.4 阻尼对受简谐荷载
27、强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响 例例13.1013.10 前提同例前提同例13.213.2，当机器运转产生，当机器运转产生P P0 0sintsint，P P0 0=20kN=20kN，转速为，转速为400r/min400r/min，求振幅及地基最大压力。，求振幅及地基最大压力。解解: : 由由 例例13.213.2已求出已求出144.27s k = 12103 kN/mWP0sint1)1)荷载频率荷载频率: :12240041.896060ns2)2)动力系数：动力系数：222119.5941.891144.27max320 ( )9.560.015912 10sty tym
28、3)3)竖向振动振幅竖向振动振幅: :0max60209.5612.562020PWpkPaAA 4)4)地基最大压力：地基最大压力：13.3.2 13.3.2 简谐荷载作用下结构的动力反应简谐荷载作用下结构的动力反应41.890.94644.27在共振区在共振区解: 由例13.2已求出144.27s1)荷载频率:12240041.896060ns2)动力系数：max320 ( )3.315.512 10sty tymm3)竖向振动振幅:0max60203.316.312020PWpkPaAA 4)地基最大压力： 例例13.1413.14 当机器运转产生当机器运转产生P P0 0sintsin
29、t，P P0 0=20kN=20kN，转速为，转速为400r/min,400r/min,考虑阻尼的影响考虑阻尼的影响 , ,求振幅及地基最大压力。求振幅及地基最大压力。0.15(15.9)mm( 12.56)kPa0.15WP0sint41.890.94644.27在共振区在共振区2222222222221141.8941.891414 0.1544.2744.273.31 13.3.4 13.3.4 阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响阻尼对受简谐荷载强迫振动的影响(9.59)13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动微分方程的建立两个自由度体系自由振动微分方程的建立13.4 13.4 两
30、个自由度体系的自由振动两个自由度体系的自由振动13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性13.4.4 13.4.4 两个自由度体系自由振动方程的一般解两个自由度体系自由振动方程的一般解13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立（1 1）因结构特征必须简化为多自由度体系）因结构特征必须简化为多自由度体系多层房屋、多层房屋、 不等高排架等不等高排架等（2 2）为满足计算精度的要求）为满足计算精度的要求烟囱、烟囱、 高耸建筑物等高耸建筑物等 基本方法基本方法刚度
31、法：刚度法：柔度法：柔度法： 按结构的位移协调条件建立运动方程按结构的位移协调条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程按质量的力平衡条件建立运动方程（1 1）柔度法）柔度法y1y2（m1m222m y211121P 22121212建立方程：建立方程：111111222( )( )( )y tm y tm y t221112222( )( )( )y tm y tm y t13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立柔度系数：柔度系数：注意注意柔度柔度系数系数 物理物理意义意义11P 11m y（2 2）刚度法）刚度法质量隔离体质量隔离体m2m
32、12K111( )0m y tK222( )0m y tK列平衡方程：列平衡方程：1K2K1y122y如何确定？如何确定？13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立22m y 11m y 1Ky1y2（m1m22K1K弹弹性性力力惯惯性性力力刚度系数刚度系数: :k k1K2K122y1yk11k21112k12k22112得到运动方程：得到运动方程：11111122( )0m y tk yk y22211222( )0m y tk yk y2211222Kk yk y1111122Kk yk y111( )0m y tK222( )0m y tK
33、注意注意 物理意义物理意义ijk13.4.1 13.4.1 两个自由度体系自由振动方程建立两个自由度体系自由振动方程建立13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率111112212211212222( )( )( )( )( )( )y tm y tm y ty tm y tm y t 设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即：设各质点按相同频率和初相角作简谐振动，即：（1 1）柔度法）柔度法微分方程：微分方程：211222()()yYSintyY Sint （2 2）求得：求得：1122()()yYSintyY Sint（1 1）把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式
34、代入微分方程：）式代入微分方程：221 1112122122121122222()()()0()()()0mYSintmY SintYSintmYSintmY SintY Sint 13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY齐次线性方程组齐次线性方程组: :非零解非零解频率方程频率方程1 112121212220mmDmm关于关于的二次代数方程的二次代数方程1 11222121212()()0mmmm得：得：系数行列式系数行列式 应等于零应等于零1221112221112221122122112()(
35、)4()2mmmmm m 方程两正根为方程两正根为: :112211自振频率自振频率1213.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率第一频率第一频率 （基频）第二频率第二频率（2 2）刚度法）刚度法1112112222211222( )0( )0m y tk yk ym y tk yk y微分方程：微分方程：设解为：设解为：13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率1122()()yYSintyY Sint（1 1）211222()()yYSintyY Sint （2 2）把（把（1 1）式、（）式、（2 2）式代入微分方程：）式代入微分方程：2111
36、1 112222221 1222()()()0()()()0mYSintk YSintk Y SintmY Sintk YSintk Y Sint可求得：可求得：频率方程：频率方程：21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y齐次线性方程组：齐次线性方程组：自振频率：自振频率：2211221122112212211,21212124()12kkkkk kk kmmmmm m13.4.2 13.4.2 频率方程和自振频率频率方程和自振频率非零解非零解2111122212220kmkDkkm较小的较小的 第一频率（基频），第一频率（基频）， 为第二频率。为第二频率。1
37、213.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性（1 1）主振型）主振型1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY(1)1212(1)21 11211YmYm Y1(1)Y2(1)m1m2(柔度法)121221 1121YmYm 22221211mm1 1 1）当）当第一主振型第一主振型(1)1(1)21YY若：若：13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性m1m2（1 1）主振型）主振型1 11121222121 1222221()01()0mYmYmYmY121221 1121YmYm (2)1212(2
38、)21 11221YmYm (柔度法)22221211mm2 2 2）当）当第二主振型第二主振型(2)1(2)21YY 若：若：Y1(2)Y2(2)21111122221 12222()0()0km Yk Yk Ykm Y则，用刚度系数表示的主振型为：则，用刚度系数表示的主振型为：(1)112(1)221111(2)112(2)221121YkYkmYkYkm 平衡方程：平衡方程：（2 2）主振型）主振型 (刚度法)13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性21122222211121YkkmYkmk 两种方法是等价的两种方法是等价的（3 3）主振型的正交性）主振
39、型的正交性13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性m1m211m y22m y运动方程：运动方程：按按 振动时：振动时：1 位移与加速度同时达到最大，因此位移与加速度同时达到最大，因此 可以看作可以看作是最大惯性力产生的静位移。是最大惯性力产生的静位移。 (1)(1)12YY1122()()yYSintyY Sint(1)111(1)221()()yYSintyYSint2(1)11112(1)2121()()yYSintyYSint 作自由振动时，体系上承受的是惯性力。作自由振动时，体系上承受的是惯性力。准备准备1 1：13.4.3 13.4.3 主振型及主振
40、型的正交性主振型及主振型的正交性1P111222111222PPTP准备准备2 2： 功的互等定理。功的互等定理。1 12 22P1112221P1 12 22P211222在梁上先作用在梁上先作用P P1 1, ,再作用再作用P P2 2, ,整个过程中体系做的功为：整个过程中体系做的功为：在梁上先作用在梁上先作用P P2 2, ,再作用再作用P P1 1, ,整个过程中体系做的功为：整个过程中体系做的功为：222111222122PPTP12TT 1 1号力在号力在2 2号力引起的位移上做的功号力引起的位移上做的功112221PP功的互等定理功的互等定理2 2号力在号力在1 1号力引起的位
41、移上做的功号力引起的位移上做的功（3 3）主振型的正交性）主振型的正交性用功的互等定理来证明。用功的互等定理来证明。第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型功的互等定理功的互等定理2(1)(2)2(1)(2)2(2)(1)2(2)(1)11 11122221 112222()()()()mYYm YYmYYm YY整理得：整理得：22(1)(2)(1)(2)121 11222()()0mYYm YY12第一正交关系第一正交关系虚功虚功1 1虚功虚功2 2(1)(2)(1)(2)1112220mYYm YYY1(1)Y2(1)m1m22(1)122m Y2(1)11 1mYm1m22(2)21
42、1mY2(2)222m Y13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性Y1(2)Y2(2)如何解释正交性？如何解释正交性？利用第一正交关系利用第一正交关系1) 1) 同乘同乘212(1)(2)2(1)(2)11112122()()0mYYmYY虚功虚功1 10 02) 2) 同乘同乘222(2)(1)2(2)(1)12112222()()0mYYmYY虚功虚功2 20 0 这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移这表明体系在振动过程中，各主振型的能量不会转移到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，到其他主振型上，也不会引起其他主振型的振动。因此，各主
43、振型能单独存在而不相互干扰。各主振型能单独存在而不相互干扰。13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性(1)(2)(1)(2)1112220mYYm YY1221112221112221122122112()()4()2 mmmmm m11112mm21112mm 例例13.1513.15 求简支梁的自振频率和主振型，并验证主求简支梁的自振频率和主振型，并验证主振型的正交性。振型的正交性。l/3l/3l/3 P=1 P=129l29l解：解：1 1）求柔度系数）求柔度系数311224243lEI312217486lEI2 2）代入方程求两个根）代入方程求两个根3
44、3）自振频率）自振频率13115.69EIml232122EIml12mmEI1M2M13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性l/3l/3l/3mm4 4）主振型）主振型(1)1122(1)1111211 YmmY(2)1122(2)1112211 YmmY第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型5 5）验证主振型的正交性）验证主振型的正交性(1)( 2 )(1)( 2 )1112220m YYm YY?(1)(2)(1)(2)1112221(1)1( 1)0 m YYm YYmm即：故满足正交性条件故满足正交性条件13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正
45、交性主振型及主振型的正交性利用对称性另解：利用对称性另解： 若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是若结构本身和质量分布都是对称的，则主振型不是对称就是反对称。故可取半边结构计算。对称就是反对称。故可取半边结构计算。l/3l/3l/312mmEIl/31l/91解：解： 1 1）简化）简化2 2）图乘）图乘3115162lEI131115.69EImml322486lEI2322122EImml3 3）自振频率）自振频率对称对称反对称反对称13.4.3 13.4.3 主振型及主振型的正交性主振型及主振型的正交性13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法13.5 13.5 两个自由度体系在简谐
46、荷载下的强迫振动两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动13.5.2 13.5.2 刚度法刚度法13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动简谐荷载作用下的无阻尼受迫振动柔度法柔度法（1 1）建立振动微分方程）建立振动微分方程22m y11m yPy1y21m2mtP sintP sin1P2P位移方程位移方程11 11122121()()sinPymym yt 21 12122222()()sinPymym yt 1 1 1122 12111 1 2122 2222sinsinPPmym yytmym yyt（2 2）动位移的解答及讨论）动位移的解答及讨论齐次解（齐次解
47、（ ）特解（）特解（ ）r设特解：设特解：1122( )sin( )siny tYty tYt2211112122122121122222(1)0(1)0 PPmYmYmYmY方程的解：方程的解：22111212022121222(1)(1) mmDmm其中：其中：21212122222(1) PPmDm21111221212(1) PPmDm讨讨 论论 01122D1 D, D PP，01)1)当当时时静荷载作用静荷载作用 2)2)当当时时422012D,D,D120, 0YY1121, PPYY来不及反应来不及反应12 或3)3)当当时时22111212022121222(1)(1) mm
48、Dmm0D0且且 不全为零时不全为零时12DD，12, YY共振共振13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法121200DDYYDD振幅：振幅：（3 3）动内力幅值的计算）动内力幅值的计算由由Y1 、Y2值可求得位移和惯性力值可求得位移和惯性力位移：位移：惯性力：惯性力：1122sinsinyYtyYt21112222sinsinmymYtmymYt外荷载：外荷载：sinPt惯性力幅值惯性力幅值21112222ImYImYPI1I212max1 122( )PM tM IM IM叠加公式叠加公式 动内力有正负号，叠加要注意！动内力有正负号，叠加要注意！13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法位
49、移、惯性力和荷载同时达位移、惯性力和荷载同时达到幅值，动内力也同时达到到幅值，动内力也同时达到最大。求内力时可将动荷载最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，按静力法求解作用于结构，按静力法求解 例例13.1713.17 求图示结构质点求图示结构质点1 1和和2 2点的动位移幅值和动弯点的动位移幅值和动弯矩幅值图。已知：矩幅值图。已知：121,0.75mmm EICl/4l/2l/412m1m2EItP sin I1=11M I2=12M解：解：1 1）求柔度系数）求柔度系数311223256lEI312217768lEI2 2）求频率）求频率136
50、.93EIml自振频率自振频率荷载频率荷载频率35.198EIml313256PPlEI327768PPlEIPPM316Pl316l13.5.1 13.5.1 柔度法柔度法3 3）计算）计算012DDD、21212122222(1) PPmDm21111221212(1) PPmDm22111212022121222(1)(1) mmDmm0.406530.01025PlEI30.00911PlEI4 4）位移、惯性力幅值）位移、惯性力幅值31100.0252DPlYDEI32200.0224DPlYDEI21110.6808ImYP22220.6051ImYP13.5.1 13.5.1 柔
