1、第 1 页 共 2 页2019 年全国硕士研究生招生考试初试试题【B】卷科目代码：821科目名称：高等代数考生须知考生须知1 答案须写在答题纸密封线内，写在试题卷、草稿纸等均视为无效。2 答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。3 交卷时，请本人将答题纸放入试题袋内，密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。一一、（15 分）设, ,m n p为非负整数，331322( ),( )1mnpf xxxxg xxx， 且满足( )( )g xf x，证明, ,m n p具有相同的奇偶性.二二、（15 分）设12,Rn 记sin(),1,ijijai jn， 定义矩阵()Rn nijAa，试对2n 时计算
2、行列式|A的值； 当3n 时结果如何？三三、（15 分）已知线性方程组123123123322xxxxxxxxx ，试讨论取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷多组解.四四、（15 分）已知111111111A ，矩阵X满足12A XAX，其中A是A的伴随矩阵，求矩阵.X五五、（20 分）已知 3 维线性空间V有两组基：123321(I) ,; (II) ,2,3 （1）若向量在基(I)下的坐标为(1,1, 1)T，求在基(II)下的坐标；（2）定义线性变换A：1122331(),()2,()3AAA，求A关于(II)的矩阵P.六六、（15 分）设二次型为2221231231323( ,)(1
3、)22,f x x xaxaxaxx xx x（1）求二次型f的矩阵的所有特征值；第 2 页 共 2 页（2）若f的规范形为2212yy，求a的值.七七、（15 分）已知线性空间2(K)M的线性变换及线性子空间W如下:()TTXB XX B，2(K),XM其中11,01B1112112221220,K ,ijxxWxxxxx（1）求W的一个基；（2）证明W是的不变子空间.八、（20 分）设A是n阶复方阵，tr( )A表示A的迹，证明：0nA 当且仅当tr()0,1,2, .kAkn九、（20 分）已知, ,A B C D是线性空间V上的线性变换，且两两可互相交换，并有,ACBDE这里E是单位变换，证明:ker()kerker .ABAB
