1、 数学大观数学大观3 凌波微步凌波微步 微积分微积分 李尚志李尚志 北京航空航天大学北京航空航天大学 一元微积分一元微积分 物理：以匀速代替非匀速物理：以匀速代替非匀速 几何：以直代曲几何：以直代曲（只能看不能算）（只能看不能算） 代数：以线性代替非线性代数：以线性代替非线性 例例. 自由落体自由落体 x = 4.9 t2 . 求求t 秒末的速度秒末的速度. 解：解： x(t+D Dt)=4.9(t+D Dt)2 =4.9 t2 +9.8t(D Dt)+4.9(D Dt)2 线性化：线性化： x(t+D Dt) 4.9 t2 +9.8t(D Dt) 误差误差4.9(D Dt)2 : D Dt
2、的无穷小倍的无穷小倍 = o(D Dt). 速度速度vt= 一次项系数一次项系数 9.8 = 导数导数几何几何: :以直代曲以直代曲 抛物线抛物线 x = 4.9(t + D Dt) )2 在点在点(t, 4.9t2)附近附近 被切线被切线 x = 4.9t2 + 9.8D Dt 近近似代替似代替 速度速度v1 =切线斜率切线斜率 此几何意义与此几何意义与 x,t 的物理意义无关的物理意义无关 可以推广到别的可以推广到别的 函数函数 y = f(x)D DtD Dxtx 微分与导数微分与导数 函数函数 y = f(x) 在在 x=a 附近线性化。附近线性化。 函数增量函数增量 D Dy = f
3、(x)-f(a),自变量增量自变量增量D Dx=x-a D Dy k D Dx ， 误差误差: :D DykkD Dx = o(D Dx) 微分微分: dy = kD Dx 导数导数: = k,记为记为 f (a) = =变化率变化率= =切线斜率切线斜率. . 一次函数代替一次函数代替 f(x): y=f(x) f(a) + f (a) D DxxD DxD Dyy假作真时貌似真假作真时貌似真 极限：极限： f(x) A 即即: f(x)=A+q q, ,q q无穷小无穷小( (0). 0). 若若 f(x)A, g(x)B f(x)g(x)= (A+q q1)(B+q q2)=AB+q q
4、1B+Aq q2+q q1q q2 AB 无穷小无穷小的的代数性质代数性质 (同济同济. 用用 e-de-d语言证明语言证明.) 可以将可以将 q q1, q, q2看成看成 0，略去不写，略去不写 写写 f(x) A, g(x) B, 像等式一样加、减、乘像等式一样加、减、乘 得到得到 f(x) g(x) A B, f(x)g(x) AB 即即f(x) g(x) A B, f(x)g(x) AB . 被忽略的元素集合被忽略的元素集合=无穷小无穷小= O(D Dx) 微分：微分：D Dy dy （mod o(D Dx) f(x) f(a)+f (a)D Dx（mod o(D Dx)多项式的导数
5、多项式的导数 . 多项式多项式 f(x)=anxn +a1x+a0 的导数的导数: 差差分分D D f(x) = f(x+ t ) t ) f(x)=(nanxn-1+a1)t t +()t t2 是是 t t 的多项式的多项式, , 其中其中t t 的一次项系的一次项系数即数即 f (x) = =nanxn-1+a1 和差积商的导数公式和差积商的导数公式 f(x) f(a) + f(a) D Dx g(x) g(a) +g(a) D Dx 两式相加减两式相加减 和差的导数和差的导数 相乘相乘乘积的导数乘积的导数 f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) D
6、Dx 倒数的导数倒数的导数:微积分基本概念微积分基本概念（二）（二） - 定积分定积分 速度速度 v(t) 路程路程 s(t) 路程路程 = 速度速度* 时间时间 速度变化怎么办速度变化怎么办? 分段计算分段计算: D Dsi = v(ti)* D Dti 各段相加：各段相加：s = S Si D Dsi, D, Dti 0微积分基本概念微积分基本概念（三）（三） - 微积分基本定理微积分基本定理 飞檐走壁之电影实现飞檐走壁之电影实现 s(t) = kt2 v(t) = 2kt v(t) = 2kt s(t) = ? a = a v = v0 + at s = v0t + at22022-5-
7、19 球面镜的反射球面镜的反射0.511.520.511.520.511.520.511.522022-5-19球面镜的反射球面镜的反射 正确的聚光镜正确的聚光镜 形状形状0.511.520.511.52123412342022-5-1912341234 的计算的计算 想一想：怎样算想一想：怎样算 ？ 当一回祖冲之！当一回祖冲之！2022-5-19 圆的面积圆的面积0.20.40.60.810.20.40.60.810.20.40.60.810.20.40.60.81无穷级数法无穷级数法 arctan x =x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-. /4 = arctan 1 =1-1/
8、3+1/5-1/7+1/9- 收敛太慢！收敛太慢！ | |x| x| 应当比应当比 1 1 小很多，级数收敛才快。小很多，级数收敛才快。 /4 = arctan 1/2 + arctan1/3 /4 = 4 arctan 1/5 - arctan 1/2392022-5-19 蒙特卡罗法蒙特卡罗法0.20.40.60.810.20.40.60.812022-5-19寻优寻优光的折射定律光的折射定律光在同一种介质中走最短光在同一种介质中走最短路线（直线），路线（直线），聪明！聪明！从一种介质进入另一种介从一种介质进入另一种介质发生折射，质发生折射，傻了？傻了？2022-5-19 设光在两种介质中的速度比为 u，两介质分界线为直线。从第一介质的A点到第二介质的B点，走怎样的路线时间最短？ 问题：问题：2022-5-19最速降线最速降线 重力场中高度不同的两点A，B。在A静止的质点沿怎样的路径下滑到B点，时间最少？2022-5-19寻找最速降线寻找最速降线求T=f(y1,y2,yn-1 )的最小值点(y1,y2,yn-1) 。用光滑曲线连接点Pi等时曲线等时曲线2022-5-19 最速降线的形状246810-3-2.5-2-1.5-1-0.5 谢谢谢谢 ！
