1、第17章 一元二次方程一元二次方程 17.1 一元二次方程 学习目标学习目标 1.理解一元二次方程的概念 .（难点） 2.根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数 . 3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点） 导入新课导入新课 复习引入 1.下列式子哪些是方程？ 2+6=8 2 x+3 没有未知数 代数式 5 x+6=22 x+3 y=8 一元一次方程 二元一次方程 x-518 4?2?9x不等式 分式方程 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程 . 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 想一想：什么叫3.
2、什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？ 含有一个未知数，且未知数的次数是 1的整式方程叫作一元一次方程. 讲授新课讲授新课 一 一元二次方程的概念 问题1 如图，已知一矩形的长为 200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三 .求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中取3）. 150cm 解：设由于圆的半径为xcm，则它的面积为 3x2 cm2. 根据题意有， 200cm 该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ 3200?150?3x?200?150?4整理，得 x2?2500?0 2问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路
3、（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成2小花坛.如图要使花坛的总面积为570 m，问小路的宽应为多少？ 20 32 x 思考： 1.若设小路的宽是xm，那么2，纵横向小路的面_m32 x 2,向小路的面积是 m220 x 2. 2 两者重叠的面积是 m2 x32 20 x 2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？ 3220(32 x220 x)2 x2=570 整理以上方程可得： x2-36 x35=0 想一想： 还有其他的列法吗？试说明原因 . 32-2x (20- x)(32-2x)=570 20-x 20 32 观察与思考 方程、都
4、不是一元一次方程 .那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x?2500?0 25 x?50 x?11?0 x2-36 x35=0 22特点: 都是整式方程; 只含一个未知数; 未知数的最高次数是2 . 知识要点 ?一元二次方程的概念一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为2ax +bx+c=0( a,b,c为常数, a0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. ?一元二次方程的一般形式是一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0 (a , b , c为常数, a0) 2 ax 称为二次项, a 称为二次项系数. b 称为一次项系数.
5、bx 称为一次项, c 称为常数项. 想一想 为什么一般形式中ax2+bx+c=0要限制a0，b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 时 当 a 0 ， b = 0时 ， 当 a 0 ， c = 0时 ， 当 a 0 ，b = c =0时 ， bxc = 0 ax2c = 0 ax2bx = 0 ax2 = 0 总结：只要满足a 0 ，b ， c 可以为任意实数. 典例精析 含两个未知数 例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C ） 122不是整式方程 A.x?2?0B.3x?5xy?y?0 x2C.(x?1)( x? 2) ?0D. ax?bx?c?02化简整理成 少了限制条件 a0
6、x2-3 x+2=0 提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断 . 例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1) ax2x=2 x2 (2) ( a1) x |a|+1 2 x7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2) x2- x=0,所以当a- 20，即a2时，原方程是一元二次方程 . (2)由a +1 =2，且a- 1 0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程. 方法点拨：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于 2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于 0的字母的值 例3：将方程3 x
7、(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数 . 解： 去括号，得 3 x2-3 x=5 x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3 x2-8 x-10=0. 其中二次项是3 x2,系数是3；一次项是-8 x,系数是-8；常数项是-10. 注意 系数和项均包含前面的符号 . 二 一元二次方程的根 ?一元二次方程的根 使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（又叫作根） . 练一练：下面哪些数是方程 x2 x 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 3和-2. 解： 你注意到了吗？
8、一元二次方程可能不止一个根. 例4：已知a是方程 x2+2 x2=0 的一个实数根, 求 2 a2+4a+2017的值. 解：由题意得 a? ?2 a? ?2? ?0，即a? ?2 a? ?2.? ?2 a? ?4 a? ?2017? ?2( a? ?2 a)? ?2017? ?2? ?2? ?20172222? ?2021.方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需运用到整体思想，求解时，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值 随堂练习随堂练习 1. 下列哪些是一元二次方程？ 3 x+2=5 x-2 2x =0 (x+3)(2 x-4)= x2 23 y =(
9、3 y+1)( y-2) x2=x3+x2-1 23 x =5 x-1 2.填空： 方程 22一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 x?3x?2?0 x?3 x?2?03y?1?2 3y4x ?521 3 4 3 3 -2 1 -5 23y2?2 3y?1?0?2 30 -2 4x ?5?02(2?x)(3 x?4)?33x2?2x?5?0-5 3.请根据题意列出方程 ,并化为一般形式. 1)有一块矩形铁皮 ,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形 ,然后将四周凸出部分折起 ,就能制作一个无盖方盒 ,如果要制作的方盒的底面积为 3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
10、 解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100-2x)cm,宽为(50-2x)cm,根据方盒的底x 2面积为3600cm,得 3600cm2 100cm 50cm (100?2 x)(50?2 x)?3600化简，得 x?75 x?350?022）要组织要组织一次排球邀请赛 ,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件 ,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛? 解：根据题意，列方程： 1x(x?1)?28.2化简，得： x?x?56?0.24.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：由题意把x=3代入方程x2+a
11、x+a=0，得 32+3 a+a=0 9+4 a=0 4 a=-9 9? ? a ? ? ? ?45.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0 有一个根为0，求m的值. 2解：将x=0代入方程m-4=0， 解得m = 2. m+2 0， m -2， 二次项系数不为零不容忽视 综上所述：m =2. 拓广探索 已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a0)的一个根为1, 求a+b+c的值. 解：由题意得 a? ?1? ?b? ?1? ?c? ?0，即a? ?b? ?c? ? 0.思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 ( a0)的一个根吗? 2a? ?b? ?c? ? 0，解：由题意得 即a? ?1? ?b? ?1? ?c? ?0.2方程ax2+bx+c=0 ( a0)的一个根是1. 2. 若 a- b +c=0,4 a+2 b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 ( a0)的一个根吗? x=2或x=-1 课堂小结课堂小结 概 念 是整式方程； 含一个未知数； 最高次数是2. 2ax +bx+c=0 ( a 0) 一 元 二次 方 程 一般形式 其中(a0)是一元二次方程的必要条件； 使方程左右两边相等的未知数的值. 根
