1、8.68.6立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法考情概览-2-知识梳理-3-知识梳理双击自测1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面,那么称向量n垂直于平面,记作n.此时把向量n叫做平面的法向量.知识梳理-4-知识梳理双击自测2.线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面的法向量为n2=(x2,y2,z2).(1)如果l1l2,那么e1e2e2=e1a2=a1,b2=b1
2、,c2=c1.(2)如果l1l2,那么e1e2e1e2=0a1a2+b1b2+c1c2=0.(3)若l1,则e1n1e1n1=0a1x1+b1y1+c1z1=0.(4)若l1,则e1n1e1=kn1a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1.(5)若,则n1n2n1=kn2x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2.(6)若,则n1n2n1n2=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.知识梳理-5-知识梳理双击自测3.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角范围:两条异面直线所成的角的取值范围是 .向量求法:设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为,则有cos =|cos |.(2)直线与平面
3、所成的角范围:直线和平面所成的角的取值范围是 .向量求法:设直线l的方向向量为a,平面的法向量为u,直线与平面所成的角为,a与u的夹角为,则有sin =|cos |或cos =sin .知识梳理-6-知识梳理双击自测(3)二面角二面角的取值范围是0,.二面角的向量求法:若AB,CD分别是二面角-l-的两个面内与棱l垂直的异面直线,则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图).设n1,n2分别是二面角-l-的两个面,的法向量,则图中向量n1与n2的夹角的补角的大小就是二面角的平面角的大小;而图中向量n1与n2的夹角的大小就是二面角的平面角的大小.知识梳理-7-知识梳理双击自测 答案解析解析关闭
4、 答案解析关闭知识梳理-8-知识梳理双击自测2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BCA=90,点M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为() 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理-9-知识梳理双击自测3.设直线l的方向向量为a,平面的法向量为n=(2,2,4),若a=(1,1,2),则直线l与平面的位置关系为;若a=(-1,-1,1),则直线l与平面的位置关系为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理-10-知识梳理双击自测4.正三棱锥的三个侧面两两垂直,则它的侧面与底面所成的二面角的余弦值为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理-11
5、-知识梳理双击自测5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为CC1的中点,则直线DE与平面A1BC1的夹角的正弦值为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭知识梳理-12-知识梳理双击自测自测点评1.切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示,理解直线平行与直线方向向量平行的差异,否则易造成解题不严谨.2.利用空间向量求空间角,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.-13-考点一考点二考点三利用空间向量证明平行、垂直利用空间向量证明平行、垂直(考点难度考点难度)【例1】 如图,四棱锥P
6、-ABCD的底面为正方形,侧棱PA底面ABCD,且PA=AD=2,E,F,H分别是线段PA,PD,AB的中点.求证:(1)PB平面EFH;(2)PD平面AHF.-14-考点一考点二考点三证明:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),H(1,0,0).-15-考点一考点二考点三方法总结1.恰当建立坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标,是运用向量法证明平行和垂直的关键.2.证明直线与平面平行,只须证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零,或证直线的方向向量与平面内的不共
7、线的两个向量共面,然后说明直线在平面外即可.这样就把几何的证明问题转化为向量运算.3.证明直线与直线垂直,只需要证明两条直线的方向向量垂直,而直线与平面垂直、平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明.-16-考点一考点二考点三对点训练如图,在棱长为1的正方体AC1中,点E,F分别为A1D1和A1B1的中点.若点P在正方形ABCD内部或其边界上,且EP平面BFC1,求EP的最大值、最小值.-17-考点一考点二考点三解:以D为坐标原点,DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,设平面BFC1的法向量为n=(x,y,z), 取z=1得平面BFC1的一个法向量n=(1,2,1)
8、. -18-考点一考点二考点三-19-考点一考点二考点三利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角(考点难度考点难度)考情分析从近几年高考来看,利用空间向量求空间角是每年必考内容,重点考查向量方法的应用,题目有一定难度.题目的常见类型有:(1)利用空间向量求异面直线所成的角;(2)利用空间向量求直线与平面所成的角;(3)利用空间向量求二面角.-20-考点一考点二考点三类型一利用空间向量求异面直线所成的角【例2】 将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周的同侧.(1)求三棱锥C-O1A1B1的体积;(2)求异面直线B1C与AA1所成的角的大小.-21-考点一考点二考点三解:(1)
9、由题意可知,圆柱的高h=1,底面半径r=1. -22-考点一考点二考点三(2)方法一:设过点B1的母线与下底面交于点B,则BB1AA1,所以CB1B为直线B1C与AA1所成的角. 方法二:(坐标系法)以OO1所在直线为z轴,以OA所在直线为y轴,取BC中点D,以OD所在直线为x轴建空间坐标系也可得所成角为45.-23-考点一考点二考点三对点训练对点训练在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,BCAD,ADC=90,BC=CD= AD=1,PA=PD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:PA平面BEF;(2)若直线PC与AB所成的角为45,求线段PE的
10、长.-24-考点一考点二考点三(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,BCAD,ADC=90,BC=CD= AD=1,PA=PD,E,F分别为线段AD,PC的中点,PE平面ABCD,BEAE.以E为原点,EA所在直线为x轴,EB所在直线为y轴,EP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),E(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,1,0).-25-考点一考点二考点三-26-考点一考点二考点三类型二利用空间向量求直线与平面所成的角【例3】 已知四边形ABCD为直角梯形,BCD=90,ADCB,且AD=3,BC=2CD=4,点E,F分
11、别在线段AD和BC上,使FEDC为正方形,将四边形ABFE沿EF翻折至使二面角B-EF-C的所成角为60.(1)求证:CE平面ADB;(2)求直线AB与平面FECD所成角的正弦值.-27-考点一考点二考点三(1)证明:如图所示,取FB的中点M,连接CM,AM.AEBM,四边形AEMB是平行四边形.ABEM.AMCD,四边形AMCD是平行四边形,ADCM.又CMEM=M,ABAD=A,平面EMC平面ADB.又CE平面CME,CE平面ADB.-28-考点一考点二考点三(2)解:取DE的中点O,建立如图所示的空间直角坐标系.AED=BFC=60.-29-考点一考点二考点三对点训练对点训练如图,在四棱
12、锥P-ABCD中,ABPA,ABCD,且PB=BC=BD= ,CD=2AB=2 ,PAD=120.(1)求证:平面PAD平面PCD;(2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.-30-考点一考点二考点三(1)证明:过点B作BEAD交CD于点E.ABCD,BEAD,四边形ABED为平行四边形.AB=DE.又CD=2AB,E为CD中点.BECD.四边形ABED为矩形.ABAD.又ABPA,PAAD=A,AB平面PAD.又ABCD,CD平面PCD,平面PAD平面PCD.-31-考点一考点二考点三(2)解:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立空间直角坐标系,-32-考点一考点二考
13、点三-33-考点一考点二考点三类型三利用空间向量求二面角的大小【例4】 (2018浙江高三模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2,AA1C1=60,平面ABC1平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.(1)求证:BDA1C;(2)求二面角C1-AB-C的余弦值.-34-考点一考点二考点三(1)证明:已知侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点,BA=BC1,BDAC1.平面ABC1平面AA1C1C,且BD平面ABC1,平面ABC1平面AA1C1C=AC1,BD平面AA1C1C,BDA1C.(2)解:如图,以D为原点,以DA,DB,DC所在直线分别为x轴、
14、z轴、y轴建立空间直角坐标系,-35-考点一考点二考点三平面ABC1平面AA1C1C,A1CAC1,CD平面ABC1.-36-考点一考点二考点三对点训练对点训练如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点,AA1=AC=CB= AB.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.-37-考点一考点二考点三(1)证明:连接AC1交A1C于点F,则F为AC1的中点.又D是AB的中点,连接DF,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.-38-考点一考点二考点三-39-考点一考点二考点三可取m=(2,1,-2).
15、-40-考点一考点二考点三方法总结1.利用向量法求异面直线所成的角时,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角的范围是 ,两向量的夹角的范围是0,所以要注意二者的区别与联系,应有cos =|cos |.2.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.-41-考点一考点二考点三3.利用空间向量求二面角的方法:(1)分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的
16、夹角的大小就是二面角的平面角的大小;(2)通过平面的法向量来求:设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或-).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.-42-考点一考点二考点三利用空间向量解决探索性问题利用空间向量解决探索性问题(考点难度考点难度)【例5】 (2018浙江诸暨高三模拟)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为菱形,ABC=60,PAD为正三角形,且平面PAD平面ADCB,M为AD的中点.(1)若N为PB的中点,求证:MN平面PCD;(2)线段PB(含端点)上是否存在点N,使得MN与平面PBC所成角为 ?-43-考点一考点二考点三解:(1)取
17、PC的中点Q,连接NQ,DQ,由中位线定理及菱形的性质可得QNMD,QN=MD,四边形QNMD为平行四边形.MNDQ.MN平面PDC,DQ平面PDC,MN平面PDC.(2)平面PAD平面ADCB,平面PAD 平面ADCB=AD,PMAD,PD平面ADCB,易得CMMD,以MD,MC,MP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.不妨设AB=2,-44-考点一考点二考点三-45-考点一考点二考点三方法总结立体几何开放性问题求解方法有以下两种:(1)根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后再加以证明,得出结论;(2)假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条件,根据
18、题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在这样的点或线,否则不存在.-46-考点一考点二考点三对点训练对点训练如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,ABC和A1AC均为60,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求证:BDAA1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1?若存在,求出点P的位置;若不存在,请说明理由.-47-考点一考点二考点三(1)证明:设BD与AC交于点O,则BDAC,连接A1O.在AA1O中,AA1=2,AO=1,A1AO=60,由于平面AA1C1C平面ABCD,平面AA1C1C平面ABCD=AC,A1O平面AA1C1C,A1
19、O平面ABCD,以OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,-48-考点一考点二考点三(2)解:假设在直线CC1上存在点P,使BP平面DA1C1, 学科素养-49-答题规范答题规范利用空间向量求角利用空间向量求角利用空间向量求角是高考的热点,前几年理科每年必考,主要是突出向量的工具性作用.利用空间向量求空间角的关键是能够根据空间几何图形特点建立空间坐标系,写出空间点坐标.将向量的夹角转化成空间角时,要注意根据角的概念和图形特征进行转化,否则易错.学科素养-50-【典例】 (2017浙江宁波联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,BAD=120,AB=AD=2,
20、BCD是等边三角形,E是BP中点,AC与BD交于点O,且OP平面ABCD.(1)求证:PD平面ACE;(2)当OP=1时,求直线PA与平面ACE所成角的正弦值.学科素养-51-分析:(1)推导出ABC ACD,O是BD中点,连接OE,则OEPD,由此能证明PD平面ACE.(2)由BDAC,PO平面ABCD,以O为原点,OB,OC,OP为坐标轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线PA与平面ACE所成角的正弦值.(1)证明:在四棱锥P-ABCD中,BAD=120,AB=AD=2,BCD是等边三角形,ABC ACD.E是BP中点,AC与BD交于点O,O是BD中点.连接OE,则OEPD. (3分)
21、PD平面ACE,OE平面ACE,PD平面ACE. (6分)学科素养-52-(2)解:BDAC,PO平面ABCD,以O为原点,OB,OC,OP为坐标轴建立空间直角坐标系, (8分)学科素养-53-答题指导本题考查面面垂直的证明,考查二面角的余弦值的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.学科素养-54-高分策略1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.3.利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面,的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.
