1、 1 / 35 直角三角形与勾股定理直角三角形与勾股定理 一、选择题一、选择题 1. （2014湘潭，第 7 题，3 分）以下四个命题正确的是（ ） A 任意三点可以确定一个圆 B 菱形对角线相等 C 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D 平行四边形的四条边相等 考点： 命题与定理 分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个 选项判断后即可确定答案 解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误； C、正确； D、平行四边形的四条边不一定相等 故选 C 点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键
2、是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角 三角形的性质及平行四边形的性质，难度一般 2. （2014湘潭，14 题，3 分）如图，O 的半径为 3，P 是 CB 延长线上一点，PO=5，PA 切O 于 A 点，则 PA= 4 （第 2 题图） 考点： 切线的性质；勾股定理 分析： 先根据切线的性质得到 OAPA，然后利用勾股定理计算 PA 的长 解答： 解：PA 切O 于 A 点， 2 / 35 来源: 学*科 *网 OAPA， 在 RtOPA 中，OP=5，OA=3， PA=4 故答案为 4 点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了勾股定理 3. （2014泰州，第 6
3、 题，3 分）如果三角形满足一个角是另一个角的 3 倍，那么我们称这 个三角形为“智慧三角形” 下列各组数据中， 能作为一个智慧三角形三边长的一组是 （ ） A 1，2，3 B 1，1， C 1，1， D 1，2， 考点： 解直角三角形 专题： 新定义 分析： A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角 120 ，底角 30 的等腰三角形，依此即可作出判定； D、解直角三角形可知是三个角分别是 90 ，60 ，30 的直角三角形，依此即可作出判 定 解答： 解：A、1+2=3，不能
4、构成三角形，故选项错误； B、12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误； C、底边上的高是= ，可知是顶角 120 ，底角 30 的等腰三角形， 故选项错误； D、解直角三角形可知是三个角分别是 90 ，60 ，30 的直角三角形，其中 90 30 =3， 符合“智慧三角形”的定义，故选项正确 故选：D 点评： 考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的 判定，“智慧三角形”的概念 4. （2014扬州，第 7 题，3 分）如图，已知AOB=60 ，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M， N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM=（
5、） 3 / 35 （第 4 题图） A 3 B 4 C 5 D 6 考点： 含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质 分析： 过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D，在直角三角形 POD 中，利用锐角三角函数定义求 出 OD 的长，再由 PM=PN，利用三线合一得到 D 为 MN 中点，根据 MN 求出 MD 的 长，由 ODMD 即可求出 OM 的长 解答： 解：过 P 作 PDOB，交 OB 于点 D， 在 RtOPD 中，cos60 = ，OP=12， OD=6， PM=PN，PDMN，MN=2， MD=ND= MN=1， OM=ODMD=61=5 故选 C 点评： 此题考查了含
6、30 度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的 性质是解本题的关键 5.（2014扬州，第 8 题，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD=6，ABBC，ADCD， BAD=60 ，点 M、N 分别在 AB、AD 边上，若 AM：MB=AN：ND=1：2，则 tanMCN= （ ） 4 / 35 （第 5 题图） A B C D 2 考点： 全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含 30 度角的直角三角 形；勾股定理 专题： 计算题 分析： 连接 AC，通过三角形全等，求得BAC=30 ，从而求得 BC 的长，然后根据勾股定理 求得 CM 的长， 连
7、接 MN，过 M 点作 MEON 于 E，则MNA 是等边三角形求得 MN=2，设 NF=x， 表示出 CF，根据勾股定理即可求得 MF，然后求得 tanMCN 解答： 解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2， AM=AN=2，BM=DN=4， 连接 MN，连接 AC， ABBC，ADCD，BAD=60 在 RtABC 与 RtADC 中， ， RtABCRtADC（LH） 5 / 35 BAC=DAC= BAD=30 ，MC=NC， BC= AC， AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2， 3BC2=AB2， BC=2， 在 RtBMC 中，CM=2 AN=AM，
8、MAN=60 ， MAN 是等边三角形， MN=AM=AN=2， 过 M 点作 MEON 于 E，设 NE=x，则 CE=2x， MN2NE2=MC2EC2，即 4x2=（2）2（2x）2， 解得：x=， EC=2=， ME=， tanMCN= 故选 A 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等 三角形的判定与性质是解本题的关键 6. （ 2014安徽省,第 8 题 4 分）如图，RtABC 中，AB=9，BC=6，B=90 ，将ABC 折 叠，使 A 点与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ） A B C 4 D 5 考点
9、： 翻折变换（折叠问题） 6 / 35 分析： 设 BN=x，则由折叠的性质可得 DN=AN=9x，根据中点的定义可得 BD=3，在 RtABC 中，根据勾股定理可得关于 x 的方程，解方程即可求解 解答： 解：设 BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9x， D 是 BC 的中点， BD=3， 在 RtABC 中，x2+32=（9x）2， 解得 x=4 故线段 BN 的长为 4 故选：C 点评： 考查了翻折变换（折叠问题） ，涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程 思想，综合性较强，但是难度不大 7. （ 2014广西贺州，第 11 题 3 分）如图，以 AB 为直径的O 与弦 CD
10、 相交于点 E，且 AC=2，AE=，CE=1则弧 BD 的长是（ ） A B C D 考点： 垂径定理；勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算 分析： 连接 OC，先根据勾股定理判断出ACE 的形状，再由垂径定理得出 CE=DE，故 =，由锐角三角函数的定义求出A 的度数，故可得出BOC 的度数，求出 OC 的长，再根据弧长公式即可得出结论来源:Z.xx.k.Com 解答： 解：连接 OC， ACE 中，AC=2，AE=，CE=1， AE2+CE2=AC2， ACE 是直角三角形，即 AECD， 7 / 35 sinA=， A=30 ， COE=60 ， =sinCOE，即=，解得 OC=，
11、 AECD， =， = 故选 B 点评： 本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中 8.（2014滨州，第 7 题 3 分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A 4，5，6 B 1.5，2，2.5 C 2，3，4 D 1，3 考点： 勾股定理的逆定理 分析： 由勾股定理的逆定理， 只要验证两小边的平方和等于最长边的平 方即可 解答： 解：A、42+52=4162，不可以构成直角三角形，故本选项错误； B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确； C、22+32=1342，不可以构成直角三角形，故本选项错误； D、12+（）
12、2=332，不可以构成直角三角形，故本选项错误 故选 B 点评： 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 8 / 35 a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形 9 （2014 年山东泰安，第 8 题 3 分）如图，ACB=90 ，D 为 AB 的中点，连接 DC 并延长 到 E，使 CE= CD，过点 B 作 BFDE，与 AE 的延长线交于点 F若 AB=6，则 BF 的长为 （ ） A6 B 7 C 8 D 10 分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 CD= AB=3，则结合已知条件 CE= CD 可以求得 ED=4然后由三角形中位线定理可以求
13、得 BF=2ED=8 解：如图，ACB=90 ，D 为 AB 的中点，AB=6，CD= AB=3又 CE= CD， CE=1，ED=CE+CD=4又BFDE，点 D 是 AB 的中点， ED 是AFD 的中位线，BF=2ED=8故选：C 点评： 本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线 根据已知条件求得 ED 的长度是解题的关键与难点 10 （2014 年山东泰安，第 12 题 3 分）如图是一个直角三角形纸片，A=30 ，BC=4cm， 将其折叠，使点 C 落在斜边上的点 C处，折痕为 BD，如图，再将沿 DE 折叠，使 点 A 落在 DC的延长线上的点 A处，如图，则折痕 DE
14、的长为（ ） A cm B 2cm C 2cm D 3cm 9 / 35 分析：根据直角三角形两锐角互余求出ABC=60 ，翻折前后两个图形能够互相重合可 得BDC=BDC，CBD=ABD=30 ，ADE=ADE，然后求出BDE=90 ，再解 直角三角形求出 BD，然后求出 DE 即可 解：ABC 是直角三角形，A=30 ，ABC=90 30 =60 ， 沿折痕 BD 折叠点 C 落在斜边上的点 C处， BDC=BDC，CBD=ABD= ABC=30 ， 沿 DE 折叠点 A 落在 DC的延长线上的点 A处，ADE=ADE， BDE=ABD+ADE= 180 =90 ， 在 RtBCD 中，B
15、D=BC cos30 =4=cm， 在 RtADE 中，DE=BDtan30 = cm故选 A 点评： 本题考查了翻折变换的性质， 解直角三角形， 熟记性质并分别求出有一个角是 30 角的直角三角形是解题的关键 二二.填空题填空题 1. （ 2014福建泉州，第 14 题 4 分）如图，RtABC 中，ACB=90 ，D 为斜边 AB 的中 点，AB=10cm，则 CD 的长为 5 cm 考点： 直角三角形斜边上的中线 分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 CD= AB 解答： 解：ACB=90 ，D 为斜边 AB 的中点， CD= AB= 10=5cm 故答案为：5 点评：
16、本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关 键 10 / 35 2. （ 2014广东，第 14 题 4 分）如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆 心 O 到 AB 的距离为 3 考点： 垂径定理；勾股定理 分析： 作 OCAB 于 C，连结 OA，根据垂径定理得到 AC=BC= AB=3，然后在 RtAOC 中 利用勾股定理计算 OC 即可 解答： 解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB， AC=BC= AB= 8=4， 在 RtAOC 中，OA=5， OC=3， 即圆心 O 到 AB 的距离为 3 故答案为：3 点评：
17、本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查 了勾股定理 3 （2014新疆，第 14 题 5 分）如图，RtABC 中，ABC=90 ，DE 垂直平分 AC，垂足为 O，ADBC，且 AB=3，BC=4，则 AD 的长为 11 / 35 考点： 勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质 分析： 先根据勾股定理求出 AC 的长， 再根据 DE 垂直平分 AC 得出 OA 的长， 根据相似三角 形的判定定理得出AODCBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论 解答： 解：RtABC 中，ABC=90 ，AB=3，BC=4， AC=5， DE 垂直平分
18、 AC，垂足为 O， OA= AC= ，AOD=B=90 ， ADBC， A=C， AODCBA， =，即=，解得 AD= 故答案为： 点评： 本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中， 两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键 4.（2014邵阳，第 17 题 3 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，D 为 AB 的中点，DEAC 于点 EA=30 ，AB=8，则 DE 的长度是 2 考点： 三角形中位线定理；含 30 度角的直角三角形 分析： 根据 D 为 AB 的中点可求出 AD 的长，再根据在直角三角形中，30 角所对的 直角边等
19、于斜边的一半即可求出 DE 的长度 解答： 解：D 为 AB 的中点，AB=8， AD=4， DEAC 于点 E，A=30 ， 12 / 35 DE= AD=2， 故答案为：2 点评： 本题考查了直角三角形的性质： 直角三角形中， 30 角所对的直角边等于斜边 的一半 5.（2014 云南昆明，第 10 题 3 分）如图，在 RtABC 中，ABC=90 ，AC=10cm，点 D 为 AC 的中点，则 BD= cm. 考点： 直角三角形中线问题 分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出结果 解答： 解：ABC=90 ，AC=10cm，点 D 为 AC 的中点， 5 2 1 AC
20、BD 故填 5 点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，弄清性质是解决本题的关键 三三.解答题解答题 1. （2014湘潭，第 19 题）如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道为了加快施工 进度，想在小山的另一侧同时施工为了使山的另一侧的开挖点 C 在 AB 的延长线上，设想 过 C 点作直线 AB 的垂线 L，过点 B 作一直线（在山的旁边经过） ，与 L 相交于 D 点，经测 量ABD=135 ，BD=800 米，求直线 L 上距离 D 点多远的 C 处开挖？（1.414，精确到 1 米） 第10题图 D C B A 13 / 35 考点： 勾股定理的应用 分析： 首先证
21、明BCD 是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得 CD2+BC2=BD2，然后再代 入 BD=800 米进行计算即可 解答： 解：CDAC， ACD=90 ， ABD=135 ， DBC=45 ， D=45 ， CB=CD， 在 RtDCB 中：CD2+BC2=BD2， 2CD2=8002， CD=400566（米） ， 答：直线 L 上距离 D 点 566 米的 C 处开挖 点评： 此题主要考查了勾股定理的应用， 在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的 结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出 准确的示意图领会数形结合的思想的应用 2. （2014益阳，
22、第 20 题，10 分）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， 抛物线 y=a（x2）2+k 经过点 A、B，并与 X 轴交于另一点 C，其顶点为 P （1）求 a，k 的值； （2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求 Q 点的坐标； 14 / 35 （3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A，C，M，N 为顶点的四边形为正方形， 求此正方形的边长 （第 2 题图） 考点： 二次函数综合题 分析： （1）先求出直线 y=3x+3 与 x 轴交点 A，与 y 轴交点 B 的坐标，再将 A、B 两点坐 标代入 y=a（x2）
23、2+k，得到关于 a，k 的二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设 Q 点的坐标为（2，m） ，对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E 在 RtAQF 与 RtBQE 中， 用勾股定理分别表示出 AQ2=AF2+QF2=1+m2， BQ2=BE2+EQ2=4+（3m）2，由 AQ=BQ，得到方程 1+m2=4+（3m）2，解方程求出 m=2，即可求得 Q 点的坐标； （3）当点 N 在对称轴上时，由 NC 与 AC 不垂直，得出 AC 为正方形的对角线，根据 抛物线的对称性及正方形的性质，得到 M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P
24、关于 x 轴的对称点，此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN，则四边形 AMCN 为正方 形，在 RtAFN 中根据勾股定理即可求出正方形的边长 解答： 解： （1）直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B， A（1，0） ，B（0，3） 又抛物线抛物线 y=a（x2）2+k 经过点 A（1，0） ，B（0，3） ， ，解得， 故 a，k 的值分别为 1，1； （2）设 Q 点的坐标为（2，m） ，对称轴 x=2 交 x 轴于点 F，过点 B 作 BE 垂直于直线 x=2 于点 E 在 RtAQF 中，AQ2=AF2+QF2=1+m2， 在 RtBQE 中，BQ2=BE
25、2+EQ2=4+（3m）2， 15 / 35 AQ=BQ， 1+m2=4+（3m）2， m=2， Q 点的坐标为（2，2） ； （3）当点 N 在对称轴上时，NC 与 AC 不垂直，所以 AC 应为正方形的对角线 又对称轴 x=2 是 AC 的中垂线， M 点与顶点 P（2，1）重合，N 点为点 P 关于 x 轴的对称点，其坐标为（2，1） 此时，MF=NF=AF=CF=1，且 ACMN， 四边形 AMCN 为正方形 在 RtAFN 中，AN=，即正方形的边长为 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二元一次方程组的解法，等腰三 角形的性质，勾股定理，二次函数的性质，正方形的判
26、定与性质，综合性较强，难度 适中 3. （2014益阳， 第 21 题， 12 分） 如图， 在直角梯形 ABCD 中， ABCD， ADAB， B=60 ， AB=10，BC=4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP=x （1）求 AD 的长； （2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三 角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3）设ADP 与PCB 的外接圆的面积分别为 S1、S2，若 S=S1+S2，求 S 的最小值 16 / 35 （第 3 题图） 考点： 相似形综合题 分析： （1）过点 C
27、作 CEAB 于 E，根据 CE=BCsinB 求出 CE，再根据 AD=CE 即可求 出 AD； （2）若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似，则PCB 必有一个角是直角 分两种情况讨论： 当PCB=90 时， 求出 AP， 再根据在 RtADP 中DPA=60 ，得出DPA=B，从而得到ADPCPB，当CPB=90 时，求 出 AP=3，根据且，得出PCB 与ADP 不相似 （3）先求出 S1=x，再分两种情况讨论：当 2x10 时，作 BC 的垂直平 分线交 BC 于 H， 交 AB 于 G； 作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N， 交 GH 于 M， 连
28、结 BM， 在 RtGBH 中求出 BG、 BN、 GN， 在 RtGMN 中， 求出 MN=（ x1） ， 在 RtBMN 中，求出 BM2= x2x+，最后根据 S1=xBM2代入计算即可当 0x2 时， S2=x（ x2x+） ，最后根据 S=S1+S2=x（x）2+x 即可得出 S 的最小 值 解答： 解： （1）过点 C 作 CEAB 于 E， 在 RtBCE 中， B=60 ，BC=4， CE=BCsinB=4=2， AD=CE=2 （2）存在若以 A、P、D 为顶点的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似， 17 / 35 则PCB 必有一个角是直角 当PCB=90 时，在
29、RtPCB 中，BC=4，B=60 ，PB=8， AP=ABPB=2 又由（1）知 AD=2，在 RtADP 中，tanDPA=， DPA=60 ， DPA=CPB， ADPCPB， 存在ADP 与CPB 相似，此时 x=2 当CPB=90 时，在 RtPCB 中，B=60 ，BC=4， PB=2，PC=2， AP=3 则且，此时PCB 与ADP 不相似 （3）如图，因为 RtADP 外接圆的直径为斜边 PD，则 S1=x（）2=x， 当 2x10 时，作 BC 的垂直平分线交 BC 于 H，交 AB 于 G； 作 PB 的垂直平分线交 PB 于 N，交 GH 于 M，连结 BM则 BM 为P
30、CB 外接圆的半 径 在 RtGBH 中，BH= BC=2，MGB=30 ， BG=4， BN= PB= （10x）=5 x， GN=BGBN= x1 在 RtGMN 中，MN=GNtanMGN=（ x1） 在 RtBMN 中，BM2=MN2+BN2= x2x+， 18 / 35 S1=xBM2=x（ x2x+） 当 0x2 时，S2=x（ x2x+）也成立， S=S1+S2=x+x（ x2x+）=x（x）2+x 当 x=时，S=S1+S2取得最小值x 点评： 此题考查了相似形综合， 用到的知识点是相似三角形的性质与判定、 二次函数的最值、 勾股定理，关键是根据题意画出图形构造相似三角形，注意
31、分类讨论 4. （2014株洲，第 21 题，6 分）已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（ac）=0， 其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 考点： 一元二次方程的应用 分析： （1）直接将 x=1 代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断ABC 的形 状； （2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断ABC 的形状； （3）利用ABC 是等边三
32、角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 解答： 解： （1）ABC 是等腰三角形； 理由：x=1 是方程的根， （a+c） （1）22b+（ac）=0， a+c2b+ac=0， ab=0， a=b， ABC 是等腰三角形； （2）方程有两个相等的实数根， （2b）24（a+c） （ac）=0， 4b24a2+4c2=0， a2=b2+c2， 19 / 35 ABC 是直角三角形； （3）当ABC 是等边三角形，（a+c）x2+2bx+（ac）=0，可整理为： 2ax2+2ax=0， x2+x=0， 解得：x1=0，x2=1 点评： 此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆
33、定理等知识， 正确 由已知获取等量关系是解题关键 5. （2014株洲，第 22 题，8 分）如图，在 RtABC 中，C=90 ，A 的平分线交 BC 于 点 E，EFAB 于点 F，点 F 恰好是 AB 的一个三等分点（AFBF） （1）求证：ACEAFE； （2）求 tanCAE 的值 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义 分析： （1）根据角的平分线的性质可求得 CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三 角形全等 （2） 由ACEAFE， 得出 AC=AF， CE=EF， 设 BF=m， 则 AC=2m， AF=2m， AB=3m， 根据勾
34、股定理可求得，tanB=，CE=EF=，在 RTACE 中， tanCAE=； 解答： （1）证明：AE 是BAC 的平分线，ECAC，EFAF， CE=EF， 在 RtACE 与 RtAFE 中， ， RtACERtAFE（HL） ； 20 / 35 （2）解：由（1）可知ACEAFE， AC=AF，CE=EF， 设 BF=m，则 AC=2m，AF=2m，AB=3m， BC=m， 在 RTABC 中，tanB=， 在 RTEFB 中，EF=BFtanB=， CE=EF=， 在 RTACE 中，tanCAE=； tanCAE= 点评： 本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形
35、，根据已知条件表 示出线段的值是解本题的关键 6. （2014株洲，第 23 题，8 分）如图，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上， OQ=QB=1，动点 A 在圆 O 的上半圆运动（含 P、Q 两点） ，以线段 AB 为边向上作等边三角 形 ABC （1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求ABC 的面积（图 1） ； （2）设AOB=，当线段 AB、与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求 的范围（图 2， 直接写出答案） ； （3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AOPM 于点 N，求 CM 的长度（图 3） （第 6 题图） 2
36、1 / 35 考点： 圆的综合题；等边三角形的性质；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质； 特殊角的三角函数值 分析： （1）连接 OA，如下图 1，根据条件可求出 AB，然后 AC 的高 BH，求出 BH 就可以 求出ABC 的面积 （2）如下图 2，首先考虑临界位置：当点 A 与点 Q 重合时，线段 AB 与圆 O 只有一 个公共点，此时 =0 ；当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，线段 AB 与圆 O 只有一 个公共点，此时 =60 从而定出 的范围 （3）设 AO 与 PM 的交点为 D，连接 MQ，如下图 3，易证 AOMQ，从而得到 PDOPMQ，BMQBAO，又 P
37、O=OQ=BQ，从而可以求出 MQ、OD，进而 求出 PD、DM、AM、CM 的值 解答： 解： （1）连接 OA，过点 B 作 BHAC，垂足为 H，如图 1 所示 AB 与O 相切于点 A， OAAB OAB=90 OQ=QB=1， OA=1 AB= = = ABC 是等边三角形， AC=AB=，CAB=60 sinHAB=， HB=ABsinHAB = = SABC=ACBH = 22 / 35 = ABC 的面积为 （2）当点 A 与点 Q 重合时， 线段 AB 与圆 O 只有一个公共点，此时 =0 ； 当线段 A1B 所在的直线与圆 O 相切时，如图 2 所示， 线段 A1B 与圆
38、O 只有一个公共点， 此时 OA1BA1，OA1=1，OB=2， cosA1OB= A1OB=60 当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时， 的范围为：060 （3）连接 MQ，如图 3 所示 PQ 是O 的直径， PMQ=90 OAPM， PDO=90 PDO=PMQ PDOPMQ = PO=OQ=PQ PD=PM，OD=MQ 同理：MQ=AO，BM=AB AO=1， MQ= OD= PDO=90 ，PO=1，OD=， PD= 23 / 35 PM= DM= ADM=90 ，AD=A0OD=， AM=来源:163文库 ABC 是等边三角形， AC=AB=BC，CAB=60 B
39、M=AB， AM=BM CMAB AM=， BM=，AB= AC= CM= = CM 的长度为 点评： 本题考查了等边三角形的性质、 相似三角形的性质与判定、 直线与圆相切、 勾股定理、 特殊三角函数值等知识，考查了用临界值法求角的取值范围，综合性较强 7. （2014泰州，第 23 题，10 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，点 E，F 分别在 BC、 AB 上，且 DEAB，EFAC （1）求证：BE=AF； 24 / 35 （2）若ABC=60 ，BD=6，求四边形 ADEF 的面积 （第 7 题图） 考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含 30
40、度角 的直角三角形 分析： （1）由 DEAB，EFAC，可证得四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE， 又由 BD 是ABC 的角平分线，易得BDE 是等腰三角形，即可证得结论； （2）首先过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，易求得 DG 与 DE 的长，继而求得答案 解答： （1）证明：DEAB，EFAC， 四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE， AF=DE， BD 是ABC 的角平分线， ABD=DBE， DBE=BDE， BE=DE， BE=AF； （2）解：过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H， ABC=
41、60 ，BD 是ABC 的平分线， ABD=EBD=30 ， DG= BD= 6=3， BE=DE， BH=DH= BD=3， BE=2， 25 / 35 DE=BE=2， 四边形 ADEF 的面积为：DEDG=6 点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知 识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用 8.（2014泰州，第 25 题，12 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y= x+b（b 为常数，b0）的图象与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，半径为 4 的O 与 x 轴正半轴相交 于点 C，与 y 轴相交于点
42、D、E，点 D 在点 E 上方 （第 8 题图） （1）若直线 AB 与有两个交点 F、G 求CFE 的度数； 用含 b 的代数式表示 FG2，并直接写出 b 的取值范围； （2）设 b5，在线段 AB 上是否存在点 P，使CPE=45 ？若存在，请求出 P 点坐标；若不 存在，请说明理由 考点： 圆的综合题 分析： （1）连接 CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行CFE=45 ， （2）作 OMAB 点 M，连接 OF，利用两条直线垂直相交求出交点 M 的坐标，利用 勾股定理求出 FM2，再求出 FG2，再根据式子写出 b 的范围， 26 / 35 （3）当 b=5 时，直线与圆相切
43、，存在点 P，使CPE=45 ，再利用两条直线垂直相交 求出交点 P 的坐标， 解答： 解： （1）连接 CD，EA， DE 是直径， DCE=90 ， CODE，且 DO=EO， ODC=OEC=45 ， CFE=ODC=45 ， （2）如图，作 OMAB 点 M，连接 OF， OMAB，直线的函数式为：y= x+b， OM 所在的直线函数式为：y= x， 交点 M（b，b） OM2=（b）2+（b）2， OF=4， 27 / 35 FM2=OF2OM2=42（b）2（b）2， FM= FG，来源:163文库来源:163文库 FG2=4FM2=4 42（b）2（b）2=64b2=64 （1b
44、2） ， 直线 AB 与有两个交点 F、G 4b5， （3）如图， 当 b=5 时，直线与圆相切， DE 是直径， DCE=90 ，来源:学+科+网 CODE，且 DO=EO， ODC=OEC=45 ， CFE=ODC=45 ， 存在点 P，使CPE=45 ， 连接 OP， P 是切点， OPAB， OP 所在的直线为：y= x， 又AB 所在的直线为：y= x+5， P（，） 点评： 本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直 时 K 的关系 28 / 35 9. （2014扬州，第 28 题，12 分）已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD
45、 折叠， 使得顶点 B 落在 CD 边上的 P 点处 （第 9 题图） （1）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连结 AP、OP、OA 求证：OCPPDA； 若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 AB 的长； （2）若图 1 中的点 P 恰好是 CD 边的中点，求OAB 的度数； （3）如图 2，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP动点 M 在线段 AP 上（点 M 与点 P、A 不重合） ，动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连结 MN 交 PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度是否发生 变化？若变化，说明理
46、由；若不变，求出线段 EF 的长度 考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩 形的性质；特殊角的三角函数值 专题： 综合题；动点型；探究型 分析： （1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形 的性质求出 PC 长以及 AP 与 OP 的关系，然后在 RtPCO 中运用勾股定理求出 OP 长，从而求出 AB 长 （2）由 DP= DC= AB= AP 及D=90 ，利用三角函数即可求出DAP 的度数，进 而求出OAB 的度数 （3）由边相等常常联想到全等，但 BN 与 PM 所在的三角形并不全等，且这两条线段 的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性 质即可推出 EF 是 PB 的一半，只需求
