1、 1 / 28 多边形与平行四边形多边形与平行四边形 一、选择题一、选择题 1. （ 2014福建泉州，第 4 题 3 分）七边形外角和为（ ） A 180 B 360 C 900 D 1260 考点： 多边形内角与外角 分析： 根据多边形的外角和等于 360 度即可求解 解答： 解：七边形的外角和为 360 故选 B 点评： 本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，掌握多边形的外角和等于 360 是解题的关键 2. （ 2014广东，第 5 题 3 分）一个多边形的内角和是 900 ，这个多边形的边数是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 考点： 多边形内角与外角 分析： 根据多边
2、形的外角和公式（n2）180，列式求解即可 解答： 解：设这个多边形是 n 边形，根据题意得， （n2）180=900， 解得 n=7 故选 D 点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键 3. （ 2014广东，第 7 题 3 分）如图， ABCD 中，下列说法一定正确的是（ ） A AC=BD B ACBD C AB=CD D AB=BC 2 / 28 考点： 平行四边形的性质 分析： 根据平行四边形的性质分别判断各选项即可 解答： 解：A、ACBD，故此选项错误；来源:163文库 ZXXK B、AC 不垂直 BD，故此选项错误； C、AB=CD，利用平行四边形的对边相
3、等，故此选项正确； D、ABBC，故此选项错误； 故选：C 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握其性质是解题关键 4 （2014新疆，第 4 题 5 分）四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，下列条件不能 判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A OA=OC，OB=OD B ADBC，ABDC C AB=DC，AD=BC D ABDC，AD=BC 考点： 平行四边形的判定 分析： 根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用 解答： 解：A、OA=OC，OB=OD， 四边形 ABCD 是平行四边形故能能判定这个四边形是平行四边形； B、
4、ADBC，ABDC， 四边形 ABCD 是平行四边形故能能判定这个四边形是平行四边形； C、AB=DC，AD=BC， 四边形 ABCD 是平行四边形故能能判定这个四边形是平行四边形； D、ABDC，AD=BC， 四边形 ABCD 是平行四边形或等腰梯形故不能能判定这个四边形是平行四边形 故选 D 点评： 此题考查了平行四边形的判定此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键 5.（2014毕节地区，第 9 题 3 分）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后， 得到一个内角和为 2340 的新多边形，则原多边形的边数为（ ） 3 / 28 A 13 B 14 C 15 D 16 考点： 多边
5、形内角与外角 分析： 根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比 原多边形多 1 条边，可得答案 解答： 解：设新多边形是 n 边形，由多边形内角和公式得 （n2）180 =2340 ， 解得 n=15， 原多边形是 151=14， 故选：B 点评： 本题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关 键 6 （2014 台湾，第 24 题 3 分）下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给 的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？( ) A B C D 分析： 利用平行四边形的判定定理、 等腰梯形的判定及梯形的判定方法分别对每个选项判断 后即可确定答案来源:学,
6、科,网 Z,X,X,K 解：A上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形； B上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为 90 ，所以为平行 四边形； 4 / 28 C上、下这一组对边平行，可能为梯形； D上、下这一组对边平行，可能为梯形； 故选 B 点评：本题考查了平行四边形的判定定理、等腰梯形的判定及梯形的判定方法，掌握这些特 殊的四边形的判定方法是解答本题的关键 7.（2014 云南昆明，第 7 题 3 分）如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O， 下列条件不能 判定四边形 ABCD 为 平行四边形的是 A. ABCD，ADBC B. OA=OC，OB=O
7、D C. AD=BC，ABCD D. AB=CD，AD=BC 考点： 平行四边形的判定 分析： 根据平行四边形的判定定理分别判断得出答案即可 解答： 解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项正确； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项正确； C、一组对边相等，另一组对边平行，不能判定其为平行四边形，故此选项错误； D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项正确 故选：C 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握平行四边形的判定定理是解题关键 8 （2014浙江湖州，第 10 题 3 分）在连接 A 地与 B 地的线段上有四个不同的点 D、G、K、 Q，
8、 下列四幅图中的实线分别表示某人从A地到B地的不同行进路线 （箭头表示行进的方向） ， 则路程最长的行进路线图是（ ） A B O D C B A 5 / 28 C D 分析： 分别构造出平行四边形和三角形， 根据平行四边形的性质和全等三角形的性质进行比 较，即可判断 解：A 选项延长 AC、BE 交于 S，CAE=EDB=45 ，ASED，则 SCDE 同理 SECD，四边形 SCDE 是平行四边形，SE=CD，DE=CS， 即乙走的路线长是：AC+CD+DE+EB=AC+CS+SE+EB=AS+BS； B 选项延长 AF、BH 交于 S1，作 FKGH， SAB=S1AB=45 ，SBA=
9、S1BA=70 ，AB=AB，SABS1AB， AS=AS1，BS=BS1，FGH=67 =GHB，FGKH， FKGH，四边形 FGHK 是平行四边形，FK=GH，FG=KH， AF+FG+GH+HB=AF+FK+KH+HB，FS1+S1KFK， AS+BSAF+FK+KH+HB，即 AC+CD+DE+EBAF+FG+GH+HB， 同理可证得 AI+IK+KM+MBAS2+BS2AN+NQ+QP+PB，又AS+BSAS2+BS2，故选 D 6 / 28 点评：本题考查了平行线的判定，平行四边形的性质和判定的应用，注意：两组对边分别平 行的四边形是平行四边形，平行四边形的对边相等 8. （20
10、14湘潭，第 7 题，3 分）以下四个命题正确的是（ ） A 任意三点可以确定一个圆 B 菱形对角线相等 C 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D 平行四边形的四条边相等 考点： 命题与定理 分析： 利用确定圆的条件、菱形的性质、直角三角形的性质及平行四边形的性质分别对每个 选项判断后即可确定答案 解答： 解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误； C、正确； D、平行四边形的四条边不一定相等 故选 C来源:Z,xx,k.Com 点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、菱形的性质、直角 三角形的性质及平行四边形的性
11、质，难度一般 9. （2014益阳，第 7 题，4 分）如图，平行四边形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上的两点， 如果添加一个条件使ABECDF，则添加的条件是（ ） （第 2 题图） A AE=CF B BE=FD C BF=DE D 1=2 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定来源:学&科&网 分析： 利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定分别分得出即可 7 / 28 解答： 解：A、当 AE=CF 无法得出ABECDF，故此选项符合题意； B、当 BE=FD， 平行四边形 ABCD 中， AB=CD，ABE=CDF， 在ABE 和CDF 中 ， ABECDF（SAS）
12、，故此选项错误； C、当 BF=ED， BE=DF， 平行四边形 ABCD 中， AB=CD，ABE=CDF， 在ABE 和CDF 中 ， ABECDF（SAS） ，故此选项错误； D、当1=2， 平行四边形 ABCD 中， AB=CD，ABE=CDF， 在ABE 和CDF 中 ， ABECDF（ASA） ，故此选项错误； 故选：A 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识， 熟练掌握全等三角 形的判定方法是解题关键 8 / 28 10. （2014株洲，第 7 题，3 分）已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从AB=BC， ABC=90 ，AC=BD，ACBD 四个
13、条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A 选 B 选 C 选 D 选 考点： 正方形的判定；平行四边形的性质 分析： 要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形 解答： 解：A、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得有一个角是直角的平行 四边形是矩形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是 矩形，所以不能得出平行四边形 ABCD 是正方形，错误，故本选项符合题意； C、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形
14、是 矩形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意； D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边 形是菱形，所以平行四边形 ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意 故选 B 点评： 本题考查了正方形的判定方法： 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角 还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1 或 2 进行判定 11.（2014孝感，第 8 题 3 分）如图，在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交成的锐角为 ，若 AC=a，BD=b，则ABCD 的面积是（ ） 9 / 28 A
15、absin B absin C abcos D abcos 来源:学*科*网 考点： 平行四边形的性质；解直角三角形来源:学科网 ZXXK 分析： 过点 C 作 CEDO 于点 E，进而得出 EC 的长，再利用三角形面积公式求出即可 解答： 解：过点 C 作 CEDO 于点 E， 在ABCD 中，对角线 AC、BD 相交成的锐角为 ，AC=a，BD=b， sin=， EC=COsin= asin， SBCD= CE BD= asin b= absin， ABCD 的面积是： absin 2= absin 故选；A 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及解直角三角形，得出 EC 的长是解题关
16、键 二二.填空题填空题 1. （ 2014安徽省,第 14 题 5 分） 如图， 在ABCD 中， AD=2AB， F 是 AD 的中点， 作 CEAB， 垂足 E 在线段 AB 上，连接 EF、CF，则下列结论中一定成立的是 （把所有正 确结论的序号都填在横线上） DCF= BCD；EF=CF；SBEC=2SCEF；DFE=3AEF 考点： 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 10 / 28 分析： 分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出AEFDMF （ASA） ，得出对应线段之间关系进而得出答案 解答： 解：F 是 AD 的中点， AF=FD，
17、 在ABCD 中，AD=2AB， AF=FD=CD， DFC=DCF， ADBC， DFC=FCB， DCF=BCF， DCF= BCD，故此选项正确； 延长 EF，交 CD 延长线于 M， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD， A=MDE， F 为 AD 中点， AF=FD， 在AEF 和DFM 中， ， AEFDMF（ASA） ， FE=MF，AEF=M， CEAB， AEC=90 ， AEC=ECD=90 ， FM=EF， FC=FM，故正确； EF=FM， SEFC=SCFM， 11 / 28 MCBE， SBEC2SEFC 故 SBEC=2SCEF错误； 设FEC=x，则FC
18、E=x， DCF=DFC=90 x， EFC=180 2x， EFD=90 x+180 2x=270 3x， AEF=90 x， DFE=3AEF，故此选项正确 故答案为： 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出 AEFDME 是解题关键 2. （ 2014广东，第 13 题 4 分）如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，若 BC=6，则 DE= 3 考点： 三角形中位线定理 分析： 由 D、E 分别是 AB、AC 的中点可知，DE 是ABC 的中位线，利用三角形中位线定 理可求出 DE 解答： 解：D、E 是 AB、AC 中点， DE
19、 为ABC 的中位线， 12 / 28 ED= BC=3 故答案为 3 点评： 本题用到的知识点为：三角形的中位线等于三角形第三边的一半 3.（2014毕节地区，第 19 题 5 分）将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形 ABCD 的形状，并使其面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计），则这个平行四边形的最小 内角为 30 度 考点： 矩形的性质；含 30 度角的直角三角形；平行四边形的性质 分析： 根据矩形以及平行四边形的面积求法得出当 AE= AB，则符合要求，进而 得出答案 解答： 解：过点 A 作 AEBC 于点 E， 将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形 ABCD 的形
20、状，并使其 面积为长方形面积的一半（木条宽度忽略不计）， 当 AE= AB，则符合要求，此时B=30 ， 即这个平行四边形的最小内角为：30 度 故答案为：30 点评： 此题主要考查了矩形的性质和平行四边形面积求法等知识，得出 AE= AB 是解题关键 4.（2014襄阳，第 17 题 3 分）在ABCD 中，BC 边上的高为 4，AB=5，AC=2，则ABCD 的周长等于 12 或 20 考点： 平行四边形的性质 专题： 分类讨论 分析： 根据题意分别画出图形，BC 边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定 13 / 28 理求出即可 解答： 解：如图 1 所示： 在ABCD 中，B
21、C 边上的高为 4，AB=5，AC=2， EC=2，AB=CD=5， BE=3， AD=BC=5， ABCD 的周长等于：20， 如图 2 所示： 在ABCD 中，BC 边上的高为 4，AB=5，AC=2， EC=2，AB=CD=5， BE=3， BC=32=1， ABCD 的周长等于：1+1+5+5=12， 则ABCD 的周长等于 12 或 20 故答案为：12 或 20 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识， 利用分类讨论得出是解题关 键 5 （2014四川自贡，第 13 题 4 分）一个多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180 ，则它的边 数是 9 考点： 多边形内
22、角与外角 分析： 多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180 ， 而多边形的外角和是 360 ， 则内角和是 1360 度n 边形的内角和可以表示成（n2）180，设这个多边形的边数是 n，就得到方 程，从而求出边数 14 / 28 解答： 解：根据题意，得 （n2）180=1360， 解得：n=9 则这个多边形的边数是 9 故答案为：9 点评： 考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方 程即可求解 6. （2014泰州，第 9 题，3 分）任意五边形的内角和为 540 考点： 多边形内角与外角 分析： 根据多边形的内角和公式（n2）180计算即可 解答： 解
23、： （52）180=540 故答案为：540 点评： 本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键，是基础题 7. （2014扬州，第 13 题，3 分）如图，若该图案是由 8 个全等的等腰梯形拼成的，则图中 的1= 67.5 （第 2 题图） 考点： 等腰梯形的性质；多边形内角与外角来源:163文库 ZXXK 分析： 首先求得正八边形的内角的度数，则1 的度数是正八边形的度数的一半 解答： 解：正八边形的内角和是： （82） 180 =1080 ， 则正八边形的内角是：1080 8=135 ， 则1= 135 =67.5 故答案是：67.5 点评： 本题考查了正多边形的内角和的计算
24、，正确求得正八边形的内角的度数是关键 15 / 28 三三.解答题解答题 1. （ 2014安徽省,第 23 题 14 分）如图 1，正六边形 ABCDEF 的边长为 a，P 是 BC 边上一 动点，过 P 作 PMAB 交 AF 于 M，作 PNCD 交 DE 于 N （1）MPN= 60 ； 求证：PM+PN=3a； （2）如图 2，点 O 是 AD 的中点，连接 OM、ON，求证：OM=ON； （3） 如图 3， 点 O 是 AD 的中点， OG 平分MON， 判断四边形 OMGN 是否为特殊四边形？ 并说明理由 考点： 四边形综合题 分析： （1）运用MPN=180 BPMNPC 求解
25、，作 AGMP 交 MP 于点 G， BHMP 于点 H， CLPN 于点 L， DKPN 于点 K， 利用 MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN 求解， （2）连接 OE，由OMAONE 证明， （3）连接 OE，由OMAONE，再证出GOENOD，由ONG 是等边三角形和 MOG 是等边三角形求出四边形 MONG 是菱形 ， 解答： 解： （1）四边形 ABCDEF 是正六边形， A=B=C=D=E=F=120 又PMAB，PNCD， BPM=60 ，NPC=60 ， MPN=180 BPMNPC=180 60 60 =60 ， 故答案为；60 如图 1，作 AGMP 交 MP
26、于点 G，BHMP 于点 H，CLPN 于点 L，DKPN 于点 K， MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN 正六边形 ABCDEF 中，PMAB，作 PNCD， 16 / 28 AMG=BPH=CPL=DNK=60 ， GM= AM，HL= BP，PL= PM，NK= ND， AM=BP，PC=DN， MG+HP+PL+KN=a，GH=LK=a， MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3A （2）如图 2，连接 OE， 四边形 ABCDEF 是正六边形，ABMP，PNDC， AM=BP=EN， 又MAO=NOE=60 ，OA=OE， 在ONE 和OMA 中， OMAONE
27、（SAS） OM=ON （3）如图 3，连接 OE， 由（2）得，OMAONE MOA=EON， EFAO，AFOE， 四边形 AOEF 是平行四边形， AFE=AOE=120 ， MON=120 ， GON=60 ， GON=60 EON，DON=60 EON， GOE=DON， 17 / 28 OD=OE，ODN=OEG， 在GOE 和DON 中， GOENOD（ASA） ， ON=OG， 又GON=60 ， ONG 是等边三角形， ON=NG， 又OM=ON，MOG=60 ，来源:Z.xx.k.Com MOG 是等边三角形， MG=GO=MO， MO=ON=NG=MG， 四边形 MONG
28、 是菱形 点评： 本题主要考查了四边形的综合题， 解题的关键是恰当的作出辅助线， 根据三角形全 等找出相等的线段 2. （ 2014广西贺州，第 21 题 7 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 是对角线 BD 上的点，1=2 （1）求证：BE=DF； （2）求证：AFCE 考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 专题： 证明题 分析： （1）利用平行四边形的性质得出5=3，AEB=4，进而利用全等三角形的判定 得出即可； （2）利用全等三角形的性质得出 AE=CF，进而得出四边形 AECF 是平行四边形，即 18 / 28 可得出答案 解答： 证明： （1）四边
29、形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，ABCD， 5=3， 1=2， AEB=4， 在ABE 和CDF 中， ， ABECDF（AAS） ， BE=DF； （2）由（1）得ABECDF， AE=CF， 1=2， AECF， 四边形 AECF 是平行四边形， AFCE 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识， 得出 ABECDF 是解题关键 3 （2014 年云南省，第 22 题 7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，C=60 ，M、N 分别 是 AD、BC 的中点，BC=2CD （1）求证：四边形 MNCD 是平行四边形； （2）求证：BD=MN
30、19 / 28 考点： 平行四边形的判定与性质 专题： 证明题 分析： （1）根据平行四边形的性质，可得 AD 与 BC 的关系，根据 MD 与 NC 的关系，可 得证明结论； （2）根据根据等边三角形的判定与性质，可得DNC 的度数，根据三角形外角的性质，可 得DBC 的度数，根据正切函数，可得答案 解答： 证明： （1）ABCD 是平行四边形， AD=BC，ADBC， M、N 分别是 AD、BC 的中点， MD=NC，MDNC， MNCD 是平行四边形； （2）如图：连接 ND， MNCD 是平行四边形， MN=DC N 是 BC 的中点， BN=CN， BC=2CD，C=60 ， NVD
31、 是等边三角形 ND=NC，DNC=60 DNC 是BND 的外角， NBD+NDB=DNC， DN=NC=NB， 20 / 28 DBN=BDN= DNC=30 ， BDC=90 tan， DB=DC=MN 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质， 利用了一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数 4 （2014温州，第 24 题 14 分）如图，在平面直角坐标系中国，点 A，B 的坐标分别为（ 3，0） ， （0，6） 动点 P 从点 O 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 C 从 B 出发，沿射线 BO 方向以每秒 2 个单位的
32、速度运动，以 CP，CO 为邻边构造PCOD， 在线段 OP 延长线上取点 E，使 PE=AO，设点 P 运动的时间为 t 秒 （1）当点 C 运动到线段 OB 的中点时，求 t 的值及点 E 的坐标 （2）当点 C 在线段 OB 上时，求证：四边形 ADEC 为平行四边形 （3）在线段 PE 上取点 F，使 PF=1，过点 F 作 MNPE，截取 FM=2，FN=1，且点 M，N 分别在一，四象限，在运动过程中PCOD 的面积为 S 当点 M，N 中有一点落在四边形 ADEC 的边上时，求出所有满足条件的 t 的值； 若点 M，N 中恰好只有一个点落在四边形 ADEC 的内部（不包括边界）时
33、，直接写出 S 的取值范围 考点： 四边形综合题 分析： （1）由 C 是 OB 的中点求出时间，再求出点 E 的坐标， （2）连接 CD 交 OP 于点 G，由PCOD 的对角线相等，求四边形 ADEC 是平行四边 形 （3）当点 C 在 BO 上时，第一种情况，当点 M 在 CE 边上时，由EMFECO 求 21 / 28 解，第二种情况，当点 N 在 DE 边上时，由EFNEPD 求解， 当点 C 在 BO 的延长线上时，第一种情况，当点 M 在 DE 边上时，由 EMFEDP 求解，第二种情况，当点 N 在 CE 边上时，由EFNEOC 求解， 当 1t 时和当 t5 时，分别求出 S
34、 的取值范围， 解答： 解： （1）OB=6，C 是 OB 的中点， BC= OB=3， 2t=3 即 t= ， OE= +3= ，E（ ，0） （2）如图，连接 CD 交 OP 于点 G， 在PCOD 中，CG=DG，OG=PG， AO=PO， AG=EG， 四边形 ADEC 是平行四边形 （3）（）当点 C 在 BO 上时， 第一种情况：如图，当点 M 在 CE 边上时， MFOC， EMFECO， 22 / 28 =，即=， t=1， 第二种情况：当点 N 在 DE 边 NFPD， EFNEPD， = ， t= ， （）当点 C 在 BO 的延长线上时， 第一种情况：当点 M 在 DE
35、边上时， MFPD， EMFEDP， = 即 = ， t= ， 第二种情况：当点 N 在 CE 边上时， 23 / 28 NFOC， EFNEOC， =即 =， t=5 S 或S20 当 1t 时， S=t（62t）=2（t ）2+ ， t= 在 1t 范围内， S ， 当 t5 时，S=t（2t6）=2（t ）2 ， S20 点评： 本题主要是考查了四边形的综合题，解题的关键是正确分几种不同种情况求解来 源:163文库 5 （2014舟山，第 23 题 10 分）类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对 角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形” （1）已知：如图 1，四边形 ABCD
36、 是“等对角四边形”，AC，A=70 ，B=80 求 C，D 的度数 （2）在探究“等对角四边形”性质时： 小红画了一个“等对角四边形”ABCD（如图 2） ，其中ABC=ADC，AB=AD，此时她发 现 CB=CD 成立请你证明此结论； 24 / 28 由此小红猜想：“对于任意等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”你 认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例 （3）已知：在“等对角四边形“ABCD 中，DAB=60 ，ABC=90 ，AB=5，AD=4求对角 线 AC 的长 考点： 四边形综合题 分析： （1）利用“等对角四边形”这个概念来计算 （2）利用等边对等
37、角和等角对等边来证明； 举例画图； （3） （）当ADC=ABC=90 时，延长 AD，BC 相交于点 E，利用勾股定理求解； （）当BCD=DAB=60 时，过点 D 作 DEAB 于点 E，DFBC 于点 F，求出 线段利用勾股定理求解 解答： 解： （1）如图 1 等对角四边形 ABCD，AC， D=B=80 ， C=360 70 80 80 =130 ； （2）如图 2，连接 BD， AB=AD， ABD=ADB， ABC=ADC， 25 / 28 ABCABD=ADCADB， CBD=CDB， CB=CD， 不正确， 反例：如图 3，A=C=90 ，AB=AD， 但 CBCD， （3
38、） （）如图 4，当ADC=ABC=90 时，延长 AD，BC 相交于点 E， ABC=90 ，DAB=60 ，AB=5， AE=10， DE=AEAD=1046， EDC=90 ，E=30 ， CD=2， AC=2 （）如图 5，当BCD=DAB=60 时，过点 D 作 DEAB 于点 E，DFBC 于点 F， DEAB，DAB=60 AD=4， 26 / 28 AE=2，DE=2， BE=ABAE=52=3， 四边形 BFDE 是矩形， DF=BE=3，BF=DE=2， BCD=60 ， CF=， BC=CF+BF=+2=3， AC=2 点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理
39、解并能运用“等对角四边形”这个概 念 6.（2014 年广东汕尾，第 20 题 9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 边上的中点， 连接 BE，并延长 BE 交 CD 的延长线于点 F （1）证明：FD=AB； （2） 当平行四边形 ABCD 的面积为 8 时， 求FED 的面积 分析： （1）利用已知得出ABEDFE（AAS） ，进而求出即可； （2）首先得出FEDFBC，进而得出= ，进而求出即可 （1）证明：在平行四边形 ABCD 中，E 是 AD 边上的中点，AE=ED，ABE=F， 在ABE 和DFE 中，ABEDFE（AAS） ，FD=AB； （2）解：DEBC，
40、FEDFBC，ABEDFE， BE=EF，SFDE=S平行四边形ABCD，= ，= ，= ， FED 的面积为：2 27 / 28 点评： 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质以及相似三角形 的判定与性质等知识，得出 SFDE=S平行四边形ABCD是解题关键 7.（2014泰州，第 23 题，10 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，点 E，F 分别在 BC、AB 上，且 DEAB，EFAC （1）求证：BE=AF； （2）若ABC=60 ，BD=6，求四边形 ADEF 的面积 （第 1 题图） 考点： 平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含
41、30 度角 的直角三角形 分析： （1）由 DEAB，EFAC，可证得四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE， 又由 BD 是ABC 的角平分线，易得BDE 是等腰三角形，即可证得结论； （2）首先过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H，易求得 DG 与 DE 的长，继而求得答案 解答： （1）证明：DEAB，EFAC， 四边形 ADEF 是平行四边形，ABD=BDE， AF=DE， BD 是ABC 的角平分线， ABD=DBE， DBE=BDE， BE=DE， BE=AF； （2）解：过点 D 作 DGAB 于点 G，过点 E 作 EHBD 于点 H， ABC=60 ，BD 是ABC 的平分线， ABD=EBD=30 ， 28 / 28 DG= BD= 6=3， BE=DE， BH=DH= BD=3， BE=2， DE=BE=2， 四边形 ADEF 的面积为：DEDG=6 点评： 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知 识此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用
