1、 1 第五节第五节 直线、平面垂直的判定直线、平面垂直的判定 及其及其性质性质 【最新考纲】【最新考纲】 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认认 识和理解空间中线、 面垂直的有关性质与判定定理识和理解空间中线、 面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、 定能运用公理、 定 理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题 1直线与平面垂直直线与平面垂直 (1)定义： 如果直线定义： 如果直线 l 与平面与平面 内的内的任意一条任意一条直线都垂直直线都垂直， 则直线则直线 l 与平面与平面 垂
2、直垂直 (2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交相交直线都垂直线都垂 直直，则该直线与此平面垂直则该直线与此平面垂直 (3)推论：如果在两条平行直线中推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面有一条垂直于一个平面，那那 么另一条也垂直于这个平面么另一条也垂直于这个平面 (4)直线和平直线和平面垂直的性质：面垂直的性质： 垂直于同一个平面的两条直线垂直于同一个平面的两条直线平行平行 直线垂直于平面直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的则垂直于这个平面内的任意任意直线直线 垂直于同一条直线的两平面垂直于同一条直线的两平面平行平行 2直线和平面所
3、成的角直线和平面所成的角 (1)平面的一条斜线和它在平面的一条斜线和它在平面上的射影平面上的射影所成的锐角叫做这条直所成的锐角叫做这条直 线和这个平面所成的角线和这个平面所成的角 (2)当直线与平面垂直和平行当直线与平面垂直和平行(或直线在平面内或直线在平面内)时时， 规定直线和平规定直线和平 面所成的角分别为面所成的角分别为 90和和 0 2 3二面角的有关概念二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的二面角：从一条直线出发的两个半平面两个半平面所组成的图形叫做二所组成的图形叫做二 面角面角 (2)二面角的二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面角：以二面角的棱上任一点
4、为端点，在两个半 平面内分别作平面内分别作垂直于棱垂直于棱的两条射线的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角这两条射线所成的角叫做二面角 的平面角的平面角 4平面与平面垂直平面与平面垂直 (1)定义：如果两个平面所成的二面角是定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角直二面角，就说这两个就说这两个 平面互相垂直平面互相垂直 (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 3 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误的错误的 打打“”“”) (1)直线直线 l 与平面与平面 内的无数条直线都垂直内的无数条直线都垂直
5、，则则 l.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行垂直于同一个平面的两平面平行( ) (3)若两条直线与一个平面所成的角相等若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平则这两条直线平 行行( ) (4)若平面若平面 内的一条直线垂内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则直于平面内的无数条直线，则 .( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2下列命题中不正确的是下列命题中不正确的是( ) A如果平面如果平面 平面平面 ，且直线且直线 l平面平面 ，则直线则直线 l平面平面 B如果平面如果平面 平面平面 ，那么平面那么平面 内一定存在直线平行于平内一定存在直线平行于平 面面 C
6、如果平面如果平面 不垂直于平面不垂直于平面 ，那么平面那么平面 内一定不存在直线内一定不存在直线 垂直于平面垂直于平面 D如果平面如果平面 平面平面 ，平面平面 平面平面 ，l，那么那么 l. 解析：解析：根据面面垂直的性质定理根据面面垂直的性质定理，A 项中项中 l，l或或 l. 答案：答案：A 3(2015 浙江卷浙江卷)设设 ，是两个不同的平面是两个不同的平面，l，m 是两条不同是两条不同 的直线的直线，且且 l，m.( ) A若若 l，则则 B若若 ，则则 lm C若若 l，则则 D若若 ，则，则 lm 解析：解析：l，l，(面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理)，故故 A 正正 确确
7、 4 答案：答案：A 4如图如图，已知已知 PA平面平面 ABC，BCAC，则图中直角三角形则图中直角三角形 的个数为的个数为_ 解析：解析：PA平面平面 ABC PAAB，PAAC，PABC 则则PAB，PAC 为为 Rt 由由 BCAC，且，且 ACPAA BC平面平面 PAC，从而从而 BCPC 因此因此ABC，PBC 也是也是 Rt. 答案：答案：4 5 一种关系一种关系 垂直问题的转化关系垂直问题的转化关系 三类证法三类证法 1证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法 (1)定义：两条直线所成的角为定义：两条直线所成的角为 90； (2)平面几何中证明线线垂直的方法；平面几何中证明线线垂
8、直的方法； 6 (3)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a，bab； (4)线面垂直的性质：线面垂直的性质：a，bab. 2证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法 (1)线面垂直的定义：线面垂直的定义：a 与与 内任何直线都垂直内任何直线都垂直a； (2)判定定理判定定理 1： m、n，mnA lm，ln l； (3)判定定理判定定理 2：ab，ab； (4)面面平行的性质：面面平行的性质：，aa； (5)面面垂直的性质：面面垂直的性质：，l，a，ala. 3证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交利用定义：两个平面相交，所成的二面所成的二面角是直二面角；角是直二面角；
9、(2)判定定理：判定定理：a，a. A 级级 基础巩固基础巩固 一、选择题一、选择题 1(2016 佛山一中期中佛山一中期中)设设 、 为不同的平面为不同的平面，m、n、l 为为 不同的直线不同的直线，则则 m 的一个充分条件为的一个充分条件为( ) A，l，ml Bm， C，m Dn，n，m 解析：解析：A 中中，缺少条件缺少条件 m，不满足面面垂直的性质定理不满足面面垂直的性质定理，不不 正确在选项正确在选项 B，C 中中，平面平面 与与 可能平行或相交可能平行或相交，推不出推不出 m. 在在 D 中中，n，n，则则 ，根据根据 m，得得 m，D 正确正确 7 答案：答案：D 2(经典再现
10、经典再现)已知已知 m，n 为异面直线为异面直线，m平面平面 ，n平面平面 . 直线直线 l 满足满足 lm，ln，l ，l ，则则( ) A且且 l B且且 l C与与 相交相交，且交线垂直于且交线垂直于 l D与与 相交相交，且交线平行于且交线平行于 l 解析：解析：根据所给的已知条件作图根据所给的已知条件作图，如图所示由图可知如图所示由图可知 与与 相相交交，且交线平行于且交线平行于 l，因此选项因此选项 D 正确正确 答案：答案：D 3如图如图，在正四面体在正四面体 PABC 中中，D，E，F 分别是分别是 AB，BC， CA 的中点的中点，下面四个结论下面四个结论不成立不成立 的是的
11、是( ) ABC平面平面 PDF BDF平面平面 PAE 8 C平面平面 PDF平面平面 PAE D平面平面 PDE平面平面 ABC 解析：解析：因为因为 BCDF，DF平面平面 PDF，BC 平面平面 PDF， 所以所以 BC平面平面 PDF，故选项故选项 A 正确正确 在正四面体中在正四面体中，AEBC，PEBC，DFBC， BC平面平面PAE， 则则DF平面平面PAE， 从而平面从而平面PDF平面平面PAE. 因此选项因此选项 B、C 均正确均正确 答案：答案：D 4(2014 浙江卷浙江卷)设设 m，n 是两条不同的直线是两条不同的直线，是两个不是两个不 同的平面同的平面( ) A若若
12、 mn，n，则则 m B若若 m，则则 m C若若 m，n，n，则则 m D若若 mn，n，则，则 m 解析：解析：A 中中，由由 mn，n 可得可得 m 或或 m 与与 相交或相交或 m ，错误；错误； B 中中，由由 m，可得可得 m 或或 m 与与 相交或相交或 m，错错 误；误； C 中中，由由 m，n可得可得 mn，又又 n，所以所以 m，正确；正确； D 中中，由由 mn，n，可得可得 m 或或 m 与与 相交或相交或 m ，错误错误 答案：答案：C 5如图如图所示所示，AB 是是O 的直径的直径，VA 垂直于垂直于O 所在的平面所在的平面， 点点 C 是圆周上不同于是圆周上不同于
13、 A，B 的任意一点的任意一点，M，N 分别为分别为 VA，VC 的的 中点中点，则下列结论正确的是则下列结论正确的是( ) 9 AMNAB BMN 与与 BC 所成的角为所成的角为 45 COC平面平面 VAC D平面平面 VAC平面平面 VBC 解析：解析：由圆的性质由圆的性质，BCAC. 又又 VA平面平面 ABC，则则 VABC. 从而从而 BC平面平面 VAC，平面平面 VAC平面平面 VBC. 因此因此 C 不正确不正确，D 正确正确 由于由于 MNAC，BCAC，所以所以 A，B 不正确不正确 答案：答案：D 二、填空题二、填空题 6如图所示如图所示，在四棱锥在四棱锥 PABCD
14、 中中，PA底面底面 ABCD，且且 底面各边都相等底面各边都相等，M 是是 PC 上的一动点上的一动点，当点当点 M 满足满足_时时， 平面平面 MBD平面平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可只要填写一个你认为是正确的条件即可) 10 解析：解析：由定理可知由定理可知，BDPC. 当当 DMPC(或或 BMPC)时时，有有 PC平面平面 MBD. 又又 PC平面平面 PCD，平面平面 MBD平面平面 PCD. 答案：答案：DMPC(或或 BMPC 等等) 7(2017 石家庄调研石家庄调研)如图如图，在三棱柱在三棱柱 ABCA1B1C1中中，各棱各棱 长都相等长都相等，侧棱垂直
15、于底面侧棱垂直于底面，点点 D 是侧面是侧面 BB1C1C 的中心的中心，则则 AD 与平面与平面 BB1C1C 所成角的大小是所成角的大小是_ 解析：解析：取取 BC 的的中点中点 E，连接连接 AE，DE，则则 AE平面平面 BB1C1C. 所以所以ADE 为直线为直线 AD 与平面与平面 BB1C1C 所成的角所成的角 11 设三棱柱的所有棱长为设三棱柱的所有棱长为 a， 在在 RtAED 中中， AE 3 2 a，DEa 2. 所以所以 tanADEAE DE 3，则则ADE 3 . 故故 AD 与平面与平面 BB1C1C 所成的角为所成的角为 3 . 答案：答案： 3 8如图所示如图
16、所示，在三棱锥在三棱锥 DABC 中中，若若 ABCB，ADCD， E 是是 AC 的中点的中点，则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是_(填序号填序号) 平面平面 ABC平面平面 ABD； 平面平面 ABC平面平面 BCD； 平面平面 ABC平面平面 BDE，且平面且平面 ACD平面平面 BDE； 平面平面 ABC平面平面 ACD，且平面且平面 ACD平面平面 BDE. 解析：解析：由由 ABCB，ADCD，E 为为 AC 中点中点， 则则 ACDE，ACBE， 又又 DEBEE，从而从而 AC平面平面 BDE. 所以平面所以平面 ABC平面平面 BDE，平面平面 ACD平面平面 BDE，
17、正确正确 答案：答案： 12 三、解答题三、解答题 9(2016 西安质检西安质检)如图所示如图所示，在三棱锥在三棱锥 PABC 中中，D，E， F 分别为棱分别为棱 PC，AC，AB 的中点已知的中点已知 PAAC，PA6，BC8， DF5. 求证：求证：(1)直线直线 PA平面平面 DEF； (2)平面平面 BDE平面平面 ABC. 证明：证明：(1)因为因为 D，E 分别为棱分别为棱 PC，AC 的中点的中点，所以所以 DEPA. 又因为又因为 PA 平面平面 DEF，DE平面平面 DEF， 所以直线所以直线 PA平面平面 DEF. (2)因为因为 D，E，F 分别为棱分别为棱 PC，A
18、C，AB 的中点的中点，PA6，BC 8，所以所以 DEPA，DE1 2PA 3，EF1 2BC 4. 又因为又因为 DF5，故故 DF2DE2EF2， 所以所以DEF90，即即 DEEF. 又又 PAAC，DEPA，所以所以 DEAC. 因为因为 ACEFE，AC平面平面 ABC，EF平面平面 ABC， 所以所以 DE平面平面 ABC. 又又 DE平面平面 BDE，所以平面所以平面 BDE平面平面 ABC. 13 B 级级 能力提升能力提升 14 1如图如图，在正四棱锥在正四棱锥 SABCD 中中，E，M，N 分别是分别是 BC， CD，SC 的中点的中点，动点动点 P 在线段在线段 MN
19、上运动时上运动时，下列四个结论：下列四个结论： EPAC；EPBD；EP面面 SBD；EP面面 SAC 中恒成立中恒成立 的为的为( ) A B C D 解析：解析：E，M，N 是是 BC，CD，SC 的中点的中点， ENSB，EMBD， 从而可得从而可得 EN平面平面 SBD，EM平面平面 SBD. 又又 EN 与与 EM 是平面是平面 EMN 内的两条相交直线内的两条相交直线， 平面平面 EMN平面平面 SBD，故故 EP平面平面 SBD， 因此因此正确正确，当点当点 P 与与 M 不重合时不重合时，不正确不正确 在正四棱锥在正四棱锥 SABCD 中中，AC平面平面 SBD. 从而从而 A
20、C平面平面 EMN， 由由 EP平面平面 EMN，得得 ACEP，正确正确 又易知又易知 EM平面平面 SAC，因此因此不恒成立不恒成立 答案：答案：A 2如图如图，在三棱柱在三棱柱 ABCA1B1C1中中，侧棱侧棱 AA1底面底面 ABC， 底面是以底面是以ABC 为直角的等腰直角三角形为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D 15 是是 A1C1的中点的中点，点点 F 在线段在线段 AA1上上，当当 AF_时时，CF平平 面面 B1DF. 解析：解析：B1D平面平面 A1ACC1，CFB1D. 为了使为了使 CF平面平面 B1DF，只要使只要使 CFDF(或或 CFB1F) 设设
21、AFx，则则 CD2DF2FC2， x23ax2a20，xa 或或 x2a. 答案：答案：a 或或 2a 16 立体几何中的高考热点题型立体几何中的高考热点题型 高高考导航考导航_ 1立体几何初步是高考的重要内容立体几何初步是高考的重要内容，几乎每年都考查一个解答几乎每年都考查一个解答 题题，两个选择或两个选择或填空题填空题，客观题主要考查空间概念客观题主要考查空间概念，三视图及简单计三视图及简单计 算；解答题主要采用算；解答题主要采用“论证与计算论证与计算”相结合的模式相结合的模式，即利用定义、公即利用定义、公 理、定理证明空间线线、线面、面面平行或垂直理、定理证明空间线线、线面、面面平行或
22、垂直，并与几何体的性质并与几何体的性质 相结合考查几何体的计算相结合考查几何体的计算 2重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运重在考查学生的空间想象能力、逻辑推理论证能力及数学运 17 算能力考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图算能力考查的热点是以几何体为载体的垂直、平行的证明、平面图 形的折叠、 探索开放性形的折叠、 探索开放性问题等； 同时考查转化化归思想与数形结合的问题等； 同时考查转化化归思想与数形结合的 思想方法思想方法 热点突破热点突破_ 热点热点 1 平行、垂直关系的证明平行、垂直关系的证明 与体积的计算与体积的计算(满分现满分现场场) 以空间几何体
23、以空间几何体(主要是柱、锥或简单组合体主要是柱、锥或简单组合体)为载体为载体，通过空间平通过空间平 行、垂直关系的论证命制行、垂直关系的论证命制，主要考查公理主要考查公理 4 及线、面平行与垂直的判及线、面平行与垂直的判 定定理与性质定理定定理与性质定理， 常与平面图形的有关性质及体积常与平面图形的有关性质及体积的计算等知识交的计算等知识交 汇考查， 考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思汇考查， 考查学生的空间想象能力和推理论证能力以及转化与化归思 想，一般以解答题的形式出现，难度中等想，一般以解答题的形式出现，难度中等 (本小题满分本小题满分 12 分分)如图所示如图所示，在
24、三棱柱在三棱柱 ABC A1B1C1中中，侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E， F 分别是分别是 A1C1，BC 的中点的中点 (1)求证平面求证平面 ABE平面平面 B1BCC1. (2)求证求证 C1F平面平面 ABE. (3)求三棱锥求三棱锥 EABC 的体积的体积 规范解答：规范解答：(1)在三棱柱在三棱柱 ABCA1B1C1中中，BB1底面底面 ABC， 且且 AB平面平面 ABC. 所以所以 BB1AB. 又因为又因为 ABBC，且且 BB1BCB 18 所以所以 AB平面平面 B1BCC1.3 分分 因为因为 AB平面平面 ABE 所以平面所以平面
25、ABE平面平面 B1BCC1.4 分分 图图 1 图图 2 (2)法一法一 如图如图 1，取取 AB 中点中点 G，连接连接 EG，FG. 因为因为 E，F 分别是分别是 A1C1，BC 的中点的中点， 所以所以 FGAC，且且 FG1 2AC. 因为因为 ACA1C1，且且 ACA1C1， 所以所以 FGEC1，且且 FGEC1. 所以四边形所以四边形 FGEC1为平行四边形为平行四边形.6 分分 所以所以 C1FEG. 又因为又因为 EG平面平面 ABE，C1F 平面平面 ABE， 所以所以 C1F平面平面 ABE.8 分分 法二法二 如图如图 2，取取 AC 的中点的中点 H，连接连接
26、C1H，FH. 因为因为 H，F 分别是分别是 AC，BC 的中点的中点，所以所以 HFAB， 又因为又因为 E，H 分别是分别是 A1C1，AC 的中点的中点， 所以所以 EC1綊綊 AH， 所以四边形所以四边形 EAHC1为平行四边形为平行四边形， 所以所以 C1HAE. 又又 C1HHFH，AEABA， 6 分分 所以平面所以平面 ABE平面平面 C1HF， 19 又又 C1F平面平面 C1HF， 所以所以 C1F平面平面 ABE.8 分分 (3)解：解：因为因为 AA1AC2，BC1，ABBC， 所以所以 AB AC2BC2 3.10 分分 所以三棱锥所以三棱锥 EABC 的体积的体积
27、 V1 3S ABCAA11 3 1 2 312 3 3 . 12 分分 【满分规则】【满分规则】 (1)本题的易失分点：本题的易失分点： 在第在第(1)问中问中，忽视条件忽视条件与与，导致证明线面、面面垂直导致证明线面、面面垂直的的 判定定理条件不全判定定理条件不全，进而扣分，进而扣分 在第在第(2)问中问中，作不出辅助线作不出辅助线，线面平行证明受阻线面平行证明受阻，或忽视条或忽视条 件件，漏掉线面平行判定定理的条件扣漏掉线面平行判定定理的条件扣 1 分分 运算不细心或运算能力差运算不细心或运算能力差， 导致运算结果导致运算结果(如如处处)错误扣错误扣 2分分 (2)满分规则：满分规则：
28、得关键点分： 证明立体几何要注意解题规范得关键点分： 证明立体几何要注意解题规范， 严格按照线面平严格按照线面平 行、垂直的定理条件要求行、垂直的定理条件要求，有序进行论证说明有序进行论证说明 得步骤分：阅卷时得步骤分：阅卷时，主要看关键步骤、关键点主要看关键步骤、关键点，有则得分有则得分，无无 则扣分则扣分，所以解题时要写全关键步骤所以解题时要写全关键步骤，不能漏掉不能漏掉，否则扣分否则扣分 得运算分：在解题过程中得运算分：在解题过程中，涉及有关长度、角、面积、体积等涉及有关长度、角、面积、体积等 计算问题时计算问题时， 一定要细心准确一定要细心准确， 否否则思路正确则思路正确， 由于运算失
29、误而扣分， 由于运算失误而扣分， 非常可惜非常可惜 【构建模板】【构建模板】 第一步：利用线面垂直判定定理第一步：利用线面垂直判定定理，证证 AB平面平面 B1BCC1. 第二步：证明平面第二步：证明平面 ABE平面平面 B1BCC1. 第三步：根据线面平行判定证明第三步：根据线面平行判定证明 C1F平面平面 ABE. 第四步：根据体积公式第四步：根据体积公式，计算三棱锥计算三棱锥 EABC 的体积的体积 20 第五步：检验反思第五步：检验反思，查关键点查关键点，规范步骤规范步骤 21 【变式训练】【变式训练】 (2015 课标全国课标全国卷卷)如图如图，四边形四边形 ABCD 为为 菱形菱形
30、，G 为为 AC 与与 BD 的交点的交点，BE平面平面 ABCD. (1)证明：平面证明：平面 AEC平面平面 BED； (2)若若ABC120， AEEC， 三棱锥三棱锥 EACD 的体积为的体积为 6 3 ， 求该三棱锥求该三棱锥 EACD 的侧面积的侧面积 (1)证明：证明：因为四边形因为四边形 ABCD 为菱形为菱形，所以所以 ACBD. 因为因为 BE平面平面 ABCD，所以所以 ACBE. 故故 AC平面平面 BED. 又又 AC平面平面 AEC，所以平面所以平面 AEC平面平面 BED. ( (2)解：解：设设 ABx，在菱形在菱形 ABCD 中中，由由ABC120，可得可得
31、AGGC 3 2 x，GBGDx 2. 因为因为 AEEC， 所以在所以在 RtAEC 中中，可得可得 EG 3 2 x. 由由 BE平面平面 ABCD， 知知EBG 为直角三角形为直角三角形，可得可得 BE 2 2 x. 由已知得由已知得，三棱锥三棱锥 EACD 的体积的体积 VE ACD 1 3 1 2AC GDBE 6 24x 3 6 3 . 故故 x2. 从而可得从而可得 AEECED 6. 22 所以所以EAC的面积为的面积为 3， EAD的面积与的面积与ECD的面积均为的面积均为 5. 故三棱锥故三棱锥 EACD 的侧面积为的侧面积为 32 5. 热点热点 2 平面图形折叠成空间几
32、何体问题平面图形折叠成空间几何体问题 (真题探源真题探源) 先将平面图形折叠成空间几何体先将平面图形折叠成空间几何体，再再以其为载体研究其中的线、以其为载体研究其中的线、 面间的位置关系与计算有面间的位置关系与计算有关的几何量是近几年高考考查立体几何的关的几何量是近几年高考考查立体几何的 一类重要考向， 它很好地将平面图形拓展成空间图形， 同时也为空间一类重要考向， 它很好地将平面图形拓展成空间图形， 同时也为空间 立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径， 是高考深层次上考立体图形向平面图形转化提供了具体形象的途径， 是高考深层次上考 查空间想象能力的主要方向查空间想象能力的主要方向 (2
33、015 陕西卷陕西卷)如图如图(1)，在直角梯形在直角梯形 ABCD 中中， ADBC，BAD 2 ，ABBC1 2AD a，E 是是 AD 的中点的中点，O 是是 AC 与与 BE 的交的交点点将将ABE 沿沿 BE 折起到图折起到图(2)中中A1BE 的位置的位置， 得到四棱得到四棱锥锥 A1 BCDE. (1)证明：证明：CD平面平面 A1OC； (2)当平面当平面 A1BE平面平面 BCDE 时时， 四棱锥四棱锥 A1BCDE 的体积为的体积为 36 2，求求 a 的值的值 【命题立意】【命题立意】 本题以平面图形的折叠为背景本题以平面图形的折叠为背景， 考查空间垂直关系、考查空间垂直
34、关系、 棱锥体积的计算 考查学生识图空间想象能力 推理论证能力及数学棱锥体积的计算 考查学生识图空间想象能力 推理论证能力及数学 应用意识应用意识，同时考查数学运算求解能力同时考查数学运算求解能力，突出考查方程思想、突出考查方程思想、转化化转化化 归思想方法归思想方法 23 (1)证明：证明：在图在图(1)中中，因为因为 ABBC1 2AD a，E 是是 AD 的中点的中点， BAD 2 ，所以所以 BEAC. 则在图则在图(2)中中，BEA1O，BEOC，且且 A1OOCO. 从而从而 BE平面平面 A1OC. 又又 CDBE，所以所以 CD平面平面 A1OC. (2)解：解：由已知由已知，
35、平面平面 A1BE平面平面 BCDE， 且平面且平面 A1BE平面平面 BCDEBE， 又由又由(1)可可得得 A1OBE， 所以所以 A1O平面平面 BCDE. 即即 A1O 是四棱锥是四棱锥 A1BCDE 的高的高 由图由图(1)知知，A1O 2 2 AB 2 2 a，平行四边形平行四边形 BCDE 的面积的面积 S BC ABa2， 从而四棱锥从而四棱锥 A1BCDE 的体积为的体积为 V1 3S A1O1 3 a2 2 2 a 2 6 a3. 由由 2 6 a336 2，得得 a6. 【真题探源】【真题探源】 高考越来越重视教材题目的拓展及相关习题的融高考越来越重视教材题目的拓展及相关
36、习题的融 合本题源于人教合本题源于人教 A 版必修版必修 2P79B 组第组第 1 题的改造迁移题的改造迁移，两题均考两题均考 查空间垂直关系的证明、锥体的体积计算高考真题将折叠查空间垂直关系的证明、锥体的体积计算高考真题将折叠“正方正方 形形”改造为折叠改造为折叠“直角梯形直角梯形”为背景第为背景第(2)问中问中，将教材中将教材中“根据根据 正方形边长正方形边长， 求锥体体积求锥体体积”改造为改造为“已知锥体的体积求直角梯形的底已知锥体的体积求直角梯形的底 边长边长” 两题求解的关两题求解的关键在于分清翻折前后图形线面位置关系和度量键在于分清翻折前后图形线面位置关系和度量 关系的变化情况 试
37、题的导向有利于中学关系的变化情况 试题的导向有利于中学数学教学数学教学， 要求在高三复习， 要求在高三复习 24 中重视挖潜教材题目的功能，另外真题也和选修中重视挖潜教材题目的功能，另外真题也和选修 21P119 页页 B 组第组第 3 题有密切联系题有密切联系 人教人教 A 版必修版必修 2P79习题习题 B 组第组第 1 题题 如图所示如图所示，在边长为在边长为 2 的正方形的正方形 ABCD 中中， (1)点点 E 是是 AB 的中点的中点，点点 F 是是 BC 的中点的中点，将将AED，DCF 分别沿分别沿 DE，DF 折起折起，使使 A，C 两点重合于点两点重合于点 A，求证：求证：
38、ADEF. (2)当当 BEBF1 4BC 时 时，求三棱锥求三棱锥 AEFD 的体积的体积 【变式训练】【变式训练】 已知等边已知等边ABC 的边长为的边长为 3，点点 D，E 分别在分别在 边边 AB， AC 上上， 且满足且满足AD DB CE EA 1 2， ， 将将ADE 沿沿 DE 折叠到折叠到A1DE 的位置的位置，使平面使平面 A1DE平面平面 BCED，连接连接 A1B，A1C. (1)证明：证明：A1D平面平面 BCED. (2)在线段在线段 BD上是否存在点上是否存在点 M， 使得使得 CM平面平面 A1DE？若存在？若存在， 求出求出 BM 的长；若不存在的长；若不存在
39、，说明理由，说明理由 (1)证明：证明：在在ABC 中中，AD DB CE EA 1 2， ， 得得 ADCE1，BDAE2， 在在ADE 中中，A60，AD1，AE2. 25 由余弦定理得由余弦定理得 DE 3， 于是于是 AE2AD2DE2. 故故ADE 为直角三角形为直角三角形，且且 DEAD. 因此折叠后因此折叠后 DEA1D. 因为平面因为平面 A1DE平面平面 BCED， 平面平面 A1DE平面平面 BCEDDE， A1D平面平面 A1DE， 所以所以 A1D平面平面 BCED. (2)解解：存在满足要求的点存在满足要求的点 M 过过 C 作作 BD 边的垂线边的垂线，垂足即为所垂
40、足即为所 求的点求的点 M. 证明如下：由证明如下：由(1)可知可知 DEAB，于是于是 DECM， 因为因为 CM 平面平面 A1DE，DE平面平面 A1DE， 所以所以 CM平面平面 A1DE， 因为因为ABC 为等边三角形为等边三角形，且且 CMBD， 所以所以 BM1 2BA 3 2. 线、面位置关系中的开放存在性问题线、面位置关系中的开放存在性问题 是否存在某点或某参数是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题使得某种线、面位置关系成立问题，是是 近几年高考命题的热点近几年高考命题的热点， 常以解答题中最后一问的形式出现常以解答题中最后一问的形式出现， 一般有一般有 三种类
41、型：三种类型：(1)条件追溯型条件追溯型(2)存在探索型存在探索型(3)方法类比探索型方法类比探索型 (2017 威海模拟威海模拟)如图所示如图所示， 在四棱锥在四棱锥 PABCD 中中，底面底面 ABCD 是边长为是边长为 a 的正方形的正方形，侧面侧面 PAD底面底面 ABCD，且且 E，F 分别为分别为 PC，BD 的的中点中点 26 (1)求证：求证：EF平面平面 PAD； (2)在线段在线段 CD 上是否存在一点上是否存在一点 G，使得平面使得平面 EFG平面平面 PDC？ 若存在若存在，请说明其位置请说明其位置，并加以证明；若不存在并加以证明；若不存在，请说明理由请说明理由 (1)证明：证明：如图所示如图所示，连接连接 EF，AC，在四棱锥在四棱锥 PABCD 中中， 底面底面 ABCD 是边长为是边长为 a 的正方形的正方形，且点且点 F 为对角线为对角线 BD 的中点的中点 所以对角形所以对角形 AC 经过点经过点 F， 又在又在PAC 中中，点点 E 为为 PC 的中点的中点， 所以所以 EF 为为PAC 的中位线的中位线， 所以所以 EFPA， 又又 PA平面平面 PAD，EF 平面平面 PAD， 所以所以 EF平面平面 PAD. (2)解：解：存在满足要求的点存在满足要求的点 G. 在线段在线段 CD 上存在上存
