1、.分类计数原理与分步计数原理分类计数原理与分步计数原理.问题问题1: 重庆的重庆的王先生想到西昌王先生想到西昌现场观看嫦娥一现场观看嫦娥一号卫星的发射，号卫星的发射，从重庆到西昌可从重庆到西昌可以乘坐火车或者以乘坐火车或者汽车，一天中，汽车，一天中，火车有班，汽火车有班，汽车有班，问从车有班，问从重庆到西昌共有重庆到西昌共有多少种不同的走多少种不同的走法法?.问题问题1: 重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥重庆的王先生想到西昌现场观看嫦娥一号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火一号卫星的发射，从重庆到西昌可以乘坐火车或者汽车，一天中，火车有班，汽车有车或者汽车，一天中，火车有班，汽车有班，问从重庆
2、到西昌共有多少种不同的走班，问从重庆到西昌共有多少种不同的走法法重庆重庆西昌西昌火车火车1火车火车2火车火车 3汽车汽车1汽车汽车2分析分析: 从重庆到西昌有从重庆到西昌有2类方法类方法,.乘火车，乘火车，3种方法种方法; .乘汽车，乘汽车，2种方法种方法;所以所以 从重庆到西昌共有从重庆到西昌共有 3 + 2 = 5 种不同方法。种不同方法。.如果重庆到西昌，除了班火车班汽车外还有如果重庆到西昌，除了班火车班汽车外还有班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？班飞机，那么王先生有多少种不同的走法呢？ 如果完成一件事情有如果完成一件事情有n类不同的办法，在每类不同的办法，在每一类中都有若干种不同
3、方法，那么应当如何计一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？数呢？ 探究探究: :延伸：延伸：共有：共有： 3+2+2=7 种种.12nNmmm 一般地一般地,若完成一件事，有若完成一件事，有 类办法，在第类办法，在第1类办法中有类办法中有 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类办法中类办法中有有 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第 类办法中有类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法，那么完成这件事共有：1m2mnnmn种不同的方法种不同的方法注意：注意：每类方法都能独立完成这件事每类方法都能独立完成这件事,不重复不重复,不遗漏不遗漏（又叫：（又叫：加法原理加法原
4、理）. 问题问题2: 在重庆工在重庆工作的小李欲回广州作的小李欲回广州老家过年，受雪灾老家过年，受雪灾影响重庆到广州的影响重庆到广州的火车全部停运于火车全部停运于是他决定先乘火车是他决定先乘火车到柳州，然后第二到柳州，然后第二天再乘汽车到广州天再乘汽车到广州一天中，火车有一天中，火车有班，汽车有班班，汽车有班，问小李一共有多，问小李一共有多少种走法？少种走法？. 问题问题2: 在重庆读书的小李欲回老家广州过年，受雪灾影在重庆读书的小李欲回老家广州过年，受雪灾影响重庆到广州的火车全部停运于是他决定先乘火车到柳响重庆到广州的火车全部停运于是他决定先乘火车到柳州，然后第二天再乘汽车到广州一天中，火车
5、有班，州，然后第二天再乘汽车到广州一天中，火车有班，汽车有班，问小李一共有多少种走法？汽车有班，问小李一共有多少种走法？第二步第二步, 由柳州去广州有由柳州去广州有2种方法；种方法； 分析分析: 第一步第一步, 由重庆去柳州有由重庆去柳州有3种方法种方法,所以所以 从从重庆重庆经经柳州柳州到到广州广州共有共有3 2 = 6 种不同的方法。种不同的方法。汽车汽车1汽车汽车2柳州柳州重庆重庆广州广州火车火车1火车火车 3火车火车2.探究 ：如果完成一件事情需要如果完成一件事情需要 n 步，每一步都有若步，每一步都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 延伸延伸：如
6、果小李回家的时候需要转一次车后再如果小李回家的时候需要转一次车后再乘飞机（如图），则共有多少种不同的走法？乘飞机（如图），则共有多少种不同的走法？汽车汽车2汽车汽车1火车火车 3火车火车2火车火车1飞机飞机1飞机飞机2重庆重庆广州广州A地地B地地共有共有 ：322=12种种.12nNmmmn一般地，若完成一件事，需要分成一般地，若完成一件事，需要分成 步步，做第做第1步步有有 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步步有有 种不种不同的方法，同的方法，做第，做第 步步有有 种不同的方法，那种不同的方法，那么完成这件事共有么完成这件事共有：1m2mnmn种不同的方法种不同的方法.注意：注意：只有
7、每步都完成，事情才能完成只有每步都完成，事情才能完成（又叫：（又叫：乘法原理乘法原理）. 一般地一般地,若完成一件事，有若完成一件事，有 n 类类办办法，在第法，在第1类办法中有类办法中有 m1 种不种不同的方法，在第同的方法，在第2类办法中有类办法中有 m2 种不同的方法，种不同的方法，在第，在第 n 类办类办法中有法中有 mn 种不同的方法，那么种不同的方法，那么完成这件事共有：完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法12nNmmm一般地，若完成一件事，需要一般地，若完成一件事，需要分成分成 n 步步，做第，做第1步有步有 m1 种不种不同的方法，做第同的方法，做第2步有步有 m2 种不种
8、不同的方法，同的方法，做第，做第 n 步有步有 mn 种不同的方法，那么完成种不同的方法，那么完成这件事共有这件事共有：种不同的方法种不同的方法.12nNmmm做一件事情可以分为几类办法，每一类都可以独立完成这做一件事情可以分为几类办法，每一类都可以独立完成这件事情件事情做一件事情要分为几步，每一步都完成了才能完成这件事做一件事情要分为几步，每一步都完成了才能完成这件事情情.例题例题1. 某班级有男三好学生5人,女三好学生4人。 (1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖，需
9、分2类： 第一类，选一名男三好学生，有 5 种方法； 第二类，选一名女三好学生，有 4 种方法； 所以，根据分类计数原理，共有N =5 + 4 = 9种；(2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会, 需分2步完成, 第一步，选一名男三好学生,有 m1 = 5 种方法; 第二步, 选一名女三好学生,有 m2 = 4 种方法; 所以, 根据分步计数原理, 得到不同选法种数共 有 N = 5 4 = 20 种。.练习练习1题题 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的语文书，第本不同的语文书，第2层放层放有有3本不同的数学书，第本不同的数学书，第3层放有层放有2本不同的英语本不同的英语书；
10、书；（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？）从书架上任取一本书，有多少种取法？（2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书,有多少种不有多少种不同的取法同的取法?(3)从书架上取两本不同学科的书从书架上取两本不同学科的书,有多少种不同的取有多少种不同的取法法43+42+32=26.例例2 2：体育福利彩票的中奖号码有体育福利彩票的中奖号码有7 7位数码，每位数码，每位数若是位数若是0909这十个数字中任一个，则每次摇这十个数字中任一个，则每次摇奖产生的号码有多少种可能？奖产生的号码有多少种可能？10=10101010101010第一位第二位第三位第四位第五位第六位第七位变：这
11、十个数字一共可以组成多少个变：这十个数字一共可以组成多少个位数？位数？9101010101010百万百万十万十万万万千千百百十十个个= 910.例例2:2:体育福利彩票的中奖号码有体育福利彩票的中奖号码有7 7位数码，每位数若是位数码，每位数若是0909这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的这十个数字中任一个，则产生中奖号码所有可能的种数是多少？种数是多少？变：变： 0909这十个数字可组成多少这十个数字可组成多少数字不重复数字不重复的的七位数？七位数？=544320百万十万万千百十个.第第29届奥运会在中国北京举行，在乒乓球比赛中，中国队届奥运会在中国北京举行，在乒乓球比赛中，中国队的
12、马琳、王皓、的马琳、王皓、王励勤王励勤包揽了男子单打的前三名。有包揽了男子单打的前三名。有位女粉丝前去献花，请问可能出现多少种献花情况。位女粉丝前去献花，请问可能出现多少种献花情况。例例33333 =34 = 81.类似问题练习：类似问题练习：1. 有三封信需要寄出，现在有个邮筒，请问有多有三封信需要寄出，现在有个邮筒，请问有多少种投递方法？少种投递方法？2. 学校创建语文、数学、英语学校创建语文、数学、英语3个兴趣小组个兴趣小组,有有4位同位同学想要加入学想要加入,但每人但每人只能参加一科只能参加一科,请问有多少种报名请问有多少种报名方法方法?3. 某宾馆来了某宾馆来了3个人投宿个人投宿,此
13、时宾馆还有此时宾馆还有4个个单单间间,请问有多少种安排方法请问有多少种安排方法?4334432=24. 归归 纳纳 推推 理理 分分 类类 讨讨 论论 数学源于生活数学数学 用于生活用于生活小结小结分类计数原理与分类计数原理与分步计数原理分步计数原理分类计数原理：分类计数原理：针针对的是对的是“分类分类”问问题，其各种方法互题，其各种方法互相独立，用其中任相独立，用其中任何一种方法都可以何一种方法都可以做完这件事。做完这件事。分步计数原理：分步计数原理：针对针对的是的是“分步分步”问题，问题，各个步骤的方法相互各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤依存，只有各个步骤都完成了才算做完这都完成了才算
14、做完这件事。件事。都是有关做一件事情的都是有关做一件事情的不同方法的种数的问题。不同方法的种数的问题。.课后作业课后作业关于涂色问题的探究关于涂色问题的探究.课后作业课后作业关于涂色问题的探究关于涂色问题的探究问题背景：问题背景：数学史上著名的数学史上著名的“四色问题四色问题”1852年，弗南西斯年，弗南西斯格思里来格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数
15、学上严格证明呢这个结论能不能从数学上严格证明呢？这个猜想引起了这个猜想引起了 很多数学家的极大兴趣，但在这之后的很多数学家的极大兴趣，但在这之后的100多多年期间，他们都没有能严格的证明其正确性，终于在年期间，他们都没有能严格的证明其正确性，终于在1976年，年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了子计算机上，用了1200个小时，作了个小时，作了100亿次判断，终于完成亿次判断，终于完成了四色问题的证明。了四色问题的证明。 有条件的同学上网查阅更多关于四色问题有条件的同学上网查阅更多关于四色问题的介绍的介绍.如图如图,要给地图要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上四个区域分别涂上3种不种不同颜色中的某一种同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次允许同一种颜色使用多次,但相邻区域但相邻区域必须涂不同的颜色必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？不同的涂色方案有多少种？课后作业课后作业关于涂色问题的探究关于涂色问题的探究探究：探究：如果有种颜色呢？种颜色呢？如果有种颜色呢？种颜色呢？又有多少种不同的涂色方法呢？又有多少种不同的涂色方法呢？.
