1、第三章第三章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何3. .2. .4 立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法夹角问题：夹角问题：lamb(1) , l m的夹角为 ，coscos, ab则 lamb 夹角问题：夹角问题：(2) , l的夹角为 ，sincos, a u 则uu cos(-cos(- )= cos )= cos 2 2u cos(+cos(+ )= cos )= cos 2 2 ula la 夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，u v 则coscos =cos =cos u v 夹角问题：夹角问题：(3) , 的夹角为 ，u v 则coscos =cos =cos u
2、v xyz 解解1：以点以点C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： Cxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D11(,0,1),2AF 11 1(, 1)2 2D B 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD A1AB1BC1C1D1F3030=.=.1010所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1BD1AF30100111111111111 90 , ,Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例1、 中，现将沿着平面的
3、法向量平移到位置，已知取、的中点 、 ，求与所成的角的余弦值.0111111111111 90 , ,Rt ABCBCAABCABCABCBCCACCABACDFAFD B例1、 中，现将沿着平面的法向量平移到位置，已知取、的中点 、 ，求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F解解2：例例2、 空间四边形空间四边形ABCD中，中，AB=BC=CD，ABBC，BCCD，AB与与CD成成600角，求角，求AD与与BC所成的角大小所成的角大小. .1AB 解 设ADABBCCD 2222 222ADABBCCDAB BCBC CDAB CD 1 1 1 00 14 2AD ()1AD BCA
4、BBCCD BC cos,1/ 2AD BC 例例3、 的棱长为的棱长为 1. .111.B CAB C求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系. .11(010)则，- ， ，BC B 11 平面AB C的一个法向量为D=(1，1， 1)1110 1 03cos313 ，BD BC1113所以与面所成的角的正弦值为。3BCABCA1xD1B1ADBCC1yzEF例例3、的棱长为的棱长为 1. .111.B CAB C求与 平 面所 成 的 角 的 正 弦 值解解2 A1xD1B1ADBCC1yzEF 例例4、 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P- -ABCD
5、中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC， E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. . ( (3) )求二面角求二面角C- -PB- -D的大小的大小. .ABCDPEF,2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。) 1,(),(zyxPFzyxF则的坐标为设点PBkPF 因为( , ,1)(1,1, 1)( , ,)x y zkk kk所所以以kzkykx1,即0DFPB因为0131)1 ,() 1, 1 , 1 (kkkkkkk所以31k所以ABCDPEFXYZ1 1 2()3 3 3F，( (3
6、) ) 解解 建立空间直角坐标系，设建立空间直角坐标系，设DC=1. .)323131(，的坐标为点F)21,21, 0(的坐标为又点E)61,61,31(FE所以2131613666)32,31,31()61,61,31(cosFDFEFDFEEFD因为60 ,60.EFDCPBD所以即二面角 的大小为 112(,)333FD 例例4、 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P- -ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC， E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. . ( (3) )求二面角求二面角C- -PB- -D的大小的大小
7、. .ABCDPEFXYZ平面平面PBC的一个法向量为的一个法向量为 解解2 如图所示建立如图所示建立空间直角坐标系，设空间直角坐标系，设DC=1. .1 1(0, )2 2DE 平面平面PBD的一个法向量为的一个法向量为G11( ,0)22CG 1cos,1/2DE GC cos1/ 2, 60 例例4、 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P- -ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC， E是是PC的的中点，作中点，作EFPB交交PB于点于点F. . ( (3) )求二面角求二面角C- -PB- -D的大小的大小. .ABCDPEF 解解3 设
8、设DC=1. ., 2,PBEFPBDFEFDCPBD 已知由（ ）可知故是二面角的平面角。例例5、 的棱长为的棱长为 1. .1.BD求二面角A-C的大小解解1 建立直角坐标系建立直角坐标系. .A1xD1B1ADBCC1yz平面平面PBD1的一个法向量为的一个法向量为1(0,1,1)DA 平面平面CBD1的一个法向量为的一个法向量为1(1,0,1)DC 11cos,1/2DA DC cos1/ 2, 120 10 .BD二面角A-C的大小为12的棱长为的棱长为 1. .1.BD求二面角A-C的大小解解2A1D1B1ADBCC1例例5、 距离问题：距离问题：( (1) ) A( (x1，y1，z1) )， B( (x2，y2，z2) )， 则则222121212()()()ABxxyyzz距离问题：距离问题：asin, dAPAP a ( (2) ) 点点P与直线与直线l的距离为的距离为d ， 则则距离问题：距离问题：( (3) ) 点点P与平面与平面的距离为的距离为d ， 则则 u A P O d距离问题：距离问题：( (4) ) 平面平面与与的距离为的距离为d ， 则则 umDCPAlab
