1、3.3.3 点到直线的距离点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离 1.了解点到直线距离公式的推导方法了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式掌握点到直线距离公式,并能灵活应用于求平行线间的距离并能灵活应用于求平行线间的距离等问题等问题.3.进一步体验解析几何的基本思想进一步体验解析几何的基本思想,初步掌握用解析法研究几初步掌握用解析法研究几何问题的方法何问题的方法. 1.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,如果已知某点如果已知某点P的坐标为的坐标为(x0,y0),直线直线l的方程是的方程是Ax+By+C=0,则点则点P到直线到直线l的距离的距离d=
2、_.0022|AxByCAB2.若直线若直线l的方程的方程Ax+By+C=0中中,B=0,则则A0,其方程为其方程为x=- ,此时点此时点P(x0,y0)到该直线的距离到该直线的距离d=_;若直若直线线l的方程的方程Ax+By+C=0中中,A=0,则则B0,其方程为其方程为y=- 此时点此时点P(x0,y0)到该直线的距离到该直线的距离d=_.CA,CB0|CxA0|CyB 1.点到直线的距离公式点到直线的距离公式点点P(x0,y0)到直线到直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零不同时为零)的距离的距离使用此公式应注意以下几点使用此公式应注意以下几点:0022|.AxByCdAB(1)若给出
3、的直线方程不是一般式若给出的直线方程不是一般式,则应先把方程化为一般则应先把方程化为一般式式,再利用公式求距离再利用公式求距离.(2)若点若点P在直线上在直线上,点点P到直线的距离为零到直线的距离为零,距离公式仍然距离公式仍然适用适用.(3)点到几种特殊直线的距离点到几种特殊直线的距离:点点P(x0,y0)到到x轴的距离轴的距离d=|y0|;点点P(x0,y0)到到y轴的距离轴的距离d=|x0|;点点P(x0,y0)到与到与x轴平行的直线轴平行的直线y=a的距离的距离d=|y0-a|;点点P(x0,y0)到与到与y轴平行的直线轴平行的直线x=b的距离的距离d=|x0-b|.2.两平行线间的距离
4、两平行线间的距离(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离,也可也可以应用公式以应用公式.(2)应用两平行线间的距离公式应用两平行线间的距离公式时时,两直线方程必须是一般形式两直线方程必须是一般形式.而且而且x,y的系数对应相等的系数对应相等.1222|CCdAB(3)当直线与坐标轴垂直时当直线与坐标轴垂直时,可利用数形结合法来解决可利用数形结合法来解决.两直线都与两直线都与x轴垂直时轴垂直时,l1:x=x1,l2:x=x2则则d=|x2-x1|;两直线都与两直线都与y轴垂直时轴垂直时,l1:y=y1,l2:y=y2,则则d=|y2-y1|.
5、题型一题型一 距离公式的应用距离公式的应用例例1:求过点求过点M(-2,1)且与且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线两点距离相等的直线方程方程.分析分析:可利用待定系数法求直线方程可利用待定系数法求直线方程,也可用平面几何知识也可用平面几何知识,先判断直线先判断直线l与直线与直线AB的位置关系的位置关系.事实上事实上,lAB或或l过线段过线段AB的中点时的中点时,都满足题目的要求都满足题目的要求.解解:当斜率存在时当斜率存在时,设直线方程为设直线方程为y-1=k(x+2).即即kx-y+2k+1=0.由条件得由条件得解得解得k=0或或k=- .故所求的直线方程为故所求的直线方程为
6、y=1或或x+2y=0.当直线斜率不存在时当直线斜率不存在时,不存在符合题意的直线不存在符合题意的直线.22|221|321|,11kkkkkk 12 规律技巧规律技巧:与定直线的距离为定值的点的集合是与定直线与定直线的距离为定值的点的集合是与定直线平行的两条平行直线平行的两条平行直线,因此因此,由点到直线的距离公式和求轨迹由点到直线的距离公式和求轨迹方程的方法即可求得所求的方程方程的方法即可求得所求的方程.变式训练变式训练1:求点求点P(1,2)到下列直线的距离到下列直线的距离:(1)l1:y=x-3;(2)l2:y=-1;(3)y轴轴(x=0).解解:(1)点点P(1,2)到直线到直线x-
7、y-3=0的距离为的距离为 (2)点点P(1,2)到直线到直线y=-1的距离为的距离为d=|2-(-1)|=3.(3)点点P(1,2)到直线到直线x=0的距离为的距离为d=1.|1 23|2 2;2d题型二题型二 平行线之间的距离平行线之间的距离例例2:求两条平行直线求两条平行直线x+3y-4=0和和2x+6y-9=0之间的距离之间的距离.分析分析:两条平行线间的距离问题可转化为一条直线上的点到两条平行线间的距离问题可转化为一条直线上的点到另一条直线的距离问题另一条直线的距离问题,其中选点是关键其中选点是关键,一般情况一般情况,我们选我们选择坐标轴上的点择坐标轴上的点.解解:在直线在直线x+3
8、y-4=0上选点上选点P(4,0),那么点那么点P(4,0)到直线到直线2x+6y-9=0的距离的距离d就是两条平行线之间的距离就是两条平行线之间的距离.两条平行线之间的距离两条平行线之间的距离|89|10.2040d 规律技巧规律技巧:一般地一般地,已知两条平行线已知两条平行线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0(C1C2).设设P(x0,y0)是直线是直线l2上的任意一点上的任意一点,则则Ax0+By0+C2=0,即即Ax0+By0=-C2.于是于是,点点P(x0,y0)到直线到直线l1:Ax+By+C1=0的距离的距离就是两平行直线就是两平行直线l1与与l2之间的距离之
9、间的距离.应用公式时要注意应用公式时要注意l1 l2中中x y的系数必须对应相等的系数必须对应相等.001122222|AxByCCCdABAB变式训练变式训练2:求下列两条平行线之间的距离求下列两条平行线之间的距离.(1)5x-12y+2=0与与5x-12y+15=0;(2)6x-4y+5=0与与y= x. 32 2222|2 15|1.5123255: 1 d13.266( )y6x4y0.4x2d解方程可变形为题型三题型三 综合应用综合应用例例3:已知直线已知直线l经过直线经过直线l1:2x+y-5=0与与l2:x-2y=0的交点的交点.(1)若点若点A(5,0)到到l的距离为的距离为3
10、,求求l的方程的方程;(2)求点求点A(5,0)到到l的距离的最大值的距离的最大值.分析分析:(1)可先求出可先求出l1与与l2的交点的交点,再设出点斜式方程求解再设出点斜式方程求解.也可也可以先设出所求直线的直线系方程以先设出所求直线的直线系方程,利用条件确定参数的值利用条件确定参数的值,从从而求得直线的方程而求得直线的方程.(2)解答本题可采用数形结合解答本题可采用数形结合,分析出点分析出点A到直线到直线l的最大值的最大值,然然后应用点到直线的距离公式求出后应用点到直线的距离公式求出.解解:(1)方法方法1:由由2x+y-5=0,x-2y=0,得交点得交点B(2,1).当直线斜率存在时当直
11、线斜率存在时,设设l的方程为的方程为y-1=k(x-2),即即kx-y+1-2k=0.解得解得:l的方程为的方程为y-1= (x-2),即即4x-3y-5=0.2|512 |3,1kkk 4.3k 43当直线当直线l斜率不存在时斜率不存在时,方程为方程为x=2,此时此时|5-2|=3也适合也适合,故所求故所求l的方程为的方程为:x=2或或4x-3y-5=0.方法方法2:设经过已知直线交点的直线系方程为设经过已知直线交点的直线系方程为:(2x+y-5)+(x-2y)=0,即即(2+)x+(1-2)y-5=0.即即22-5+2=0,解得解得=2或或= .l的方程为的方程为4x-3y-5=0或或x=
12、2.22|5(2)5|3,(2)(1 2 )12(2)由由 2x+y-5=0,x-2y=0,解得交点解得交点B(2,1).过点过点B任意作直线任意作直线l,设设d为为A到直线到直线l的距离的距离,则则d|AB|(仅当仅当lAB时等号成立时等号成立),d的最大值为的最大值为|AB|= .10 规律技巧规律技巧:在在(1)的方法的方法1中易忽略直线斜率不存在的情况中易忽略直线斜率不存在的情况,即易丢掉解即易丢掉解x=2.方法方法2可避开讨论可避开讨论,直接求得两个解直接求得两个解.变式训练变式训练3:若已知若已知A(7,8),B(10,4),C(2,-4),求求ABC的面积的面积.2222|786
13、|72,211|(102)(44)8 2,178:xy60.d2228.22BC BCABCABC解 由两点式求得所在直线方程为点到的距离的面积为 规律技巧规律技巧:这里用点到直线的距离公式求一边上的高这里用点到直线的距离公式求一边上的高,进而进而求出求出ABC的面积的面积.易错探究易错探究例例4:求经过点求经过点A(1,2)且到原点的距离等于且到原点的距离等于1的直线方程的直线方程.错解错解:所求直线过点所求直线过点A(1,2),可设直线方程可设直线方程y-2=k(x-1),即即kx-y-k+2=0.原点到此直线的距离为原点到此直线的距离为1,23x4y5|2|31,413(1),.40kk
14、x ky2解得所求直线方程为即错因分析错因分析:本题出错的根本原因在于思维不严密本题出错的根本原因在于思维不严密,当用待定系当用待定系统法确定直线斜率时统法确定直线斜率时,一定要对斜率是否存在的情况进行讨论一定要对斜率是否存在的情况进行讨论,否则容易犯解析不全的错误否则容易犯解析不全的错误.正解正解:(1)当直线过点当直线过点A(1,2)且垂直于且垂直于x轴时轴时,直线方程为直线方程为x=1,原点原点(0,0)到直线的距离等于到直线的距离等于1,所以满足题意所以满足题意.(2)当直线过点当直线过点A(1,2)且与且与x轴不垂直时轴不垂直时,由题意可设直线方程由题意可设直线方程y-2=k(x-1
15、),即即kx-y-k+2=0,又由原点到此直线距离等于又由原点到此直线距离等于1,即即3x-4y+5=0.综上所述综上所述,所求直线方程为所求直线方程为x=1或或3x-4y+5=0.2|2 |31,413(1),4y2kkxk所以解得所以直线方程为基础强化基础强化1.原点到直线原点到直线3x-4y-26=0的距离是的距离是( )2426.552726 7.57ABCD答案答案:B2.若点若点P(3,a)到直线到直线x+ y-4=0的距离为的距离为1,则则a的值为的值为( )33. 3.333.3. 333ABCD或或|334|1|31| 2,1 3331.,3,3:aaa 2a解析 由题意得或
16、答案答案:D3.已知直线已知直线3x+2y-3=0和和6x+my+1=0互相平行互相平行,则它们之间则它们之间的距离是的距离是( )2 13.4.1357.13.132626ABCD解析解析:在直线在直线3x+2y-3=0上取一点上取一点(1,0),则点则点(1,0)到直线到直线6x+my+1=0的距离的距离,就为所求就为所求.由两直线平行得由两直线平行得3m-12=0,m=4两平行线间的距离为两平行线间的距离为22|6 14 0 1|77 13.262 1364d 答案答案:D4.点点P(x,y)在直线在直线x+y-4=0上上,则则x2+y2的最小值是的最小值是( ).8.2 2. 2.16
17、ABCD解析解析:由由x2+y2的实际意义可知的实际意义可知,它代表直线它代表直线x+y-4=0上的上的点到原点的距离的平方点到原点的距离的平方,它的最小值即为原点到该直线的它的最小值即为原点到该直线的距离的平方距离的平方.(x2+y2)min=( )2=8.42答案答案:A5.到直线到直线3x-4y-1=0的距离为的距离为2的直线方程为的直线方程为( )A.3x-4y-11=0B.3x-4y+9=0C.3x-4y-11=0或或3x-4y+9=0D.3x-4y+11=0或或3x-4y-9=0解析解析:设所求直线方程为设所求直线方程为3x-4y+k=0,由题意得由题意得|k+1|=10,k=9或
18、或k=-11.故所求方程为故所求方程为3x-4y+9=0或或3x-4y-11=0.22|1|2,34k 答案答案:C6.直线直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析解析:设直线设直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点为上到两坐标轴距离相等的点为P(x0,y0)依题意有依题意有:|x0|=|y0|,即即y0=x0又又7x0+3y0-21=0,显然显然y0=x0,7x0+3y0-21=0和和y0=-x0,7x0+3y0-21=0都有解都有解,故直线上有两个点适合题意故直线上有两个点适合题意.答案答案:B7.
19、过点过点A(2,1)的所有直线中的所有直线中,距离原点最远的直线方程为距离原点最远的直线方程为_.解析解析:当过点当过点A(2,1)的直线与的直线与OA垂直时垂直时,原点到直线的距离原点到直线的距离最远最远,所以斜率所以斜率k=-2,直线方程为直线方程为y-1=-2(x-2),即即2x+y-5=0.2x+y-5=08.两平行线两平行线3x+4y+5=0与与6x+ay+30=0间的距离为间的距离为d,则则a+d=_.解析解析:由两直线平行知由两直线平行知,a=8, =2,a+d=10.|155|5d10能力提升能力提升9.两条平行线分别过点两条平行线分别过点P(-2,-2),Q(1,3),它们之
20、间的距离为它们之间的距离为d,如果这两条直线各自绕点如果这两条直线各自绕点P,Q旋转并保持平行旋转并保持平行,则则d的取的取值范围是值范围是_.解析解析:当这两条直线当这两条直线l1,l2与直线与直线PQ垂直时垂直时,d达到最大值达到最大值,此时此时d=|PQ|= .又又l1与与l2保持平行保持平行,不能重合不能重合.0d22(12)(32)3434.0, 3410.已知正三角形已知正三角形ABC的边长为的边长为a,在平面上求一点在平面上求一点P,使使|PA|2+|PB|2|+|PC|2最小最小,并求此最小值并求此最小值.解解:以以BC所在直线为所在直线为x轴轴,以线段以线段BC的中点为原点的
21、中点为原点,建立直角建立直角坐标系坐标系,如图所示如图所示.正三角形正三角形ABC边长为边长为a,3,0),(,0), (0,),222(P x,y ,aaCAaB设由两点间距离公式得由两点间距离公式得:|PA|2+|PB|2+|PC|2222222222222223)()222533463x(yy(xy3x3y3x3(ya)aa .x0,ya,a ,P(0,AB63),6C.aaaxaaya当且仅当时 等号成立故所求最小值为此时点 的坐标为是正三角形的中心11.原点到直线原点到直线x+2y-5=0的距离为的距离为( ) .1. 3.2. 5ABCD|.:d| 555解析答案答案:D12.(全国全国)在坐标平面内在坐标平面内,与点与点A(1,2)距离为距离为1,且与点且与点B(3,1)距离为距离为2的直线共有的直线共有( )A.1条条B.2条条C.3条条D.4条条解析解析:由题可知由题可知,所求直线不与所求直线不与y轴平行轴平行,所以设直线方程为所以设直线方程为y=kx+b,即即kx-y+b=0,22|2|1,1|31|2,1kbkkbk 224,350,.,.3kb 11kb3解得或故所求直线有两条答案答案:B
