1、 第八节 正弦定理和余弦定理的应用 主干知识梳理 一、实际问题中的有关概念 1仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1) 2方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图2) 3方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)(1)北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(2)北偏西即由指北方向逆时针旋转到达目标方向 (3)南偏西等其他方向角类似 4坡度：(1)定义：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图4，角为坡角)(2)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图4，i为坡比) 二、解三角形应用题的一般步骤 1审题，理解问
2、题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系； 2根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； 3选择正弦定理或余弦定理求解； 4将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求 基础自测自评 1从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，之间的关系是()ABC90 D180B 2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A 北 偏 东 1 5 B北偏西15C 北 偏 东 1 0 D北偏西10 B如图所示， ACB90， 又ACBC， CBA45， 而30， 90453015. 点A在点B的北偏西15. 4(2014泰州模拟)
3、一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船每小时航行_海里 关键要点点拨 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解 典题导入 (2014肇庆模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B
4、之间的距离，她在西江南岸找到一点C，从C点可以观察到点A，B；找到一点D，从D点可以观察到点A、C；找到一点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米测量距离问题 (1)求CDE的面积； (2)求A，B之间的距离 规律方法 求距离问题要注意： (1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解 (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 跟踪训练 1如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边
5、选取两点A、B，观察对岸的点C，测得CAB105，CBA45，且AB100 m.(1)求sin CAB的值；(2)求该河段的宽度 典题导入 如图，在坡度一定的山坡A处测 得山顶上一建筑物CD(CD所在的直线与 地平面垂直)对于山坡的斜度为，从A 处向山顶前进l米到达B后，又测得CD对 于山坡的斜度为，山坡对于地平面的坡角为. (1)求BC的长； (2)若l24，15，45，30，求建筑物CD的高度测量高度问题 规律方法 求解高度问题应注意： (1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角； (2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图； (3
6、)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用 典题导入 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值测量角度问题 规律方法 1测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义 2在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余
7、弦定理综合使用的特点 跟踪训练 3如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD的大小是_ (2014石家庄模拟)已知岛A南偏西 38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇 岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度 向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方 向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该 走私船？【创新探究】运用正、余弦定理解决实际应用问题 【思路导析】根据题意得出示意图，先求BAC利用余弦定理求得BC，利用正弦定理求得ABC，得出结论 【解析】如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一
8、点，缉私艇的速度为每小时x海里， 则BC0.5x，AC5， 依题意， BAC1803822120， 所以ABC38. 又BAD38，所以BCAD， 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船 【高手支招】解斜三角形应用题的一般步骤为： 第一步：分析理解题意，分清已知与未知，画出示意图； 第二步：建模根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； 第三步：求解利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； 第四步：检验检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 2(2013江苏高考)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.课时作业课时作业
