1、2014.122014.12九年级数学九年级数学( (下下) )第二章第二章二次函数二次函数2.4 二次函数的应用二次函数的应用（第（第1课时课时 最大面积）最大面积）2014.122014.121.二次函数表达式的顶点式是二次函数表达式的顶点式是 ，若若a0，则当，则当x= 时，时，y有最大值有最大值 。y=ax+bx+c (a 0)y=a(x-h)2+k (a 0)复习引入hk2.二次函数表达式的一般式是二次函数表达式的一般式是 ， 若若a0 x0 解得解得 4x6 -40 且对称轴是且对称轴是直线直线 x=3 当当 4x6 时，时，y 随随 x 增大而减少增大而减少 当当 x=4m时，时
2、，S最大最大= - 442+244=32m2 即即墙的最大可用长度为墙的最大可用长度为 8 米，围成花圃的最大面积米，围成花圃的最大面积是是 32m2。 S=-4x2+24x2014.122014.12(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xcm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ycm2,当当x取何值取何值时时,y的最大值是多少的最大值是多少?例例2：如图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中，其中AB和和AD分别在两直角边上分别在两直角边上.MN40cm30cmABCD2014.122014.1
3、2(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xcm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ycm2,当当x取何值取何值时时,y的最大值是多少的最大值是多少?例例2：如图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中，其中AB和和AD分别在两直角边上分别在两直角边上.ABCDMN40cm30cmxcmbcm2014.122014.12(1).设矩形的一边设矩形的一边AB=xcm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ycm2,当当x取何值取何值时时,y的最大值是多少的最大
4、值是多少?例例2：如图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中，其中AB和和AD分别在两直角边上分别在两直角边上.解解：（1）AD=( - 34x + 30 )cm ABCDMN40cm30cmxcmbcm2014.122014.12解：过点解：过点 F 作作 FPEG，交，交 EG 于点于点 P，交，交 DA 于点于点 Q 在在 RtEFG 中，中，EF = 30m，FG = 40m EG= EF2+FG2 = 302+402 = 50m SEFG= 1 2 FGFE= 1 2 EGFP 1 2 3040= 1 2 50FPFP=24m 设设 AB
5、=bm四边形四边形 ABCD 是矩形是矩形 AB=CD=PQ=bm,AD=BC=xm FQ=(24-b)mCDEGG=DAF DFA=EFG=90DFAEFG DAEG = FQFPx50 = 24-b24b=( - 1225x + 24 )mAB=(- 1225x + 24 )m (1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xm,那么那么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何值时取何值时,y的最大值是多少的最大值是多少?变式练习变式练习3：如图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其，其顶点顶点A和点
6、和点D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC在斜边上在斜边上.ABCDEGF40m30mxmbmPQ2014.122014.12(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xm,那么那么AB边的长边的长度如何表示？度如何表示？(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何值时取何值时,y的的最大值是多少最大值是多少?变式练习变式练习3：如图如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其，其顶点顶点A和点和点D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC在斜边上在斜边上.解解：(1)AB=(- 1225x + 24 )m 如果设如果设AB=xm,BC如何表示，最大
7、面积是多少？如何表示，最大面积是多少？ （随堂练习随堂练习）ABCDEGF40m30mxmbmPQ2014.122014.12如图如图,已知已知ABC是一等腰三角形铁板余料是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20cm, BC=24cm.若在若在ABC上截出一矩形零件上截出一矩形零件DEFG,使得使得EF在在BC上上,点点D、G分别在边分别在边AB、AC上上.问矩形问矩形DEFG的最大面积是的最大面积是多少多少?CFEBGDAMN变式练习变式练习4：2014.122014.12例例3：某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆它的上半部是半圆,下半部是下半部是矩形矩形,制造窗
8、框的材料总长制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和图中所有的黑线的长度和)为为15m.当当x等于多少时等于多少时,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多(结果精确到结果精确到0.01m)?此此时时,窗户的面积是多少窗户的面积是多少?x xy2014.122014.12例例4.在矩形在矩形ABCD中，中，AB6cm，BC12cm，点，点P从点从点A出发沿出发沿AB边向点边向点B以以1cm/秒的速度移动，同时，点秒的速度移动，同时，点Q从点从点B出发沿出发沿BC边向点边向点C以以2cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达两点在分别到达B、C两点后就两点后就 停止移动，设运动
9、时间为停止移动，设运动时间为t秒（秒（0t6)，回答下列，回答下列问题：问题：（1）运动开始后第几秒时，）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于的面积等于8cm2 ； （2）设五边形）设五边形APQCD的面积为的面积为Scm2 ，写出，写出S与与t的函数关系式，的函数关系式，t为何值时为何值时S最小？求出最小？求出S的最小值。的最小值。QPCBAD解：解： （1）由题意得）由题意得 BQ=2tcm， BP=(6-t)cm SPBQ= 12 2t(6-t)=8cm2 解得解得：t1=2,t2=4 运动开始后运动开始后 2 秒或秒或 4 秒时，秒时， PBQ 的面积等于的面积等于 8cm2 2t c
10、m(6-t)cm t cm2014.122014.12例例4.在矩形在矩形ABCD中，中，AB6cm，BC12cm，点，点P从点从点A出发沿出发沿AB边向点边向点B以以1cm/秒的速度移动，同时，点秒的速度移动，同时，点Q从点从点B出发沿出发沿BC边向点边向点C以以2cm/秒的速度移动。如果秒的速度移动。如果P、Q两点在分别到达两点在分别到达B、C两点后就两点后就 停止移动，设运动时间为停止移动，设运动时间为t秒（秒（0t6)，回答下列，回答下列问题：问题：（1）运动开始后第几秒时，）运动开始后第几秒时，PBQ的面积等于的面积等于8cm2 ； （2）设五边形）设五边形APQCD的面积为的面积为
11、Scm2 ，写出，写出S与与t的函数关系式，的函数关系式，t为何值时为何值时S最小？求出最小？求出S的最小值。的最小值。QPCBAD2t cm(6-t)cm t cm2014.122014.121.理解问题理解问题;w回顾本节回顾本节“最大面积最大面积”解决问题的过程，你能总解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解做数学求解;5.检验结果的合理性检验结果的合
12、理性,拓展等拓展等.2014.122014.121.一根铝合金型材长为一根铝合金型材长为6m，用它制作一个，用它制作一个“日日”字型的窗框，如字型的窗框，如果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，果恰好用完整条铝合金型材，那么窗架的长、宽各为多少米时，窗架的面积最大？窗架的面积最大？问题解决问题解决2014.122014.12问题解决问题解决2014.122014.12 4. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，如果水位上升如果水位上升3米，则水面宽米，则水面宽CD=10m（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物
13、线的解析式；）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）有一条船以）有一条船以5km/h的速度向此桥驶来，当船距离此桥的速度向此桥驶来，当船距离此桥35km是，桥下水位正好在是，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨处，之后水位每小时上涨0.25m当当水位到水位到CD处时，将禁止船只通行，如果该船按原来的速度行驶，处时，将禁止船只通行，如果该船按原来的速度行驶，那么它能否能安全通过此桥。那么它能否能安全通过此桥。 问题解决问题解决2014.122014.12?E?B?D?C?A1.如图如图, 在在RtABC中中,ACB=90,AB=10,BC=8,点点D在在BC上上运动运动(不运动
14、至不运动至B,C),DEAC,交交AB于于E,设设BD=x,ADE的面的面积为积为y (1)求求y与与x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x的取值范围的取值范围;(2)y为何值时为何值时,ADE的面积最大的面积最大?最大面积是多少最大面积是多少?拓展练习拓展练习2014.122014.12 2.正方形正方形ABCD边长边长5cm,等腰等腰PQR中中,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点点D、C、Q、R在同一直线在同一直线l上，当上，当C、Q两点重合时，两点重合时，等腰等腰PQR以以1cm/s的速度沿直线的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，向左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形重合
15、部分面积为后正方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：解答下列问题：(1)当当t=3s时，求时，求S的值；的值；(2)当当t=5s时，求时，求S的值的值(3) 当当5st8s时，求时，求S与与t的函数关系式，并求的函数关系式，并求S的最大值。的最大值。(4) 当当0st13s时，求时，求S与与t的函数关系式，的函数关系式，MABCDPQRl拓展练习拓展练习2014.122014.12NABCDl 2.正方形正方形ABCD边长边长5cm,等腰等腰PQR,PQ=PR=5cm, QR=8cm, 点点D、C、Q、R在同一直线在同一直线l上，当上，当C、Q两点重合时，等腰两点重合时，等腰P
16、QR以以1cm/s的速度沿直线的速度沿直线l向左方向开始匀速运动，向左方向开始匀速运动，ts后正后正方形与等腰三角形重合部分面积为方形与等腰三角形重合部分面积为Scm2，解答下列问题：解答下列问题：(1)当当t=3s时，求时，求S的值；的值；(2)当当t=5s时，求时，求S的值的值(3) 当当5st8s时，求时，求S与与t的函数关系式，并求的函数关系式，并求S的最大值。的最大值。(4) 当当0st13s时，求时，求S与与t的函数关系式，的函数关系式，MPQRH拓展练习拓展练习N2014.122014.12D3.有一根直尺的短边长有一根直尺的短边长2cm ，长边长，长边长10cm，还有一块锐角为
17、，还有一块锐角为45的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm按按图图1的方式将直尺的短边的方式将直尺的短边DE放置在直角三角形纸板的斜边放置在直角三角形纸板的斜边AB上，上，且点且点D与点与点A重合若直尺沿射线重合若直尺沿射线AB方向平行移动（如图。设平方向平行移动（如图。设平移的长度为移的长度为 x（cm ），直尺和三角形纸板的重叠部分），直尺和三角形纸板的重叠部分(即图中阴即图中阴影部分影部分)的面积为的面积为S cm2 （1）当）当x=0时，时，S=_；当；当x= 10时，时，S =_；（2）当）当0 x4时，如图时，如图2，求
18、，求S与与x 的函数关系式；的函数关系式；（3）当）当6x10时，求时，求S与与x 的函数关系式；的函数关系式；（4）请你作出推测：当）请你作出推测：当x为何值时，阴影部分的面积最大？并为何值时，阴影部分的面积最大？并 写出最大值写出最大值ABC备选图二xFEGABC图2ABC备选图一图1(D)EFCBA拓展练习拓展练习2014.122014.12中考链接中考链接（2014 兰州）如图，抛物线兰州）如图，抛物线 y=12x2+mx+n 与与 x 轴交于轴交于 A、B两点，与两点，与 y 轴交于点轴交于点 C，抛物线的对称轴交，抛物线的对称轴交 x 轴于点轴于点 D，已知，已知A（1，0） ，）
19、 ，C（0，2） ） （1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式； 解： （解： （1）抛物线抛物线 y=12x2+mx+n经过经过 A（1，0） ，） ，C（0，2） ） 解得：解得： m=32c=2 ， 抛物线的解析式为：抛物线的解析式为： y=12x2+32x+2； 2014.122014.12中考链接中考链接（2014 兰州）如图，抛物线兰州）如图，抛物线 y=12x2+mx+n 与与 x 轴交于轴交于 A、B两点，与两点，与 y 轴交于点轴交于点 C，抛物线的对称轴交，抛物线的对称轴交 x 轴于点轴于点 D，已知，已知A（1，0） ，） ，C（0，2） ） （1）求抛物线的表达式；）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否）在抛物线的对称轴上是否 存在点存在点 P，使，使PCD 是以是以 CD 为为 腰腰的等腰三角形？如果存在，的等腰三角形？如果存在，直直 接写出接写出 P 点的坐标；如果不存点的坐标；如果不存 在，请说明理由；在，请说明理由； P 抛抛物物线线的的对对称称轴轴是是 x=32 P1（32，4） ，P2（32，52） ，P3（32，52） ；
