1、13.1.1 轴对称第十三章 轴对称学习目标1.通过展示轴对称图形的图片，初步认识轴对称图形.2.能够识别简单的轴对称图形及其对称轴.（重点）3.理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的区别与联系，探索轴对称现象共同特征.（重点、难点）导入新课导入新课情境引入它们有什么共同的特点？讲授新课讲授新课轴对称和轴对称图形一 如果一个一个平面平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合互相重合，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线就是它的对称轴对称轴.轴对称图形对称轴am做一做下列哪些是属于轴对称图形？你能举出一些轴对称图形的例子吗？A B C D E F G H I J K L M
2、 N O P Q R S T U V W X Y Z游戏规则: 每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报出,并说出它有几条对称轴；如果你认为你报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐在座位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了，及时提醒.全班总动员A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z做一做：找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.想一想：下面的每对图形有什么共同特点？AABCBC对称轴对称轴 如果一个图形沿一条直线折叠折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说
3、这两个图形关于这条直线对称, ,这条直线就是它的对称轴对称轴.例 下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？BDCA典例精析知识要点比较归纳轴对称图形两个图形成轴对称图形区别联系一个图形具有的特殊形状两个全等图形的特殊的位置关系1.都是沿着某条直线折叠后能重合.2.可以互相转化.这是轴对称图形还是两个图形成轴对称？观察与思考1.动画（1）中的两个三角形有什么关系？2.动画（2）中的三角形是个什么图形？（1）（2）轴对称的性质二思考：如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A，B，C分别是点A，B，C的对称点，线段AA，BB，CC与直线MN有什么关系？ABCABCNMAAMN，BBMN，CCMN.如图
4、，MNAA， AP=AP. 直线MN是线段AA 的垂直平分线.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识要点u线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.图形轴对称的性质 一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？请你自己找一些轴对称图形来检验吧！ 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.知识要点轴对称图形的性质ABA B MN如图，MN垂直平分AA , MN垂直平分BB .例1 如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中BAD150，B40，则BCD的度数是()A130
5、 B150 C40 D65典例精析方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.A例2 如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为()A4cm2B8cm2C12cm2D16cm2解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半，正方形ABCD的边长为4cm，S阴影4228(cm2).故选B.B方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中求不规则的阴影部分的面积时，一般可以利用轴对称变换，将其转换为规则图形后再进行计算.当堂练习当堂练习1.观察下
6、列各种图形，判断是不是轴对称图形？ 2.找出下面每个轴对称图形的对称轴.3.找出下文中成轴对称的文字：一； 三； 个； 八； 十； 来； 苦； 天； 中. 一叶孤舟，坐着两三个骚客，启用四桨五帆，经过六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟.十年寒窗，进了九八家书院，抛却七情六欲，苦读五经四书，考了三番两次，今天一定要中.4.如图，ABC与DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（）AABDF BB=E CAB=DE DAD的连线被MN垂直平分 A5.如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点A落在边CB上A处，折痕为CD，则ADB的度数为_.106.（1）整个图形是轴对称图
7、形吗？对称轴是什么？ （2）图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？ （3）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？拓展提升：8.如图，O为ABC内部一点，OB 3 ，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点(1)请指出当ABC是什么角度时，会使得PR的长 度等于6？并完整说明PR的长度为何在此时等于 6的理由解：如图，ABC90时，PR6.证明如下：连接PB、RB，P、R为O分别以直线AB、BC为对称轴的对称点，PBOB3，RBOB3.ABC90，ABPCBRABOCBOABC90，PBR180，即P、B、R三点共线，PRPB+RB3+3=6；(2)承(1)小题，请判断当ABC不是你指出的角
8、度时，PR的长度小于6还是大于6？并完整说 明你判断的理由解：PR的长度小于6，理由如下：ABC90，则点P、B、R三点不在同一直线上，PBBRPR.PBBR2OB236，PR6.课堂小结课堂小结轴对称轴 对 称轴对称图形定 义性质定 义性质轴 对 称 与轴对称图形联 系区 别线段的垂直平分线13.1.2 线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定学习目标1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质和判定方法(重点）2.会用尺规过一点作已知直线的垂线.3.能够运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题（难点）导入新课导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在
9、三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC讲授新课讲授新课线段垂直平分线的性质一如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离之间的数量关系ABlP1P2P3探究发现P1A _P1BP2A _ P2BP3A _ P3B猜想：点P1，P2，P3， 到点A 与点B 的距离分别相等 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能验证这一结论吗？已知：如图，
10、直线lAB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上求证：PA =PB证明：lAB， PCA =PCB又 AC =CB，PC =PC， PCA PCB（SAS） PA =PBPABlC验证结论例1 如图，在ABC中，ABAC20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若DBC的周长为35cm，则BC的长为()A5cmB10cmC15cmD17.5cm典例精析C解析：DBC的周长为BCBDCD35cm，又DE垂直平分AB，ADBD，故BCADCD35cm.ACADDC20cm，BC352015(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长练
11、一练：1.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 32.如图所示，在ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .B10cmPABCD图图ABCDE图图例2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.ABCDEK已知：直线AB和AB外一点C .求作：AB的垂线，使它经过点C .作法：（1）任意取一点K，使点K和和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.（4）作直线CF.直线CF就是所求作的
12、垂线.（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.12F（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？12DE（2）为什么要以大于 的长为半径作弧？ （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？想一想：例3 已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.求证：PA=PB=PC.BACMNMNPPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上解析：证明：点P在线段AB的垂直平分线MN上，PA=PB.同理 PB=PC.PA=PB=PC.结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你
13、能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？例4 如图，在四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连接AE、BE，BEAE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：(1)FCAD；(2)ABBCAD.解析：(1)根据ADBC可知ADCECF，再根据E是CD的中点可得出ADEFCE，根据全等三角形的性质即可解答(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出ABBF，再结合（1）即可解答证明：(1)ADBC，ADCECF.E是CD的中点，DEEC.又AEDCEF，ADEFCE，FCAD.(2)ADEFCE，AEEF，ADCF.BEAE，BE是线段AF的垂直平分线，ABBFBCCF.ADCF
14、，ABBCAD.线段垂直平分线的判定二想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？PAB合作探究已知：如图，PA =PB求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C则PCA =PCB =90在RtPCA 和RtPCB 中， PA =PB，PC =PC， RtPCA RtPCB（HL） AC =BC又又 PCAB， 点P 在线段AB 的垂直平分线上PABC知识要点线段垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上u应用格式：PA =PB，点P 在AB 的垂直平分线上PAB作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.这些点
15、能组成什么几何图形？ 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ 与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与A、B两点 的距离相等的所有点的集合.PABClu应用格式：AB =AC，MB =MC，直线AM 是线段BC 的垂直 平分线A B C D M 这是判断一条直线是线段的垂直平分线的方法.例5 已知：如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA,EDOB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.ABOEDC证明：OE平分AOB,ECOA,EDOB,DE=CE. OE是CD的垂直平分线.又又OE=OE，RtO
16、EDRtOEC.DO=CO.例6 已知：如图，在ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.证明 ： 点O在线段AB的垂直平分线上， OA=OB.同理OB=OC. OA=OC. 点O在AC的垂直平分线上.结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.现在你能想到方法确定购物中心的位置，使得它到三个小区的距离相等吗？当堂练习当堂练习1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（）AAB垂直平分CD；B CD垂直平分AB ；CAB与CD互相垂直平分；DCD平分 ACB A2.在锐角三角形ABC内一点P,，满
17、足PA=PB=PC,则点P是ABC ( )A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点D4.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）. 3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点的组合共有种.无数5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.ABC
18、DE166.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O. 求证：AO=BO.证明： AC =BC，AD=BD，点C和点D在线段AB的垂直平分线上， CD为线段AB的垂直平分线.又 AB与CD相交于点O， AO=BO.7.如图所示，在ABC中，AD平分BAC，DEAB于点E，DFAC于点F，试说明AD与EF的关系解：AD垂直平分EF.AD平分BAC，DEAB，DFAC，EADFAD，AEDAFD=90.又ADAD，ADEADF，AEAF，DEDF.A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.ABCDEF8.如图，在四边形ADBC中
19、，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明AOCAOD，可得AO平分DAC，根据角平分线的性质可得OEOF.拓展提升：解：(1)AB、CD互相垂直平分， OCOD，AOOB， 且ACBCADBD； (2)OEOF，理由如下： 在AOC和AOD中， AC=AD，AOAO，OCOD， AOCAOD(SSS)， CAODAO. 又OEAC，OFAD， OEOF.课堂小结课堂小结线段的垂直平分的性质和判定性 质到线段的两个端点距离相等的点在线
20、段的垂直平分线上 内 容判 定内 容作 用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 作 用见垂直平分线，得线段相等判断一个点是否在线段的垂直平分线上13.1.2 线段的垂直平分线的性质第十三章 轴对称第2课时 线段垂直平分线的有关作图学习目标1能用尺规作已知线段的垂直平分线(难点）2进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据3能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题（重点）导入新课导入新课情境引入 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB讲授新课讲授新课线段垂直平分线的画法一互动探究问题1：
21、有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？ABCA B C 通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称的.问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 尺规作图 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？AB分析：我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.ABCD作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于于 AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.12（2）作直线CD. CD即为所求.特别说明：这个
22、作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.引例 如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？AB分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段AB的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到AB垂直平分线与公路的交点便是.公共汽车站例1 如图，已知点A、点B以及直线l.(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PAPB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；(2)在(1)中所作的图中，若AMPN，BNPM，求证：MAPNPB.MNABl典例精析解：(1)如图所示：(2)在AM
23、P和BNP中，AM=PN，APBP，PMBN， AMPPNB(SSS)，MAPNPB.MNABlP例2 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)ONMABONMAB方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.解：如图所示：P作轴对称图形的对称轴二想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？ AB作法：（1）找出五角星的一对对称点A
24、和B，连接AB（2）作出线段AB的垂直平分线l则l就是这个五角星的一条对称轴 l用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴 方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.例3 如图，ABC和ABC关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.ABCA B C l方法总结：如果成轴对称的两个图形对称点连线段（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.解：延长BC、BC交于点P，延长AC，AC交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.PQ练一练：作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？1.
25、如图，在ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）AA的平分线 BAC边的中线 CBC边的高线 DAB边的垂直平分线 12D当堂练习当堂练习2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：甲：分别作ACP、BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求下列说法正确的是（）A甲、乙都正确 B甲、乙都错误 C甲正确，乙错误 D甲错误，乙正确 D3.如图，与图形
26、A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴ABCD 4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.5.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.B BC C学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.A A6.如图，在43的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴拓展提升：课堂小结课堂小结线段的垂直平分线的有关作图尺规作图作对称轴的常 见 方 法属于基本作图之一
27、，必须熟熟练掌握(1)将图形对折；(2)用尺规作图；(3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后作垂线13.2 画轴对称图形第十三章 轴对称第1课时 画轴对称图形学习目标1.能够按要求画简单平面图形经过一次对称后的图形.（难点）2.掌握作轴对称图形的方法.（重点）3.通过画轴对称图形，增强学生学习几何的趣味感.导入新课导入新课情境引入几何画板：万花筒图案.gsp 我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质.如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法.讲授新课讲授新课轴对称变换一 在一张半透明纸的左边部分，画一只左脚印，
28、把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印，这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点得到的线段被对称轴垂直平分.类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论.（1）认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？（2）对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP 是什么关系？成轴对称直线l垂直平分线段PP 由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.知识要点例1 将一张正方形纸片按如图，图所示
29、的方向对折，然后沿图中的虚线剪裁得到图，将图的纸片展开铺平，再得到的图案是()图图图图ABCDB动手剪一剪例2 如图，将长方形ABCD沿DE折叠，使A点落在BC上的F处，若EFB50，则CFD的度数为()A20 B30 C40 D50C方法归纳：折叠是一种轴对称变换，折叠前后的图形形状和大小不变，对应边和对应角相等作轴对称图形二问题1：如何画一个点的轴对称图形？ 画出点A关于直线l的对称点A.lAAO作法：（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.（2）在垂线上截取OAOA.点A就是点A关于直线l的对称点. 互动探究问题2：如何画一条线段的对称图形？ 已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.AB
30、(图1)(图2)(图3)ABllABlA A A B (B )B 想一想：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3 如图，已知ABC和直线l，作出与ABC关于直线l对称的图形.lABC分析：ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.作法：（1）过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA=OA，A就是点A关于直线l的对称点.（3）连接AB，BC，CA，得到 ABC即为所求.（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B，C .lABCABCO方法归纳作轴对称图形的方法 几何图形都可以
31、看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.例4 在33的正方形格点图中，有格点ABC和DEF，且ABC和DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的DEF.ABCABCABCABC(F)(D)E (E)FD(F)DE (D)(E)F方法归纳：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是（）A过已知点作一条直线与已知直线相交 B过已知点作一条直线与已知直线垂直 C过已知点作一条直线与已知直线平
32、行 D不确定 当堂练习当堂练习B2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、D两点落在B、D点处，若得AOB=70，则BOG的度数为_.553.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.llll4. 如图给出了一个图案的一半，虚线 l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.BACDEFGHl 5.如图，画ABC关于直线m的对称图形.mABC(A )C B 6.如图，在22的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ABC，请你找出格纸中所有与ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有_个.请在下面所给的格纸中一一画出（所给的六个格纸未必全用）ABCABCABC
33、ABCABCABC5课堂小结课堂小结画轴对称图形作图原理作 图方 法对称轴是对称点连线段的垂直平分线.(1)找特征点；(2)作垂线；(3)截取等长；(4）依次连线.13.2 画轴对称图形第十三章 轴对称 第2课时 用坐标表示轴对称 学习目标1.探究在平面直角坐标系中关于x轴和y轴对称点的坐标特点.（重点）2.能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形.（重点）3.能根据坐标系中轴对称点的坐标特点解决简单的问题.（难点）导入新课导入新课问题引入一位外国游客在天安门广场询问小明西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？如图，
34、是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？讲授新课讲授新课用坐标表示轴对称一问题1：已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?互动探究AAMNA就是点A关于直线MN的对称点.O（2）延长AO至A,使OA=AO.（1）过点A作AOMN，垂足为点O，xyO问题2：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?A (2,3)A(2,-3)你能说出点A与点A坐标的关系吗？xyO做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点
35、.C (3,-4)C (3,4)B(-4,2)B (-4,-2)(x , y)关于 x 轴对称( , )x -y知识归纳关于x轴对称的点的坐标的特点是:横坐标相等,纵坐标互为相反数.（简称：横轴横相等）练一练:1.点P(-5, 6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为_.2.点M(a, -5)与点N(-2, b)关于x轴对称，则a=_, b =_.(- 5 , -6 )-25问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于y轴的对称点吗?xyOA (2,3)A(-2,3)你能说出点A与点A坐标的关系吗？xyO做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于y轴的对称点.C (3,-4)C (3,4)B
36、(-4,2)B (-4,-2)(x , y)关于 y轴对称( , )-x y知识归纳关于y轴对称的点的坐标的特点是:横坐标互为相反数,纵坐标相等.（简称：纵轴纵相等）练一练:1.点P(-5, 6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为_.2.点M(a, -5)与点N(-2, b)关于y轴对称，则a=_, b =_.(5 , 6 )2-5例1 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),C(-2,5),D(-5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.xyABCDA B C D A B C D O 对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形
37、的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.知识要点在坐标系中作已知图形的对称图形(一找二描三连）平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，1）.（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；（2）若ABC与ABC关于x轴对称，画出ABC，并写出A、B、C的坐标.针对训练：xyOA (0,4)B (2,4)C (3,-1)A (0,-4)B (2,-4)C (3,1)解：如图所示：例2 已知点A(2ab，5a)，B(2b1，ab)(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；(2)若A、B关于y轴对称，求(4ab)2016的值
38、解：(1)点A、B关于x轴对称，2ab2b1，5aab0，解得a8，b5； (2)A、B关于y轴对称，2ab2b10，5aab，解得a1，b3，(4ab)20161.解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解例3 已知点P(a1，2a1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围解：依题意得P点在第四象限，+1021 0.aa解得112a 即a的取值范围是112a 方法总结：解决此类题，一般先写出对称点的坐标或判断已知所在的象限，再由各象限内点的坐标的符号，列不等式(组)求解当堂练习当堂练习1.平面直角坐标系内的点A（-1，2）与点B（-1，-2）关于（）Ay轴对称 Bx轴对
39、称 C原点对称 D直线y=x对称 2.在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（）A（-4，-2） B（2，2）C（-2，2） D（2，-2） DB 3.设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（）A（2，3） B（-2，3） C（-3，2） D（-3，-2） A4.如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（）A（1，2） B（2，2） C（3，2） D（4，2） C 5.已知点P(2a+b,-3a)与点P（8,b+2).若点P与点P关于x轴对称，则a=_，
40、b=_.若点P与点P关于y轴对称，则a=_ ，b=_.246-206.若|a-2|+(b-5)2=0，则点P (a，b)关于x轴对称的点的坐标为_.(2,-5)7.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(- 4，1),C(-1，3)，作出ABC关于y轴对称的图形.解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)，关于y轴的对称点分别为A(3,5),B(4,1),C(1,3).依次连接AB,BC,CA,就得到ABC关于y轴对称的ABC.31425-2-4-1-3O1 2 3 4 5-4 -3 -2 -1ACBB AC x y 8.已知点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于
41、x轴对称，求点C（a，b）在第几象限？解：点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴对称，2a+b=3，a-2b=4，解得a=2，b=-1点C（2，-1）在第四象限拓展提升9.在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换如图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别是（-1，-1）、（-3，-1），把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形ABCD，求B的对应点B的坐标.解：正方形ABCD，点A、B的坐标分别是(-1，-1)、(-3，-1)，根据题意，得第1次变换后的点B的对应点的坐标为(-3+2，1)，即(-1，1)，第2次变换后的点B的对
42、应点的坐标为(-1+2，-1)，即(1，-1)，第3次变换后的点B的对应点的坐标为(1+2，1)，即(3，1)，第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为(2n-3，1)，当n为偶数时为(2n-3，-1)，把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形ABCD，则点B的对应点B的坐标是(11，1)课堂小结课堂小结用坐标表示轴对称关于坐标轴对称的点的坐标特征在坐标系中作已知图形的对称图形关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置13.3 等腰三角形第十三章 轴对称 第1课时 等腰三角形的性质 学习目标1.理解并掌握
43、等腰三角形的性质.(重点)2.经历等腰三角形的性质的探究过程，能初步运用 等腰三角形的性质解决有关问题.(难点)导入新课导入新课情境引入定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.ACB腰腰腰腰底边底边顶角顶角底角底角底角底角讲授新课讲授新课等腰三角形的性质一剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？互动探究A AB BC CAB=ACAB=AC等腰三角形等腰三角形折一折：ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴
44、是什么？ACDB折痕所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角 AC B D AB与与AC BD与与CD AD与与AD B 与与C.BAD 与与CADADB 与与ADC猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.ABC已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C.思考：如何构造两个全等的三角形？猜想:等腰三角形的两个底角相等如何证明两个角相等呢？可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证已知： 如图，在ABC中，AB=AC.求证： B= C.ABCD证明： 作底边的中线AD， 则B
45、D=CD.AB=AC ( 已知 )，BD=CD ( 已作 )，AD=AD (公共边)， BAD CAD (SSS). B= C (全等三角形的对应角相等).在BAD和CAD中方法一：作底边上的中线还有其他的证法吗？已知： 如图，在ABC中，AB=AC.求证： B= C.ABCD证明： 作顶角的平分线AD，则BAD=CAD.AB=AC ( 已知 ),BAD=CAD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD (SAS). B= C (全等三角形的对应角相等).方法二：作顶角的平分线在BAD和CAD中想一想：由BAD CAD，除了可以得到B= C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的
46、角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ 解：BAD CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,ADB=ADC，BAD=CAD.又 ADB+ADC=180， ADB=ADC= 90 ，即AD是等腰ABC底边BC上的中线、顶角BAC的角平分线、底边BC上的高线 . ABCD性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).ACB如图,在ABC中, AB=AC(已知),B=C(等边对等角).证明后的结论,以后可以直接运用. 总结归纳性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.ACBD12AB=AC, 1=2(已知)，BD=CD,ADBC（等腰三角形三线合一）
47、.AB=AC, BD=CD (已知)，1=2,ADBC（等腰三角形三线合一）.AB=AC, ADBC(已知)，BD=CD, 1=2（等腰三角形三线合一）.综上可得：如图,在ABC中, 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ABCDEFABCD“三线合一”的操作1.等腰三角形的顶角一定是锐角.2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、 钝角都可以.3.钝角三角形不可能是等腰三角形. 4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.（X）（X）（X）（X）（）（）ABCD 例1
48、如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数.典例精析分析：（1）找出图中所有相等的角；（2）指出图中有几个等腰三角形？A=ABD,C=BDC=ABC；ABC,ABD,BCD.ABCDx2x2x2x（3）观察BDC与A、ABD的关系，ABC、C呢？BDC= A+ ABD=2 A=2 ABD,ABC= BDC=2 A,C= BDC=2 A.（4）设A=x,请把 ABC的内角和用含x的式子表示出来. A+ ABC+ C=180 ， x+2x+2x=180 ,ABCD解：AB=AC，BD=BC=AD，ABC=C=BDC， A=ABD.设A=x,则BDC= A+
49、 ABD=2x,从而ABC= C= BDC=2x,于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180 ，解得x=36 ，在ABC中， A=36，ABC=C=72.x2x2x2x 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.归纳如图，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26，求B和C的度数.解：AB=AD=DC B= ADB，C= DAC 设 C=x，则 DAC=x， B= ADB= C+ DAC=2x， 在ABC中， 根据三角形内角和定理，得 2x+x+26+x=180， 解得x=38.5. C= x=38.5， B=2x=77.针对训练：
50、例2 等腰三角形的一个内角是50，则这个三角形的底角的大小是()A65或50 B80或40C65或80 D50或80解析：当50的角是底角时，三角形的底角就是50；当50的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65.故选A.A方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论例3 已知点D、E在ABC的边BC上，ABAC.(1)如图，若ADAE，求证：BDCE；(2)如图，若BDCE，F为DE的中点，求证：AFBC.典例精析图图证明：(1)如图，过A作AGBC于G.ABAC，ADAE，BGCG，DGEG，BGDGCGEG，BDC
