1、最优化是一门应用十分广泛的学科，它研究最优化是一门应用十分广泛的学科，它研究在有限种或无限种可行方案中挑选最优方案，构造在有限种或无限种可行方案中挑选最优方案，构造寻求最优解的计算方法。达到最优目标的方案，称寻求最优解的计算方法。达到最优目标的方案，称为为最优方案最优方案，搜索最优方案的方法，称为，搜索最优方案的方法，称为最优化方最优化方法法。这种方法的数学理论，称为。这种方法的数学理论，称为最优化理论最优化理论。 最优化方法已广泛最优化方法已广泛应用应用于空间技术、军事科学、于空间技术、军事科学、电子工程、通讯工程、自动控制、系统识别、资源电子工程、通讯工程、自动控制、系统识别、资源分配、计
2、算数学、经济管理等等领域。分配、计算数学、经济管理等等领域。最优化方法包括的内容很广泛，如线性规划、最优化方法包括的内容很广泛，如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划、非线性规划、整数规划、动态规划、多目标规划、组合优化等等。本课程重点介绍组合优化等等。本课程重点介绍非线性规划非线性规划。实例实例1配棉问题配棉问题棉纺厂的主要原料是棉花，一般要占总成本的棉纺厂的主要原料是棉花，一般要占总成本的70%70%左左右右. .棉花的品种、等级不同，价格也不同棉花的品种、等级不同，价格也不同. .因此，若因此，若采用品种好、等级高、价格贵的棉花来纺成一种质采用品种好、等级高、价格贵的棉花
3、来纺成一种质量要求一般的棉纱，势必提高成本量要求一般的棉纱，势必提高成本. .所谓配棉问题就所谓配棉问题就是要根据棉纱的质量指标，采用各种价格不同的棉是要根据棉纱的质量指标，采用各种价格不同的棉花，按一定比例配制成纱，使其达到质量指标，又花，按一定比例配制成纱，使其达到质量指标，又使总成本最低使总成本最低. .实例实例1配棉问题配棉问题一个年纺纱能力一个年纺纱能力1500015000锭的小厂在采用最优化方法配锭的小厂在采用最优化方法配棉前，某一种产品棉前，某一种产品32D32D纯棉纱的棉花配比、质量指标纯棉纱的棉花配比、质量指标及单价如下：及单价如下：有关部门对有关部门对32D 32D 纯棉纱
4、规定的质量指标为棉结不多纯棉纱规定的质量指标为棉结不多于于7070粒，品质指标不少于粒，品质指标不少于2900. 2900. 试制定出该厂的最试制定出该厂的最佳配棉方案以使总成本最低佳配棉方案以使总成本最低. .原料品名原料品名 单价单价( (元元/t) /t) 混合比混合比 棉结粒棉结粒 品质指标品质指标 混棉单价混棉单价(元元/t)国棉国棉131 8400 25 60 3800 2100国棉国棉229 7500 35 65 3500 2625国棉国棉327 6700 40 80 2500 2680平均合计平均合计 100 70 3175 7405实例实例1配棉问题配棉问题分析：分析：首先建
5、立数学模型，然后采用相应的最优化首先建立数学模型，然后采用相应的最优化方法求解方法求解. .321,xxx令令 分别为国棉分别为国棉131131，229229，327327的棉花配的棉花配比，则该问题的数学模型为比，则该问题的数学模型为 . 0, 1 2900250035003800 70806560 . .670075008400min321321321321321xxxxxxxxxxxxtsxxxz实例实例2资金使用问题资金使用问题设有设有400400万元资金，要求万元资金，要求4 4年内使用完，若在一年内使年内使用完，若在一年内使资金资金 x x 万元，则可得到效益万元，则可得到效益 x
6、 x1/2 1/2 万元万元( (效益不能再使效益不能再使用用) )，当年不用的资金可存入银行，年利率为，当年不用的资金可存入银行，年利率为10%.10%.试试制订出资金的使用规划，以使制订出资金的使用规划，以使4 4年内效益之总和最大年内效益之总和最大. .分析：分析：令令 x xi i ( (i i=1,2,3,4)=1,2,3,4)分别表示第分别表示第i i 年所使用的资年所使用的资金数金数. .目标函数：目标函数：4321maxxxxxz约束条件：约束条件：所受到的约束即为每年的使用额既所受到的约束即为每年的使用额既不能为负数又不能超过当年资金拥有数，即不能为负数又不能超过当年资金拥有
7、数，即实例实例2资金使用问题资金使用问题40001 x第一年：第一年：1 . 1)400(012xx第二年：第二年：1 . 11 . 1)400(0213xxx第三年：第三年：1 . 11 . 11 . 1)400(03214xxxx第四年：第四年：实例实例2资金使用问题资金使用问题则数学模型为则数学模型为. 0, 4 .5321 . 121. 1.3311 4841 . 1.211 440.11 400 . .max432143213212114321xxxxxxxxxxxxxxtsxxxxz实例实例3二曲线之间距离问题二曲线之间距离问题已知二曲线已知二曲线C C1 1: : y y1 1=
8、2=2sinsin( (x x) )与与C C2 2: : y y2 2= =x x2 2+2+2无交点，试无交点，试求求C C1 1与与C C2 2之间的最短距离之间的最短距离d d. .分析：分析：令令 ( (x x1 1,y,y1 1) ) 为为C C1 1上的点上的点,(x,(x2 2,y,y2 2) )为为C C2 2上的点上的点. .目标函数：目标函数：221221)()(minyyxxD约束条件：约束条件：2 )sin(2 22211 xyxy令令 y y1 1= =x x3 3 , , y y2 2=x=x4 4, ,则数学模型为则数学模型为实例实例3二曲线之间距离问题二曲线之
9、间距离问题令令 y y1 1= =x x3 3 , , y y2 2=x=x4 4, ,则数学模型为则数学模型为. 02 0)sin(2 . .)()(min42231221221xxxxtsyyxxD实例实例4数据拟合问题数据拟合问题 在生产实践和科技活动中，人们常常从实验或测量中得到数在生产实践和科技活动中，人们常常从实验或测量中得到数据：据：x xi i=x=x1 1,x,x2 2,x,xm m;y;yi i=y=y1 1,y,y2 2,y,ym m 称为原始数据，而由原始数称为原始数据，而由原始数据所确定的点列据所确定的点列P(xP(xi i,y,yi i),i=1,2,m,),i=1
10、,2,m,称为原始点列称为原始点列. .人们希望将人们希望将这些数据或点列所蕴含的客观规律用一个函数这些数据或点列所蕴含的客观规律用一个函数y=f(x)y=f(x)近似地表示近似地表示出来出来. .在一般情况下通常将在一般情况下通常将f(x)f(x)取为代数多项式的形式，即取取为代数多项式的形式，即取 y=f(x)=ay=f(x)=a0 0+a+a1 1x x1 1+a+a2 2x x2 2+a+an nx xn n. . 分析：分析： 如果测量数据不很准确如果测量数据不很准确(即含有较大的测量误差即含有较大的测量误差)，但测得，但测得数据或点列较多数据或点列较多(mn). 在此条件下，人们往
11、往采用拟合的办法，在此条件下，人们往往采用拟合的办法，即是去求一组系数即是去求一组系数(a0, a1, a2, ,an)使得下式取值最小使得下式取值最小 2010)(),( miiinxfyaaaS实例实例4数据拟合问题数据拟合问题 20210)(min),.,(min miiianaxfyaaaaSjj则数学模型为则数学模型为实例实例5结构设计问题结构设计问题 结构设计师的传统工作在于力图提出这样的设计，该设结构设计师的传统工作在于力图提出这样的设计，该设计能够安全地承受作设计的载荷，最有性的概念仅仅隐含在计能够安全地承受作设计的载荷，最有性的概念仅仅隐含在设计的标准规范和设计师的经验之中设
12、计的标准规范和设计师的经验之中. .但是现在有了计算机但是现在有了计算机的帮助，复杂的结构设计如航空空间结构的设计，对最优性的帮助，复杂的结构设计如航空空间结构的设计，对最优性的要求更明显了的要求更明显了. . 以两杆对称桁架的极小重量设计为例以两杆对称桁架的极小重量设计为例. .考虑下图所示的平考虑下图所示的平面桁架，它由两根钢管构成，顶点为两杆的共同端点，两杆面桁架，它由两根钢管构成，顶点为两杆的共同端点，两杆的另两个支点固定的另两个支点固定. .已知桁架的跨度为已知桁架的跨度为2L,2L,承受负荷为承受负荷为2P,2P,钢钢管的厚度管的厚度T,T,材料比重为材料比重为，纵向弹性模数为，纵
13、向弹性模数为E E, ,容许力为容许力为. .要确定钢管的平均直径要确定钢管的平均直径d d和桁架高度和桁架高度h,h,使桁架重量最小使桁架重量最小. .实例实例5结构设计问题结构设计问题d d(b) 钢管剖面图钢管剖面图2L(a)(a)桁架示意图桁架示意图.222hLTdW分析：分析： 这里决策变量为这里决策变量为 d 和和 h, 目标函数目标函数为为实例实例5结构设计问题结构设计问题;22TdhhLP(1)(1)钢管内压钢管内压应应力不超过容许极限，即力不超过容许极限，即约束条件包括：约束条件包括：(2)(2)为保证在负荷为保证在负荷2P2P的作用下钢管不发生弯曲，要求压的作用下钢管不发生
14、弯曲，要求压 应力不超过临界应力应力不超过临界应力l l，由材料力学知，由材料力学知dhThLPhLTdEl2222222)(8)(实例实例5结构设计问题结构设计问题(3) (3) 设计变量设计变量d d和和h h有界有界. . , , 0)(8)( , 0 . .2minminmaxminmax22222222222hhhddddhThLPhLTdEdhThLPtshLdT则数学模型为则数学模型为实例实例6政治区划问题政治区划问题假设假设m m个基本人口单元个基本人口单元( (如县、社团等如县、社团等) )按某种政治需按某种政治需要可以得到要可以得到n n个政区组合个政区组合. .设设c c
15、j j 为选取政区为选取政区j j的费用或的费用或不可接受性的度量不可接受性的度量. .问怎样把这问怎样把这m m个人口单元分成个人口单元分成K K个个政区政区, ,使总的费用使总的费用( (或不可接受性或不可接受性) )最小最小? ?, n.,21j , 0j, 1，否则选取政区jx分析：分析： 令令, n.,21j 1,2,.m,i , 0ji, 1，否则划到政区人口单元ija.,.,2 , 1,.,2 , 11010, ,.,21 , 1 .min111njmixaKxmixatsxcjijnjjnjjijnjjj ，或或，或或，实例实例6政治区划问题政治区划问题则数学则数学模型为模型为
16、最优化问题的数学模型一般形式为：最优化问题的数学模型一般形式为： 1 . 1 . 1 minxf 2 . 1 . 1, 2 , 1, 0. .mixctsi（目标函数目标函数）（等式等式约束）约束）（不等式不等式约束）约束） 3 . 1 . 1, 1, 0pmixci其中其中nTnRxxxx,21决策变量决策变量约约束束条条件件 xfnRxmin 无约束最优化问题无约束最优化问题Unconstrained Optimization Problem 根据数学模型中有无约束函数分为根据数学模型中有无约束函数分为无约束无约束的最的最优化问题和优化问题和有约束有约束的最优化问题。的最优化问题。 xfm
17、in ., 2 , 1, 0. .mixctsi 等式约束最优化问题等式约束最优化问题Optimization Problem with Equality Constraints xfmin ., 1, 0 s.t.pmixci 不等式约束最优化问题不等式约束最优化问题Optimization Problem with Inequality Constraints线性规划：线性规划： LP当目标函数和约束函数均为变量当目标函数和约束函数均为变量x的的线性函数时，模型线性函数时，模型(1.1)-(1.3)称为线性称为线性规划问题规划问题.非线性规划：非线性规划： NLP当目标函数和约束函数中至少
18、有一当目标函数和约束函数中至少有一个为变量个为变量x的线性函数时，模型的线性函数时，模型(1.1)-(1.3)称为非线性规划问题称为非线性规划问题. 根据决策变量、目标函数和约束条件的不同，最优化还可根据决策变量、目标函数和约束条件的不同，最优化还可分为二次规划、整数规划、动态规划、网络优化、非光滑优分为二次规划、整数规划、动态规划、网络优化、非光滑优化、随机规划、几何规划、目标规划、模糊规划、全局最优化、随机规划、几何规划、目标规划、模糊规划、全局最优化等若干分支化等若干分支. .定义定义 范数：范数：在n维向量空间nR中，定义实函数,x使其满足以下三个条件：在（）对任意nRx有,0 x当且
19、仅当0 x时0 x；0 x（）对任意nRx及实数有；xx（）对任意x有yxyx则称函数nRyx,为nR上的向量范数。两类比较常见的范数：两类比较常见的范数：P-P-范数：范数：pxxpnipip1/11其中最常用的是其中最常用的是2-2-范数范数，即：(1.2.1) 2/1122niixx范数：范数：inixx1maxEuclidEuclid范数范数性质性质( (向量范数的等价性向量范数的等价性) )：设设| . | . |A A 和和 | . | . |B B 是定义于是定义于R Rn n 中的两种向量范数，则总存在正数中的两种向量范数，则总存在正数c c1 1 和和 c c2 2，使对一切
20、，使对一切x xRRn n, , 有有(1.2.2) .21ABAxcxxc范数的两个重要不等式：范数的两个重要不等式：(1)(1)三角不等式：三角不等式：;yxyx(2)Cauchy(2)Cauchy不等式：不等式：;yxyxT其中等式成立当且仅当其中等式成立当且仅当).(y为实数x矩阵的矩阵的谱半径谱半径.AAA,RATnm的奇异值为的特征值的正平方根称方阵设.A|.,|Ann21的谱半径中的最大者为，的各特征值的绝对值阶方阵称矩阵的矩阵的奇异值奇异值矩阵的矩阵的条件数条件数,)()()(1AAAt 称称A A的最大奇异值与最小非零奇异值之商为的最大奇异值与最小非零奇异值之商为A A的的条
21、件数条件数, ,记为记为(A),(A),即即rank(A).t(AtA)(.)(.)()(nt21即的秩为所有奇异值，且的为其中AAAA性质性质1 1.)A()A(A) )n,.,2 , 1i)(A()A(A)A(.)A()A(0)A(.)A()A(nAn1iin21n21，于是的特征值和奇异值，则分别为和阶正定矩阵，为设即正定矩阵的条件数等于它的最大特征值与最小特征值之商即正定矩阵的条件数等于它的最大特征值与最小特征值之商. .性质性质2 2.)A()A(A) 0)A(.)A()A(AnAn1n21，从而的所有奇异值阶满秩矩阵，则为设即满秩矩阵的条件数等于它的最大奇异值与最小奇异值之商即满秩
22、矩阵的条件数等于它的最大奇异值与最小奇异值之商. .病态：病态：如果一个如果一个n n阶满秩矩阵阶满秩矩阵A A的的n n个列向量之间个列向量之间存在着近似线性关系，则称存在着近似线性关系，则称A A为病态的为病态的. .此时此时A A的最小奇异值就会很小，相应的条件数就会很大的最小奇异值就会很小，相应的条件数就会很大. .因此，条件数可以用来度量矩阵的病态程度因此，条件数可以用来度量矩阵的病态程度. .例例. 1011A，.11)A(1,1(A),1(A)21时，当相应地，相应地，A A趋于奇异矩阵，也就是说，趋于奇异矩阵，也就是说，A A的病态程度愈来愈来严重的病态程度愈来愈来严重. .可
23、微、微分：可微、微分：.x(1.2.4) d ,x(1.2.3) 0lim xn, pn.Rx,:0n处的微分在点为并称处可微在点则称使得维非零向量对任意的维向量如果存在设f(x)xpf(x)f(x)xxp)xf(x)xf(RRf(x)TTxn(1.2.5) ).()()(xxpxfxxfT式式(1.2.3)(1.2.3)可以写成下述等价形式可以写成下述等价形式梯度：梯度：.x)x( fx)x( f.,x)x( fx)x( f)x( f x)x( fn,.,2 , 1i ,x)x( f xx.Rx,:Tn21in处处的的一一阶阶导导数数或或梯梯度度在在点点为为，量量处处一一阶阶可可导导，并并且
24、且称称向向在在点点都都存存在在，则则称称函函数数各各分分量量的的偏偏导导数数的的处处对对于于自自变变量量在在点点如如果果设设 f(x)RRf(x)nx.)x(f)(d ,)x(fx)x(fx.Rx,: Tn xff(x)RRf(x)n并并且且有有存存在在处处的的梯梯度度点点在在处处可可微微，则则在在点点如如果果设设定理定理1.2.1方向导数方向导数( (directional derivative) )：.d)x(fdx)x(f)R()x(f) ex(flim .dden .Rx,:0n的方向导数，记作沿方向在点存在，则称此极限为如果极限维向量，是给定的设dRRf(x)nx方向导数方向导数处沿
25、方向处沿方向d d的变化率的变化率. .df(x)为函数为函数f(x)f(x)在点在点.d)x(f cos)x(f cose)x(f e)x(fd)( T的夹角与为其中xf由于由于故当且仅当故当且仅当.d)x(f)x(f)(e 取得最大值时，xf即即负梯度方向负梯度方向是函数值是函数值下降最快的方向，也称下降最快的方向，也称作作最速下降方向最速下降方向. .dde, e)x(fd)( dx)x(fx.Rx,: Tn 其其中中的的方方向向导导数数存存在在，且且任任何何非非零零向向量量处处沿沿在在点点处处可可微微，则则在在点点如如果果设设xff(x)RRf(x)n定理定理1.2.2即即梯度方向梯度
26、方向是函数值是函数值上升最快上升最快的方向的方向. .HesseHesse矩阵矩阵.Hessex)x(fx)x(fxx)x(fxx)x(fxx)x(fx)x(fxx)x(fxx)x(fxx)x(fx)x(f)x(f x)x(fn),.,2, 1ji,( ,xx)x(f xx.Rx,:2n22n21n2n22222122n122122122ji2n矩阵处的二阶导数或在点为阵处二阶可导，并且称矩在点都存在，则称函数各分量的二阶偏导数的处对于自变量在点如果设f(x)RRf(x)nJacobiJacobi矩阵矩阵.Jacobi)()()()()()()(x)()()()( )(),.,2 , 1()(
27、x),.,2 , 1)(,)(),.,(),()(.,:21n22212n12111T21m矩矩阵阵处处的的一一阶阶导导数数或或在在点点为为称称矩矩阵阵处处是是一一阶阶可可导导的的，并并且且在在点点都都存存在在，则则称称向向量量函函数数的的偏偏导导数数处处对对于于自自变变量量在在点点如如果果记记设设xxhxxhxxhxxhxxhxxhxxhxhxxhxxhxhxxhnjxxhxnixhxhxhxhxhRxRRh(x)nmmmjiimnn ).x(h)x( hx)x(h)x(hT 即即处的梯度，处的梯度，在点在点的转置为的转置为称称例例1.2.1.)( ,)(HessecxbQxx21f(x)R
28、,c,Rb,Q2TTnQxfbQxxfRnn矩阵分别为的梯度和则线性函数是对称矩阵设例例1.2.2. 0)( ,)(Hessebxaf(x)R,b,Rx,a2TnxfaxfRn矩阵分别为梯度和的则线性函数设例例1.2.3.td)df(xd )( , dtd)f(x )( R,t ,Rd,RxR,:f),()(2TTnnttRtdxftn则其中设例例1.2.4 .)( )( ,R)(mTxFAxFbAxxF 则则设设定理定理1.2.4).()(21)()()(22xxxfxxxfxfxxfTT).10( ,)(21)()()(Taylorx)x(fx.Rx,:2nxxxfxxxfxfxxff(x
29、)RRf(x)TTn展式处有在点则续偏导数，的某邻域内具有二阶连在点如果设二阶二阶TaylorTaylor展式展式).()()()(xxxfxfxxfT一阶一阶TaylorTaylor展式展式逼近函数逼近函数.x)x(f)xx)()xx(21)xx()()()(2处的二次逼近函数在点为xfxfxfxfTT线性逼近函数线性逼近函数，则称若记xxx处的线性逼近函数；在点为x)x(f)xx()()()( Txfxfxf二次逼近函数二次逼近函数定义定义.3.1 .3.1 可行解可行解满足约束条满足约束条(1.2)(1.2)和和(1.3)(1.3)的的x x称为可行解，也称为可行点或容许点。称为可行解，
30、也称为可行点或容许点。定义定义.3.2 .3.2 可行域可行域全体可行解构成的集全体可行解构成的集合称为可行域，也称为容许集，记为合称为可行域，也称为容许集，记为D D, ,即：即： niiRxpmixcmixcxD, 1, 0, 2 , 1, 0定义定义.3.3 .3.3 全局最优解全局最优解若：若：Dx,*Dx 对于一切对于一切则称则称 ,*xfxf恒有恒有*x为最优化为最优化问题的全局最优解。问题的全局最优解。若：若：,*xxDx恒有恒有 ,*xfxf则称则称*x为最优化为最优化 问题的问题的严格全局严格全局最优解最优解。定义定义.3.4 .3.4 局部最优解局部最优解若：若：,*Dx
31、存在存在*x的某邻域的某邻域 ,*xN使得对于一切使得对于一切 *xNDx恒有恒有 xfxf*则称则称*x为最优化问题的局为最优化问题的局部最优解，部最优解， 其中其中 。0,*xxxxN同样有定义：同样有定义：严格严格局部最优解。局部最优解。(2)(2)局部最优解不一定是整体最优解。局部最优解不一定是整体最优解。(1)(1)全局最优解一定是局部最优解；全局最优解一定是局部最优解；注意：注意：严格严格l .opt .严格严格g .opt .l .opt .求解最优化问题，实际上是求可行域求解最优化问题，实际上是求可行域D D上的全局最优解。上的全局最优解。 但是，但是， 在一般情况下，在一般情
32、况下，整体最优解是很难求出的，最优化中的大多整体最优解是很难求出的，最优化中的大多数方法是求数方法是求局部最优解局部最优解。迭代算法：迭代算法：选取一个初始可行点选取一个初始可行点,0Dx 由这个初始可行点出发，依次产生一个可行点由这个初始可行点出发，依次产生一个可行点列：列：,21kxxx记为记为 ,kx使得使得kx恰好是问题的一个最优解，恰好是问题的一个最优解，或者该点列或者该点列 kx收敛到问题的一个最优解。收敛到问题的一个最优解。下降算法：下降算法：在迭代算法中一般要求：在迭代算法中一般要求：kkxfxf1Iterative AlgorithmDescent Algorithm定义定义
33、1.3.51.3.5下降方向下降方向：在点在点kx处，对于方向对于方向,0kp若存在实数若存在实数,0使得任意的使得任意的, 0有有：kkkxfpxf成立，成立，则称kp为函数为函数 xf在点在点kx处处的一个下降方向的一个下降方向。Descent Direction当 xf具有连续的一阶偏导数，令,kkxfg由Taylor公式： kTkkkkpgxfpxf当0kTkpg时，有,kkkxfpxf所以（充分小时）kp是 xf在kx处的一个下降方向。几何意义：几何意义：通常称满足：0)( kTkpxf的方向kp为 xf在kx处的下降方向下降方向。定义定义1.3.61.3.6 可行方向可行方向： 已
34、知区域已知区域,DxRDkn对于向量对于向量,0kp若存在实数若存在实数,0使得任意的使得任意的, 0有：有：Dpxkk则称则称kp为kx点处点处关于区域关于区域D的可行方向的可行方向。下降方向关于区域下降方向关于区域 D D 可行，则称为可行，则称为可行下降方向可行下降方向.Feasible Direction在kx处求得一个方向kp（可行下降方向可行下降方向）在射线0kkpx上求一点：kkkkpxx1使得,1kkxfxf其中k称为步长。给定初始点,0 x令。0k步1 确定kx处的可行下降方向可行下降方向;kp步2 确定步长步长,0k使得：kkkkxfpxf步3 令kkkkpxx1步4 若1
35、kx满足某种终止准则终止准则，则停止；否则令,1 kk转步1.initial pointStep Length搜索步长确定方法：搜索步长确定方法：)(min)(kkkkkdxfdxf 称称. 0)( kTkkkddxf k 为最优步长，且有为最优步长，且有.0 x.1x.2x如果一个算法只有当初始点充分接近最优解时，产生的点列才收敛，则称该算法为具有局部收敛局部收敛的算法。如果对任意的初始点，由算法产生的点列都收敛，则称该算法为具有全局收敛全局收敛的算法。具有全局收敛性的算法才有实用意义。但对算法的局部收敛性分析，在理论上是重要的，因为它是全局收敛性分析的基础。定义1.8设序列收敛于而且：kx
36、*,x*1limxxxxkkk若, 10则称序列kx为线性收敛线性收敛的，称为收敛比；若,0则称序列kx为超线性收敛超线性收敛的。定义1.9设序列收敛于若对kx*,x0,lim*1pkkkxxxx则称序列kx为, 1p有：p p阶收敛阶收敛的。特别当：2p时称为二阶收敛二阶收敛的。对于一种算法，应该有某种终止准则，当某次迭代满足终止准则时，就停止迭代。常用的终止准则有：kkxx1（）或kkkxxx1（）kkxfxf1或kkkxfxfxf1（）kkgxf其中0是预先给定的。 由美国由美国WolframWolfram公司研制，采用公司研制，采用MathematicaMathematica语语言编写
37、言编写, ,擅长符号运算和数值计算擅长符号运算和数值计算. . 可用于求解线性可用于求解线性规划、无约束非线性规划和约束非线性规划规划、无约束非线性规划和约束非线性规划. . 由美国由美国MathWorksMathWorks公司开发研制，采用公司开发研制，采用MATLABMATLAB语语言编写言编写, ,擅长数值计算擅长数值计算. . 可用于求解线性规划、无约可用于求解线性规划、无约束非线性规划、约束非线性规划、二次规划、线性与束非线性规划、约束非线性规划、二次规划、线性与非线性非线性约束最小二乘问题、纯整与混整规划、约束最小二乘问题、纯整与混整规划、0-1规划规划及遗传算法等及遗传算法等. .67写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
